湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考数学(理)试卷

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湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考数学（理）试卷

学校：___________

注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题

1.设集合{}0,021x M x

N x x x ??

=≤=<

，则M N =I ( ) A. {}01x x ≤< B. {}02x x ≤< C. {}01x x << D. {}02x x <<

2.设θ为第三象限角，3

sin 5

θ=-，则sin 2θ=( )

A. 7

25

-

B.

7

25

C. 2425

-

D.

2425

3.某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为( )

A.

43

π

B.

3

π C. 2π D.

83

π 4.以下说法错误的是( )

A.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”

B.“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件

C.若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题

D.若命题2:R,10p x x x ?∈++<，则2:R,10p x x ?∈++≥ 5.若复数

()22i

R 1i

a a +∈+是纯虚数，则复数22i a +在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为6cm 、深2cm 的空穴，则取

出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为( ) A.8cm

B.10cm

C.18cm

D.20cm

7.

已知函数())cos(2)()2f x x x π

???+++<的图像关于直线0x =对称，则( )

A. ()f x 的最小正周期为π，且在0,2π??

???

上为减函数

B. ()f x 的最小正周期为π，且在0,2π??

???

上为增函数

C. ()f x 的最小正周期为2π，且在0,4π??

???上为减函 D. ()f x 的最小正周期为

2π，且在0,4π??

???

上为增函数 8.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=,且[]0,1x ∈时()f x x =则方程()3log f x x =根的个数是( ) A.2

B.3

C.4

D. 6

9.设,x y 满足约束条件04312

x y x x y ≥??≥??+≤?

，则224

1x y x +++的取值范围是( )

A. []4,12

B. []4,11

C. []2,6

D. []1,5

10.函数()()

()21212ax x x f x x x ?+->?=?-+≤??

在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )

A. (],1-∞-

B. 1,4?

?-∞- ???

C. 1,2?

?-∞- ???

D. 1,2?

?-∞- ??

?

11.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,2b c ==，O 为ABC △的外心，则AO BC ?=( ) A. 13

2

B.

52 C. 52

-

D.6

12.已知()f x '是函数()()

2

ln x x b f x x

+-=导函数，若存在1,22x ??

∈????

，使得()()f x x f x '>-?，则实

数b 的取值范围是( )

A. (-∞

B. 3,2?

?-∞ ???

C. 9,4?

?-∞ ??

?

D. (),3-∞

二、填空题

13.知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若212n n S n T n +=+，则8

8

a b =____________. 14.观察分析下表中的数据：

15.已知函数4()f x x x =+

，()2x g x a =+，若11

[,1]2

x ?∈，2[2,3]x ?∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.

16.以双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的右焦点(),0F c 为圆心,以a 为半径的圆与C 的一条渐近线

交于,A B 两点,若2

3

AB c =,则双曲线C 的离心率为__________.

三、解答题

17.设ABC △的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,已知11,2,cos 4

a b C ===. 1.求ABC △的周长; 2.求()cos A C -的值.

18.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且*1N 2n a n +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)设12n

n n b a ??

=? ???

，求数列{}n b 的前n 项和为n T .

19.如图，在梯形ABCD 中，//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=?，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.

(1)证明：BC ⊥平面ACFE ；

(2)设点M 在线段EF 上运动，平面MAB 与平面ECB 所成锐二面角为θ，求cos θ的取值范围。

20.分别过椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>左、右焦点12F F 、的动直线12,l l 相交于P 点,与椭圆E 分别交

于A B 、与C D 、不同四点,直线OA OB OC OD 、、、的斜率分别为1234,,,k k k k ,且满足1234k k k k +=+,,

已知当1l 与x 轴重合时,AB CD ==

.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)是否存在定点,M N ，使得PM PN +为定值?若存在，求出M N 、点坐标，若不存在，说明理由。

21.已知函数()()ln 30f x x ax a =--≠. (1)讨论函数()f x 的零点个数；

(2)若[]1,2a ?∈，函数()()2

3

22

x g x x m f x '=+-????在区间(),3a 有最值，求实数m 的取值范围。

22.在平面直角坐标系中,已知曲线:2sin x C y α

α?=??=??

(a 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系,直线():2cos sin 6l ρθθ-=.

