数学专业毕业优秀论文

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求矩阵特征向量的三种方法

数学专业学生 张廷国

指导教师 杨波

摘 要：突破了只用行初等变换求矩阵特征向量的思维模式，本文引用了“特征根与特征向量的同步求解”的方法，并导出了“用列初等变换求矩阵的特征向量”的方法，理论上都给出了它们的证明.在求矩阵特征向量时，如果选择的方法得当，将大大提高计算速度. 关键词：行初等变换 列初等变换 矩阵 特征向量

Abstract: Different from the thought of only considering to use row elementary Counterchange

to request the eigenvector of matrix,this paper quotethe method of using “characteristic root and eigevector synchronously request solution”,and deduce the method ofusing “ier elementary counterchange to request the eigenvector”.They are deduced theoretically in the text.if the method of choice Properly when request the eigenvector of matrix will increases consumedly the calculation.

Keywords:row elementary counterchange;tier elementary counterchange;matrix;eigenvector.

§1、定义

定义1 所谓数域P 上矩阵的初等变换是指下列三种变换：

1） 以P 中一个非零的数乘矩阵的某一行（列）. 2） 把矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列） 3）

互换矩阵中两行（列）的位置.

定义2 设A 是数域P 上线性变换，如果对于数域P 中一数λ，存在一个非零向量ξ，

使得

λξξ=A .

那么λ称为A 的一个特征值，而ξ称为属于特征值λ的一个特征向量.

定义3 设A 是数域P 上一n 阶矩阵，λ是一个文字.矩阵A E -λ 的行列式

nn

n n n

n

a a a a a a a a a A E ---------=

-λλλλΛ

Λ

ΛΛΛ

Λ

Λ2

1

22221

11211

||称为A 的特征多项式，这是数域P 上的一个n 次多项式.

定义4 设向量组)1(,...,,21≥s s ααα不线性相关.即没有不全为零的数s k k k ,...,,21使

0...2211=+++s s k k k ααα就称为线性无关；或者说，向量s ααα,...,,21称

为线性无关，如果由

0...2211=+++s s k k k ααα

可以推出

0...21====s k k k .

§2、用行初等变换求矩阵的特征向量

此方法求n 阶矩阵的特征向量，通常是解齐次线性方程0)(=-X A E λ，而解齐次线性方程组一般是用行初等到变换.必要时变换列化系数为阶梯形???

?

??-00,r n r r C E 然后给自由变量一些赋值进而求解.具体求解步骤是：

1）、在线性空间V 中取一组基，写出A 在这组基下的矩阵A ；

2）、求出A 的特征多项式 A E -λ 在数域 P 中全部的根，它们也就是线性变换A 的全部特征值；

3）、把所求得的每一个特征值逐个代入方程组，对于每一个特征值解方程组，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的n 个线性无关的特征向量在基

n εεε,...,,21 下的坐标，这样，我们也求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征

向量.

例1 设数域P 上三维空间V 内线性变换A 关于基321,,εεε的矩阵为A=???

?

?

??---433653631求

A 的特征值与特征向量.

解 因为特征多项式为

f(λ)=|λE-A|=4

6

6

35

3

3

31

---+---λλλ=2)2(+λ(λ-4) 所以特征值是λ

1

=-2(两重)和λ

2

=4

求相应于A 的特征值λ

1

=-2的特征向量

（λ1E-A ）=??

??

? ??------633633633→????? ??--003003003→????? ??--001001001 即1χ-2χ-3χ=0，它的基础解系是

????? ??011，????

? ??-101 因此，属于λ

1

=-2的两个线性无关的特征向量是

1ξ=1ε+2ε，2ξ=-1ε+2ε

而属于λ

1

=-2的全部向量就是1

K 1ξ+2K 2ξ，1K ，2K 取遍数域P 中不全为

零的全部数对.

求相应于A 的特征值λ

2

=4的特征向量

（λ2E-A ）=????? ??-----633693633→????? ??---36312123003→???

?

? ??--0610121001

即

1χ+2χ-3χ=0

122χ-6

3χ=0

它的基础解系是：???

