2017年湖南省常德市中考数学试卷解析版

2017年湖南省常德市中考数学试卷

满分：120分版本：人教版

第I卷（选择题，共24分）

一、选择题（每小题3分，共8小题，合计24分）

1．（2017山东滨州，1，3分）下列各数中无理数为（）

A. 2

B. 0

C.

1

2017

D. -1

答案：A，解析：略．

2．（2017山东滨州，2，3分）有一个角为75°，则它余角的度数为（）

A. 285°

B. 105°

C. 75°

D. 15°

答案：D，解析：根据余角的定义：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角可知该角的余角为15°故选D．

3．（2017山东滨州，3，3分）一元二次方程3x2-4x+1=0的根的情况是（）

A. 没有实数根

B. 只有一个实数根

C. 两个相等的实数根

D. 两个不相等的实数根

答案：D，解析：∵?=(-4)2-4×3×1=4>0．∴方程有两个不相等的实数根，故选D.

4.（2017山东滨州，4，3分）图1是根据我市某七个

整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的

中位数和平均数分别是（）

A. 30，28

B. 26，26

C. 31，30

D. 26，22

答案：B，解析：把这7个数按照从小到大排列为：22、22、23、26、28、30、31．则这7个数的中位数是最中间的数：26；平均数是：(22+22+23+26+28+30+31)÷7=26，故选B.

5．（2017山东滨州，5，3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A. a(m+n)=am+an

B. a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2

C. 10x2-5x=5x(2x-1)

D. x2-16x+6x=(x+4)(x-4)+6x

答案：C，解析：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，只有C 选项满足，故选C. 6．（2017山东滨州，6，3分）图2是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）

主视图左视图

A. B. C. D.

图2

俯视图

答案：B，解析：由主视图易知，只有B选项符合．

7．（2017山东滨州，7，3分）将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）

A. y=2(x-3)2-5

B. y=2(x+3)2+5

C. y=2(x-3)2+5

D. y=2(x+3)2-5

答案：A，解析：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0,0），

∵向右平移3个单位，再向下平移5个单位，

∴平移后的顶点坐标为（3，﹣5），

∴平移后的抛物线解析式为y=2(x-3)2-5.故选A.

8．（2017山东滨州，8，3分）右表是一个4′4

（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从

这个方阵中选四个“数”，而且这四个“数”的任

何两个不在同一行，也不在同一列，有很多种选法，

把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方

阵中第三行三列的“数”是（）

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

答案：C，解析：把表格中的代数式化简后如右图：

设第三行第三列的“数”是x.

∵任何两个不在同一行，也不在同一列，

∴第一次选择负对角线的四个数：3、6、﹣1和4，

第二次选择主对角线的四个数：1、﹣2、x和6.

可得3+6+（﹣1）+4=1+（﹣2）+x+6，解得x=7.故

选C.

二、填空题：本大题共8个题，每小题3分，满分24分．

9．（2017湖南常德，9，3分）计算：3

28

--____________．

3423sin60°22

3-2-2sin45

-?0

5- 6 32

1

1

3

-

骣

琪琪

桫

4 251

1

6

-

骣

琪

琪

桫

1 2 3 4

﹣3 2

-﹣1 0

5 6 x8

3 4 5 6

答案：0，解析：22-=，382=，所以原式=0. 10．（2017湖南常德，10，3分）分式方程

24

1x x

+=的解为__________． 答案：2，解析：①去分母，方程两边同时乘以x 得2+x =4；②移项解方程得：x =2；③检验，

原方程成立，故方程的解为2.

11．（2017湖南常德，11，3分）据统计：我国微信用户数量已突破887000000人，将887000000

用科学计数法表示为 _______．

答案：8.87×108

，解析：略

12．（2017湖南常德，12，3分）命题：“如果m 是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：

___________．

答案：如果m 是有理数，则它是整数，解析：两个命题，如果第一个命题是第二个命题的结论，

而第一个的结论又是第二个的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.

13．（2017湖南常德，13，3分）彭山的枇杷大又甜，在今年的5月18日“彭山枇杷节”期间，从

山上5棵枇杷树上采摘到了200千克枇杷，请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷___________千克.

