两角和与差的三角函数练习题与答案
两角和与差的三角函数练习题及答案
一、选择题
1． sin 45 ·cos ° 15 ＋°cos 225 ·°sin 15 的°值为
( C
)
3
1
1 3
A ．－ 2
B ．－ 2
C.2
D. 2
5
，则 sin 2α等于
( B
)
2．已知 sin(45 ＋°α)＝ 5
4 3
3
4
A ．－ 5
B ．－ 5
C.5
D.5
π
3
，则 sin 2
α－
π － cos 5π
A )
3．已知 cos －α＝
6 ＋ α的值是 (
6
3
6
A. 2＋ 3 B ．－
2＋ 3
C.
2－ 3 －2＋ 3
3
3
3
D.
3
4．已知向量 a ＝ sin α＋ π
， 1 ， b ＝ (4,4cos α－ 3)，若 a ⊥b ，则 sin α＋
4π
等于 ( B )
6 3
3 1 3 D. 1 A ．－ 4
B ．－ 4
C. 4
4
π
1
2π
－ α
＝ 3
，则 cos ＋ 2α
的值是
( A
)
5．已知 sin 6 3
7
1
1 7
A ．－9
B ．－ 3
C.3
D.9
2
6．在△ ABC 中，角 C ＝ 120 °，tan A ＋ tan B ＝ 3 3，则 tan Atan B
的值为 ( B )
1 1 1
5 A. 4 B.3
C.2
D.3
二、填空题
sin α＋ cos α
4
＝3， tan(α－ β)＝2，则 tan(β－ 2α)＝ ________.
7．若
sin α－ cos α 3
3－ sin 70 °
8．
2
＝ ________. 2
2－ cos 10°
3π
π
＝
12
，则 cos α＋
π
－ 56
9．已知 α，β∈
，π，sin( α＋ β)＝－ 3， sin β－
4
4 ＝________. 4 5
13 65
三、解答题
10．化简：
π
π
2cos 2
α－ 1
(1)
－ x
＋ 6cos
－ x
；
(2) π 2 π .
2sin 4
4
sin
2tan 4－ α 4
＋ α
解 (1)原式＝ 2 2 1
π
＋ 3
π
－ x
－x
2
sin 4 2 ·cos 4
＝ 2 2
π π π
π
＝2
2cos π π ＝ 2 2cos
π
sin 6sin － x ＋ cos
－ x
－ ＋ x x － 12 .
4
6cos 4
6
4
cos 2α
cos 2α
＝1.
(2) 原式＝ 1－ tan α
π
＝
cos 2α
1＋ tan α
1－
cos
＋2α
(1＋ sin 2α)
2
1＋ sin 2α
2 π
11．已知函数 f(x)＝ 2sin
＋ x － 3cos 2x.
4
(1) 求 f(x)的周期和单调递增区间；
π π
m 的取值范围．
(2) 若关于 x 的方程 f(x)－ m ＝ 2 在 x ∈ ，
上有解，求实数 4 2
2 π
π
解 (1)f(x)＝ 2sin
4＋ x －
3cos 2x ＝ 1－ cos 2＋ 2x － 3cos 2x
π
＝ 1＋ sin 2x － 3cos 2x ＝ 2sin 2x － 3 ＋ 1，
π
π
π
周期 T ＝ π；令 2k π－ 2≤ 2x － 3≤ 2k π＋ 2，
解得单调递增区间为
π， k π＋ 5π
k π－12 12 (k ∈Z )．
π π π π 2π π 1 (2)x ∈ 4， 2 ，所以 2x －3∈ 6，
3 ， sin 2x －3 ∈ 2，1 ，
所以 f(x)的值域为 [2,3] ．
而 f(x)＝ m ＋ 2，所以 m ＋2∈ [2,3] ，即 m ∈ [0,1] ．
3π
12．已知向量 a ＝ (3sin α， cos α)， b ＝ (2sin α， 5sin α－ 4cos α)， α∈
2 ， 2π，且 a ⊥b .
α π
(1) 求 tan α的值；
＋ 的值．
(2)求 cos 2 3
解 (1)∵ a ⊥b ，∴ a ·b ＝ 0. 而 a ＝(3sin α， cos α)， b ＝ (2sin α， 5sin α－4cos α)，
故 a ·b ＝ 6sin 2 α＋ 5sin αcos α－ 4cos 2
α＝0. 由于 cos α≠ 0， ∴ 6tan 2
α＋ 5tan α－ 4＝ 0.
解之，得 tan α＝－ 4，或 tan α＝
1
.
∵ α∈
3π
， ， 2π， tan α<0 3
2
2
1
故 tan α＝ 2(舍去 )．
4
∴ tan α＝－ 3.
3π
α
3π
由 tan α＝－ 4，求得 tan α
1
或 tan α
(2) ∵ α∈ ， 2π ， ∴ ∈
4 ， π.
＝－
＝ 2(舍去 )．
2
2
3
2
2
2
α 5 α 2 5
∴ sin 2＝ 5 ， cos 2＝－ 5 ，
α π α πα π
2515 3 25＋15 cos 2＋
3 ＝ cos 2cos 3－ sin 2sin 3
＝－
5 ×2－5×
2 ＝－
10
.