?

?

??211

因此属于

λ2=4的一个线性无关的特征向量是

3ξ=1ε+2ε+23ε，

而属于λ

2=4

的全部特征向量就是K 3ξ，K 是数域P 中任意不等于零的数.

§3、用列初等变换求矩阵的特征向量

设λ是n 阶矩阵A 的特征根，对（λE-A ）施行列初等变换化为(

)

)(r n n r

n O B -??的同时，对单位阵E 施行同样的列初等变换就得到矩阵(

))(r n n r

n D C -??，则矩阵

D 的每一个列向量都是A 的属于特征根λ的特征向量，且它们恰构成特征子空间λV 的一个基.（这里r=秩（λE-A ））

事实上，由矩阵的初等变换和分块矩阵运算性质可得

（λE-A ）(

))(r n n r

n D C -??=())(r n n r

n O B -??

∴（λE-A ）)

(r n n D

-?=0.

由于D 是单位阵E 经若干初等列变换得到的分块矩阵；因而它的n - r 个列向量线性无关，且每个列向量都是

（λE-A ）x=0的解向量.从而结论得证.

例2 求R 上矩阵A=???

?

? ??---02211331

3的特征根与特征向量 解：A f (x) =

x

x x 1

3

211233

-----= (x-4)(2x +4)

∴矩阵A 只有一个实根λ=4

()

3)f(I λ=???????

???? ??---100010001.........413231231 →??????????? ??-100010231.........10103001001→??????

??

?

?

? ??---100110131 (010*******)

从而???

??

??--111为A 的属于特征根4的一个特征向量，

而????

? ??--K K K ，K ≠0,K ∈R,是A 的属于4的全部特征向量

要求出矩阵A 的每一个特征根λ的特征向量，只需对每一个λ按照上述方法一一求解便是. 推论：若n 阶矩阵A 仅有两个特征根.且秩（i λE-A ）=j λ的重数（i ≠j,i,j=1,2）,对

（i λE-A ）经列初等变换化为

（

j r n B ? )(j

r n n O -?），则矩阵B 的每一个列向量都是A 的属于特征根j λ的特征向量，

且它们恰好构成特征子空间

j

V λ的一个基.

事实上，秩（

i λE-A ）=j λ的重数 （i ≠j,i,j=1,2），从而A 可对角化，故存在可逆

阵P

A=1-P ??????

???

?

?

?22

1

1

λλλλO

O P=1-P QP

∴（j λE-A ）（i λE-A ）

=（

j λE-1

-P

QP ）（

i λE-1

-P

QP ）

=1-P （j λE-Q ）P 1

-P

（

i λE-Q ）P

=1-P （

j λE-Q ）（i λE-Q ）P=0

而B 的列向量恰是（i λE-A ）的列空间的一个基，所以B 的j

r

个列向量是齐次线性方程组

（

j λE-A ）x=0的一个基础解系

即B 的j r 列向量是从属于

j λ的线性无关的特征向量.

例3 求矩阵A=????? ??--323230

005的特征根与特征向量 解 A f (x) = ????

? ??---32323000

5x x x =)1()5(2

--x x ∴A 的特征根是5和1

(

)

I

I A)-5(=??????????? ??10

010001.........220220000→??????????? ??00

1

010100.........

022022

000→??????????

?

??-01

1010100......

(00200)

200

0 ∴A 的属于特征根5的特征向量是

1K ?

??

?

? ??011+2K ?????

??-101，1K ，2K 不全为0，1K 2K ∈R

A 的属于特征值1的特征向量是

3K ???

?

?

??220 3K ≠0，3K ∈R

对于只有两个特征根的矩阵来说，要求它的属于不同特征根的特征向量，通常取重数较大的那个特征根，这样作初等变换时比起另一个来更方便些.

还有一些矩阵，比如???

?

? ??-----110732513等，虽然也保有两个特征根，但并不满足“秩

（i λE-A ）=j λ的重数（i

≠

j,i,j=1,2）“这个条件，因而只对()

E

A)

-E (λ作列初等变换即可.