答案：24000，解析：抽样调查，随机选择5棵得到200千克，则600棵大概可得到x 千克，得到2005600

x =

，解得x =24000，故答案为24000 14．（2017湖南常德，14，3分）如图3，已知Rt △ABE 中∠A =90°， ∠B =60°，BE =10，D 是线

段AE 上的一动点，过D 作CD 交BE 于C ，并使得∠CDE =30°，则CD 长度的取值范围是___________.

图3

答案：0

15. （2017湖南常德，15，3分）如图4，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上，若设

AE =x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数关系为_______________.

图4

答案：y=2x 2-4x+4，解析：由题中条件可知，图中的四个直角三角形是全等三角形，设AE =x ， 则BE =2-x ，BF =x ，在Rt △EBF 中，由勾股定理可得EF 2=(2-x)2+x 2=2x 2-4x+4，即正方形的面积为

2x 2-4x+4.

16. （2017湖南常德，16，3分）如图5，有一条折线11223344A B A B A B A B L L ,它是由过()10,0A ，

()12,2B ，()24,0A 组成的折线依次平移4，8，12，L L 个单位得到的，直线y=kx +2与此折线

恰有2n （1n 3，且为整数）个交点，则k 的值为_______________.

图5

答案：0或1

2n

-（1n 3），解析：①当k =0时，即直线为y =2，满足题意；②当直线经过点（0,2）与（4,0）时，满足题意，此时1

2

k =-；③当直线经过点（0,2）与（8,0）时，满足题意，此时

14k =-；以此类推，即答案为0或1

2n

-（1n 3）. 三、(本大题2个小题，每小题5分，满分10分) 17、甲、乙、丙三个同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表法或树状法列出所有可能的情形，

并求出甲、乙两人相邻的概率是多少？

解析：甲、乙、丙三人站成一排，所有可能性如图所示:

第一位同学 第二位同学 第三位同学

甲 乙 丙 甲 丙 乙 乙 甲 丙 乙 丙 甲 丙 甲 乙 丙

乙

甲

如图所示，一共有6种可能的情况，其中甲乙相邻的情况有4种，所以甲乙两人相邻的概率为3

18、求不等式组4(1+)5132

35(32)2

x x x x +?-≤???

?-≤-?? ① ②

的整数解. 解析：解不等式①，得x ≤

513 解不等式②，得x ≥7

4- ∴x 的取值范围为74-

≤x ≤5

13 则x 的整数解为x =0，x =1，x =2

四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分) 19、先化简，再求值：

222431212()()33322

x x x x x x x x x -+-+-----+-，其中x =4.

解：原式=22431(1)2)()33(1)(2)2

x x x x x x x x -+-+------（

=2(2)12

()322

x x x x x ------g

=2(2)3

32x x x x ----g

=x-2 x =4时，x-2=2. 20．

（2017湖南常德，20， 6分）

在“一带一路”倡议下，我国已成为设施联通，贸易畅通的促进者，同时也带动了我国与沿线国家的货物交换的增速发展，下图是湘成物流园2016年通过“海、陆（汽车）、空、铁”四种模式运输货物的统计图：

图6 图7

请根据统计图解决下面问题：

（1）该物流园2016年货运总量是多少万吨？

（2）该物流园2016年空运货物的总量是多少万吨？并补全条形统计图； （3）求条形统计图中陆运货物量对应的扇形圆心角的度数？

思路分析：量和率对应，饼状图中所有率之和为1. 解：

（1）该物流园2016年货运总量是：120÷50%＝240（万吨）；

（2）该物流园2016年空运货物的总量是：240×15%＝36（万吨），条形图补全如图所示；

（3）条形统计图中陆运货物量对应的扇形圆心角的度数360°×（1－50%－30%－15%）＝18°．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21．（2017湖南常德，21，7分）

