2020年中考数学10道压轴题(附答案)

2020年中考数学10道压轴题（附答

案）

1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的

面积；

（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果

不相似，请说明理由. （注：抛物线

y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为???

?

??

--

a b ac a b 44,22）

2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=o ，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，

点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于

R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．

（1）求点D 到BC 的距离

DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角

A B

C

D E

R

P H Q

A B

C

M N P

图 3

O

A

B

C M

N

D

图 2

O

A

C

M

N

P

图 1

O

形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不积等于

4

存在，请说明理由.

5如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

6如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点.

（1）求抛物线2L 对应的函数表达式；

（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.

7.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝

BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．

（1）求梯形ABCD 的面积；

（2）求四边形MEFN 面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．

8.如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数x

k y 的图象上．

（1）求m ，k 的值；

（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，

以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，

试求直线MN 的函数表达式．

（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标

C D A B

E F N

M

x

O y

A

B 友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．

y Q

Q 1

为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为 ．

9.如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点

A ，

与y 轴交于点C ，抛物线223

(0)y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的

负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，

3OB =，矩形ABOC

绕点O 按顺时针方向旋转60o 后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线

A O

x

y

B

F

C

2y ax bx c =++过点A E D ，，．

（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

11.已知：如图14，抛物线23

34

y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与

直线3

4y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34

y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．

（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积

S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积

最大，最大面积是多少？

y x

O

D E

C F

A B

12.在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,

以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点

的横坐标X A,X B是关于X的方程2(2)10

-++-=的两根:

x m x n

(1)求m，n的值

(2)若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式

(3)过点D任作一直线`l分别交射线CA，CB（点C除外）于点

M，N，则11

+的值是否为定值，若是，求出定值，若不CM CN

是，请说明理由

13.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式；

(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；

(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线

y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为???? ?

?--a b

ac a b 44,22

）

14.已知抛物线c bx ax y ++=232，

A

C

O B

N

D

M

L`

（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；

（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<

15.已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：

（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？

（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

图②

A Q C

P

B

图①

Q

P

16.已知双曲线k y x =与直线14

y x =相交于A 、B 两点.第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线k y x

=上的动点.过点B 作BD ∥y 轴于点D.过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x

=于点E ，交BD 于点C.

（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值. （2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式.

（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA ＝pMP ，MB ＝qMQ ，求p －q 的值.

压轴题答案

1. 解：（ 1）由已知得：3

10c b c =??--+=?解得

c=3,b=2

D B

C

E N

O A M

y

x

∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0)

设对称轴与x 轴的交点为F

所以四边形ABDE 的面ABO DFE BOFD S S S ??++梯形

=111()222AO BO BO DF OF EF ?++?+?=111

13(34)124222

??++?+?? =9 （3）相似

如图，2222112BG DG +=+=22223332BO OE +=+= 22222425DF EF ++=所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ?是直角

三角形

所以90AOB DBE ∠=∠=?,且2

2

AO BO BD BE ==所以AOB DBE ??:.

2 解：（1）Q Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．

Q 点D 为AB 中点，1

32

BD AB ∴=

=． y

x

D E

A B

F

O

G

90DHB A ∠=∠=o Q ，B B ∠=∠．

BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴

=

，312

8105

BD DH AC BC ∴==?=g ． （2）QR AB Q ∥，90QRC A ∴∠=∠=o ．

C C ∠=∠Q ，RQC ABC ∴

△∽△， RQ QC

AB BC

∴

=，10610

y x

-∴=

， 即y 关于x 的函数关系式为：365

y x =-+． （3）存在，分三种情况：

①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．

1290∠+∠=o Q ，290C ∠+∠=o ，

1C ∴∠=∠．

84

cos 1cos 105

C ∴∠==

=，45QM QP ∴

=， 1364251255

x ??

-+ ??

?∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655

x -+=

， 6x ∴=．

③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，

11

224CR CE AC ∴===．

tan QR BA

C CR CA

==Q ，

A

B

C

D E

R

P H Q

M 2

1 A B

C

D E R

P A B

C

D E R P

H

Q

3

6

6

528

x -+∴=，152x ∴=．

综上所述，当x 为18

5

或6

或

15

2时，PQR △为等腰三角形． 3解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．

∴

AM AN AB AC

=

，即43x AN =． ∴ AN ＝4

3x ． (2)

分

∴ S =213

3248

MNP AMN S S x x x ??==??=．（0＜x ＜4） ……………3分

（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则

AO =OD =2

1MN ．

在Rt △ABC 中，BC ＝

22

AB AC +=5．

由（1）知 △AMN ∽ △ABC ∴

AM MN AB BC

=

，即45x MN

=．

∴ 5

4MN x =， ∴

5

8

OD x =． (5)

分

过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58

MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM

BC AC

=．

∴

5

5258324

x

BM x ?=

=，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝49

96．

A

B

C

M N

P 图 1

O

A

C

M

N

D

图 2

O Q

∴ 当x ＝

49

96时，⊙O 与直线B C 相切． (7)

分

（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．

∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ． ∴ △AMO ∽ △ABP ． ∴

12

AM AO AB AP ==

． AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论： ① 当0＜x ≤2时，2Δ8

3x S y PMN ==．

∴ 当

x

＝2

时

，

233

2.82

y =?=最大 (8)

分

② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．

∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，

∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ． ∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ． ∴ 2

PEF ABC S PF AB S ????

= ?

??

．

∴ ()2

322

PEF S x ?=

-． (9)

分

A

B

C

M

N

P

图 4

O

E

F

A

C M

N

图 3

O

MNP PEF y S S ??=-＝()2

22339266828

x x x x --=-+-．……………………

1

分

当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-2

98283x ??=--+ ???

． ∴

当

83

x =

时，满足

2＜

x

＜4，

2y =最大． (11)

分

综上所述，当83

x =

时，y 值最大，最大值是

2． …………………………12分

4 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =2

3B(3∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33

k =-

,

以直线AB 的解析式为3

4y x =+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o , ∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=

2219AO OP +如图，作BE ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30° ∴GD=12BD=33+3

=

532

,

y

x

H G E D

B

A O

P

∴GB=32

BD=32

,OH=OE+HE=OE+BG=3722

2

+=

∴D(

532,7

2

) (3)设OP=x,则由（2）可得D(3

23,22

x x +

)若ΔOPD 的面积

为：

133(2)2x x +=g 解得：2321

x -±=所以2321

-±,0) 5

6

7解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ……………1分 ∵ AB ∥CD ，

∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．

∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．

∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90

°， ∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．

∴ AG ＝BH ＝2

172

-=-GH AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．

∴

()174162

ABCD S +?=

=梯形． …………………………………………

……3分

（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ， ∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ． ∴ 四边形MEFN 为矩形． ∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．

C D A

B

E F N

M

G H C D B

E F

N

M

G H