当然，并不是所有矩阵运用此法求特征向量都相对简便，仅供参考. §4、矩阵的特征根与特征向量的同步求解

对f(λ)=A E -

λ同时进行列与行的初等变换，将其化为对角形

λ—矩阵B(λ).

即只要求出有可逆矩阵n 阶λ——矩阵p(λ)、Q(λ)，使

p(λ)f(λ)Q(λ)=ding(1f (λ),2f (λ),…,n f (λ))=B(λ)

显然每个i f (λ)≠0.（即不是零多项式）其中Q(λ)就是在对f(λ)进行列的初等变换时，同时对n I 进行相同的列初等变换的结果.（或记录）当然p(λ)是对f(λ)进行行初等变换时，同时对n I 进行行初等变换的结果.（只是后来不用它，不必记录）

设λ是f(λ)的任意一个根（A 的特征根），因为A 的特征多项式=1f (λ)2f (λ)…

n f (λ).设在1f (λ),2f (λ),…,n f (λ)中有t 个为0，n-t 个不为0（t ≥1）

设1i f (λ)=2i f (λ)=…=t i f (λ)=0 其余的i f (λ)≠0（t i i i Λ

2

1

是1，2，…，n 中某t 个值）显然f(λ)的秩为n –t.

即有p(λ)f(λ)(1i q (λ),2i q (λ),…,t i q (λ))=nt 0 (※) 其中1i q (λ),2i q (λ),…,t i q (λ)是Q(λ)中第t i i i Λ

2

1列的列向量.

由于p(λ)与Q(λ)皆是可逆矩阵,由（※）可得

f(λ)(1i q (λ),2i q (λ),…,t i q (λ))=nt 0

而1i q (λ),2i q (λ),…,t i q (λ)线性无关,即知它们就是方程组

nt

n x f 01)(=?λ的一个基础解系.

故1i q (λ),2i q (λ),…,t i q (λ)就是A 的属于特征根λ的特征向量. 对f(λ)同时施行行与列的初等变换,容易将其化为对角形

λ—矩阵B(λ),只需记录下Q(λ)就成了.这里免去了对B(0λ)的(0λ是A 的一个特征根时)

非0列向量再施初等变换的过程.下面举例说明.

例4 求矩阵A 的特征根与特征向量,其中

A=????

? ??--110010021

解 ()

3)f(I λ =??????

????

? ??--+-100010001 (100112001)

λλλ

的相同与变换

列初等 [I]???????????

??+----110010001.........

1100120012λλλλ行上去到第加以行乘将第3,1-2λ ?????????

?

? ??+----110100001.........10)1(2012

001

2λλλλ 行上去

加到第行乘以第321-??????

???

?

? ??+---110100001.........

100012

00

12λλλ上去

列加到第列乘以第122

??????

????

? ??+---112000001.........

10001200

12λλλ 知B(λ)=????? ??---100010

0012λλ Q(λ)=???

?

? ??-11010

0201λ A 的特征根是1(2重根)与-1.

λ1=1时与B(λ1)中对应的Q(λ1)中两个列向量是'

(1,0,2)

与

'

(0,1,2)

.

λ

2=-1时与B(λ

2)中对应的Q(λ

2)中1个列向量是'

)0,1,

0( ∴A 的属于特征根1的特征向量是'

(1,0,2)

与'

(0,1,2)；A 的属于特征根-1的特征向

量是'

)0,1,0(.

这里顺便指出,对B(λ)也不一定要求它是对角形λ—矩阵.只要其中的n 个元素

1f (λ),2f (λ),…,n f (λ)各在不同行不同列中即可.因为这时的特征多项式即

±1f (λ)2f (λ)…n f (λ).

致谢：在完成此论文的过程中得到了杨波教授的精心指导，在此深表谢意。

参考资料

[1]张禾瑞、郝炳新编《高等代数》[M]高等教育出版社，1983年9月第三版.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》[M]1988年3月第二版，高等教育出版社.

[3]《数学通报》，1995年第一期