如图8，已知反比例函数

k

y

x

=的图像经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面积为2．

图8 （1）求k和m的值；

（2）若点C（x，y）也在反比例函数

k

y

x

=的图像上，当﹣3≤x≤﹣1时，求函数值y的取值范围．

思路分析：反比例函数，k>0时，图像在一三象限，y在各自象限内随x的变大而变小. 解：

（1）∵反比例函数

k

y

x

=的图像经过点A（4，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，

∴1

2

OB×AB＝2，

1

2

×4×m＝2，

∴AB＝m＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，

∴反比例函数的解析式为

4

y

x =，

即k＝4，m＝1．

（2）由（1）知反比例函数为

4 y

x =

∵k＝4＞0

∴当﹣3≤x ≤﹣1时，y随x的增加而减少

∵点C（x，y）也在反比例函数

4

y

x

=的图像上

∴当x＝﹣3时，y取最大值，

4

3

y=-；当x＝﹣1时，y取最小值，4

y=-

∴y的取值范围为：4

-≤y ≤

4

3 -．

22．（2017湖南常德，22，7分）

如图9，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．

（1）求证：BC是∠ABE的平分线；

（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．

图9

思路分析：（1）等腰三角形两底角相等和平行线间的内错角相等；（2）平行线分线段成比例，解：

（1）∵AB是⊙O的直径

∴∠OCB＝∠OBC

∵BE∥CO

∴∠OCB＝∠EBC

∴∠OBC＝∠EBC

∴BC是∠ABE的平分线．

（2）∵CD与⊙O相切于C

∴△DCO为直角三角形

∵DC=8，⊙O的半径OA=6

∴DO ＝10

∵BE ∥CO ，BD 和DE 相交于点D ∴

DO DC

OB CE

∴CE ＝4.8

23．（2017湖南常德，23，8分）

收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分．下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．

甜甜： 妹妹：

请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？ （2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？ 思路分析：列一元一次方程和一元二次方程，进行求解.

解：

（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年平均增长率是x 根据题意列方程得：400(1+x )2＝484

解得1x ＝0.1 2x ＝﹣2.1（舍） 故平均增长率为10%．

（2）设2017年六一甜甜收到的微信红包为y 元，则妹妹收到红包为（2y ＋34）元，

根据题意列方程得：y ＋（2y ＋34）＝484 解得y ＝150

故甜甜收到的微信红包为：150元，妹妹收到的为新年红包为：（2y ＋34）＝334元． 24. （2017湖南常德，24，8分）

图10，11分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC =0.60米，底座BC 与支架AC 所形成的的角∠ACB =75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮筐D 的距离FD =1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE =60°，求篮筐D 到地面的距离（精确到0.01米）. （参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.73232≈1.414）

2017年六一，我们共收到484元微信红包

2015年六一时，我们只共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元

B

C A

F

H E

D

图10

图11

思路分析：过A 点作FE 的垂线交FE 的延长线于M ，则篮板顶端F 点到地面的距离是FM 和AB

的和，再减去FD 即可得到篮筐D 到地面的距离.

M B

C A

F

H E

D

解：如图，过点A 作AM ⊥FE 交FE 的延长线于M ， ∵∠FHE =60°，∴∠F =30°.

在Rt △AFM 中，FM =AF ·cos ∠F = AF ·cos 30°=2.50×

3

2

≈1.9485米. 在Rt △ABC 中，AB =BC ·tan ∠ACB = BC ·tan 75°≈0.60×3.732=2.2392米. ∴篮板顶端F 点到地面的距离为：FM + AB =1.9485+2.2392=4.1877米

∴篮筐D 到地面的距离为：4.1877－FD =4.1877－1.35=2.8377≈2.84米.

25. （2017湖南常德，25，10分）

如图12，已知抛物线的对称轴是y 轴，且点(2,2)，(1,

5

4

)在抛物线上，点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过点P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点. （1）求抛物线的解析式及顶点N 的坐标； （2）求证：四边形PMDA 是平行四边形；

（3）求证：△DPE∽△PAM

时点P的坐标.