(1)写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；

(2)在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，求最大距离及此时P 点的坐标。 23.[选修4－5：不等式选讲] 已知函数()2,0f x x x a a =+->. (1)当1a =时，求不等式()4f x ≤的解集； (2)若()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.

参考答案

1.答案：C 解析：

2.答案：D 解析：

3.答案：B

解析：几何体为一个半球内含一个圆锥，其体积为321411112333

ππ

π??-??=， 综上所述：选B. 4.答案：C

解析：命题“若2320x x -+=则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠,则2320x x -+≠”故A 为真命题； “1x =”是“2320x x -+≠”的充分不必要条件。故B 为真命题；

若p q ∧为假命题，则p q 、存在至少一个假命题，但p q 、不一定均为假命题，故C 为假命题； 命题:R p x ?∈,使得210x x ++<.则非:R p ?∈,均有210x x ++≥，故D 为真命题； 故选C. 5.答案：B

解析：复数

()()()()

()()2i 1i 22i 11i 1i 1i 1i a a a a +-+==+-+++-， 该复数是纯虚数， 10a +=∴，解得1a =-；

所以复数22i 2+2i a +=-， 它在复平面内对应的点是()2,2-， 它在第二象限. 故选：B 6.答案：C

解析：设球的半径为r ，

依题意可知()2

2362r r +-=，解得10r =，

则球面上的点到冰面的距离的最大值为()20218cm -=. 故答案为：18cm . 7.答案：A 解析： 8.答案：C

解析：若函数()f x 满足()()2f x f x +=

则函数是以2为周期的周期函数， 又由函数是定义在R 上的偶函数， 结合当[]0,1x ∈时，()f x x =

我们可以在同一坐标系中画出函数()y f x =与函数3y log x =的图象如下图所示：

由图可知函数()y f x =与函数3y log x =的图象共有4个交点， 即函数()3y f x log x =-的零点个数是4个， 故选C 9.答案：A 解析： 10.答案：D

解析：∵函数()()

()

21212ax x x f x x x ?+->?=?-+≤??是R 上的单调递减函数，

122141

a a

a

∴实数a 的取值范围是1,2?

?-∞- ??

?

故答案为：1,2?

?-∞- ??

?

11.答案：B

解析：∵O 为BC 的中点，

∴()()

()

221122

OA BC AB AC AC AB AC AB ?=+?-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r

()()22115

94222

b c =

-=?-=

.

故选：B. 12.答案：C 解析： 13.答案：3117

解析：

14.答案：2F V E +-=

解析：凸多面体的面数为F . 顶点数为V 和棱数为E ， ①正方体：F =6，V =8，E =12，得F +V ?E =8+6?12=2； ②三棱柱：F =5，V =6，E =9，得F +V ?E =5+6?9=2； ③三棱锥：F =4，V =4，E =6，得F +V ?E =4+4?6=2.

根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F. 顶点数V 和棱数E 满足如下关系：2F V E +-= 再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立。 因此归纳出一般结论：2F V E +-= 故答案为：2F V E +-= 15.答案：(],1-∞

解析： 满足题意时应有：()f x 在11,12x ??

∈????的最小值不小于()g x 在[]22,3x ∈的最小值，

由对勾函数的性质可知函数()4f x x x =+在区间()1,10,22??

?????

上单调递减，

()f x 在11,12x ??

∈????

的最小值为()15f =，

当[]22,3x ∈时, ()2x

g x a =+为增函数，

()g x 在[]22,3x ∈的最小值为()24g a =+，

据此可得：54a ≥+，解得：1a ≤， 实数a 的取值范围是(],1-∞

16.

解析：∵双曲线的一个焦点为(),0F c ,双曲线的一条渐近线为b

y x a

=，即0bc ay -=，

∴焦点到渐近线的距离bc

d b c

==

=， ∵AF BF a ==，

∴AD =

则223AB AD c ==，

平方得()

22

2449

a b c -=，

即222

219

a c a c -+=，

则2

2

1029

a c =

， 则2

295

c a =，

则c =

，

即离心率e =

17.答案：1.因为2221

2cos 14444

c a b ab C =+-=+-?=,所以2c =,所以ABC △的周长为1225a b c ++=++=.

2.因为1cos 4C =,所以sin C =

所以

sin 4sin 2a C A c ===

, 因为a c <,所以A C <,故A 为锐角,