图12

思路分析：（1）将点(2,2)，(1,5

4

)坐标代入y=ax2+k中求出解析式，即可得到顶点N的坐标；（2）

根据解析式设出点P坐标，从而得到点A、C的坐标，再通过N的坐标求出点M的坐标和D的坐标，即可求出MD和PA的长度，得出长度相等，而MD∥PA，所以四边形PMDA是平行四边形；（3）

在（2）证明之后继续证明PM=PA，则四边形PMDA是菱形，∠MDP=1

2

∠PDE=

1

2

∠ADM=

1

2

∠APM，

所以∠PDE=∠APM，而△DPE和△PAM都是等腰三角形，顶角相等，则两个三角形相似.

解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+k，

∵点(2,2)，(1,5

4

)在抛物线上，

∴

42

5

4

a k

a k

+=

?

?

?

+=

??

，解得

1

4

1

a

k

?

=

?

?

?=

?

.

∴该抛物线的解析式为：y=1

4

x2+1，顶点N的坐标为（0,1）；

（2）设点P坐标为（x, 1

4

x2+1），

∵PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点.

∴A（x,0），C（0,1

4

x2+1），M（0,2），D（0，1－

1

4

x2）；PA∥y轴；

∴MD=2－（1－1

4

x2）=

1

4

x2+1=PA且MD∥PA

∴四边形PMDA是平行四边形；

（3）由（2）得四边形PMDA是平行四边形，PC=x，CM=1

4

x2+1－2=

1

4

x2－1；

∵在Rt△PCM中，PM

2

1

1

4

x

==+=PA

∴四边形PMDA是菱形，△PAM是等腰三角形；

∴∠APM=∠ADM；∠MDP=1

2

∠ADM；

根据抛物线的对称性，PD=ED，

∴△DPE是等腰三角形，DC平分∠PDE，

∴∠MDP=1

2

∠PDE，

∴∠PDE=∠APM；

又∵∠PDE，∠APM分别为等腰△DPE和△PAM的顶角；∴△DPE∽△PAM

PE=2x，AM

∵PE：AM

x

=±

P

点坐标为：（±4）

26.（2017湖南常德，26，10分）

如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F.（1）如图13，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；

（2）如图14，若BD=4DC，取AB得中点G，连接CG交AD于M，

求证：①GM=2MC；②AG2=AF·AC.

B C C

B

A

D

A

D

图13 图14

思路分析：（1）求证全等的两个三角形都是直角三角形，，BE为公共边，斜边相等，根据HL 可以判断其全等；（2）①连接GD，利用=====2:1

AGM DGM AGM DGM DG

ACM DCM ADM DCM DC

S S S S S

GM

MC S S S S S

+

+

△△△△△A

△△△△△A

则结论得证；②过点C作CN⊥AC于C,交AD延长线于N，则AB∥CN，则△ABF∽△CAN，△ADB∽△NDC，

所以

4:1AD CN BD DN AB DC ===，AF AB CN CA =

，所以AF ·CA =AB ·CN =22

1=4

AB AG .

C

B

A

证明：（1）∵BF ⊥AD ， ∴∠AEB =∠DEB =90°； 在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，

==BA BD

BE BE

??

?

∴Rt △ABE ≌Rt △DBE （HL ）；

（2）①连接GD ， ∵BD =4DC ，G 是AB 中点，

∴DC S △A =15BC S △A ，=142

=255

DG BC BC S S S ?△A △A △A ； ∴

=====2:1AGM DGM AGM DGM DG ACM DCM ADM DCM DC

S S S S S GM MC S S S S S ++△△△△△A △△△△△A ； ∴GM =2MC ；

②过点C 作CN ⊥AC 于C ,交AD 延长线于N ，则AB ∥CN ；

C

B

A

∴△ADB ∽△NDC ， ∵BD =4DC ∴

4:1AD CN BD

DN AB DC

=== 又∵BF ⊥AD ，∠BAC =90°，

∴∠ABE +∠BAE =∠FAE +∠BAE ，

∴∠ABE =∠FAE ，即∠ABF =∠CAN ，

在Rt △ABF 与Rt △CAN 中，∠BAF =∠ACN =90°，∠ABF =∠CAN ， ∴Rt △ABF ∽Rt △CAN ， ∴

AF AB

CN CA

， ∴AF ·CA =AB ·CN =221

=4

AB AG ，

∴AG 2=AF ·AC .