一种改进的RA译码算法

第33卷第11期电子与信息学报Vol.33No.11 2011年11月 Journal of Electronics & Information Technology Nov. 2011

一种改进的RA译码算法

张敬毅*金明录

(大连理工大学电子信息与电气工程学部大连 116024)

摘要：重复累积(RA)码译码使用置信传播(BP)算法，具有接近香农限的性能，但校验节点更新时使用复杂的双曲正切函数和反双曲正切函数，算法复杂度较高。为了降低译码算法的复杂度，且具有较好的性能，该文将查表法和分段函数近似法结合起来，提出了一种改进的译码算法。该算法采用分段的一次函数，去近似BP算法检验节点变换化简后的原函数，采用非常小的查找表得到一个校正值，用校正值去修正近似函数和变换化简后的原函数之间的误差，很好地避免了复杂函数的计算，且误差极小。该算法大大降低了译码算法的复杂度，且具有接近BP算法的译码性能。

关键词：重复累积码；置信传播算法；最小和算法；查找表；分段近似函数

中图分类号：TN911.22 文献标识码：A 文章编号：1009-5896(2011)11-2616-07 DOI: 10.3724/SP.J.1146.2011.00324

An Improved Decoding Algorithm of Repeat Accumulate (RA) Codes

Zhang Jing-yi Jin Ming-lu

(Faculty of Electronics and Electrical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China) Abstract: Belief Propagation (BP) decoding algorithm of Repeat Accumulate (RA) code approaches Shannon limit, but it possesses high complexity because of the use of the complex hyperbolic tangent function and the inverse hyperbolic tangent function at check nodes updating. In order to reduce the complexity with little performance sacrifice, combining the two methods lookup tables and piecewise approximation function, a modified decoding algorithm is proposed in this paper. The algorithm uses piecewise function to approximate the original function, which is obtained by transform and simplify the check node updating of BP algorithm, and use a very small lookup table to get a correction to correct error between the original function and approximate function. It can avoid the complex calculations, and get the minimal error. The algorithm greatly reduces the decoding complexity, and has

a performance close to the BP decoding algorithm.

Key words: Repeat Accumulate (RA) code; Belief Propagation (BP) algorithm; Min-sum algorithm; Look-up table;

Piecewise approximation function

1 引言

在信道编码中，Turbo码[1]的编码算法与码长呈线性关系，但其译码算法复杂。LDPC码[2]的译码算法与码长呈线性关系，但其编码算法与码长呈平方关系，编码算法复杂。由于Turbo 码和LDPC 码的固有缺陷，寻求具有线性编译码复杂度并且接近香农限性能的纠错码成为信道编码研究的热点。

1998年，Divsalar等人[3]提出的重复累积(Repeat Accumulate, RA)码是一种简单的类Turbo 码(Turbo-Like Codes, TLC)，同时也是一类特殊的LDPC码。RA码编码器由重复器、交织器、组合器、累加器级联构成。编码和Turbo码类似，而构成后的码字，因为其校验矩阵H是稀疏矩阵，所以也具有LDPC码的特点，可以采用高速并行的置信传播(Belief Propagation, BP)译码算法(即和积算法)进

2011-04-07收到，2011-07-13改回

*通信作者：张敬毅 zhangjingyi131@https://www.360docs.net/doc/003573736.html, 行译码。由于RA码同时具有Turbo码和LDPC码的优点，可以在线性时间内编码和译码，且RA码具有接近香农限的性能[4]，RA码成为了信道编码领域研究的热点。受不规则LDPC码的启发，文献[5]提出了一种不规则RA(IRA)码，IRA码具有与不规则LDPC码一样优越的性能，但是编码的复杂度远低于不规则LDPC码。

RA 码的译码算法采用BP译码算法，然而BP 算法进行校验节点更新时需要使用双曲正切函数(tanh)和反双曲正切函数1

(tanh)

?等复杂的运算，算法复杂度大，硬件实现占用资源多，影响了它在实际通信系统中的应用。最小和算法可以用于RA码，虽然复杂度较低，却大大降低了译码性能。

为了降低译码算法的复杂度，同时获得较好的译码性能。很多人对BP译码的简化算法进行了研究，一般采用查找表的方法或是采用简单的分段函数来代替复杂函数的计算。其中文献[6]提出了两种

第11期张敬毅等：一种改进的RA译码算法 2617

简化的方法，分别使用分段函数和查找表的方法对tanh和1

tanh?分别进行近似计算，极大的降低了复杂度。文献[7]对BP算法进行了化简，采用分段函数近似计算，其中的一段函数使用正交的切比雪夫多项式进行近似计算，另一段使用一条直线代替，大大降低了BP算法的复杂度，当切比雪夫多项式阶数较高时，译码性能接近BP算法。文献[8]提出了一种基于最小和算法的自适应归一化和偏移算法，该算法利用校验节点的状态信息自适应地选择压缩因子来降低最小和算法带来的误差，译码性能有了较大提高，但也带来了复杂度的提高。

本文提出一种改进的BP译码算法，将查找表与分段函数近似的方法结合起来，得到了更好的效果，降低了算法复杂度，同时得到了较好的译码性能。采用分段的一次函数去近似BP算法变换化简后的原函数，同时采用查表方法得到一个校正值，用校正值去修正近似函数和变换化简后的原函数之间的误差。由于使用一次函数代替了复杂的tanh和1

tanh?函数，且校正值的查找表非常小，该算法大大降低了译码算法的复杂度，且减少了硬件实现时的资源占用，仿真分析表明该算法具有接近BP算法的译码性能。

2 RA译码算法

2.1 BP算法

BP算法[9]是在对数域实现的和积算法，边上传输的是对数似然比信息，根据节点的软判决信息进行译码。校验矩阵H在编码时已经确定，校验矩阵中的1代表边，在边信息的帮助下，可以进行译码操作。译码前，使用信道观测的似然比信息初始化变量节点；然后根据校验关系，初始化信息在校验节点和信息节点间反复传递进行迭代计算；当达到最大迭代次数或是迭代停止的条件时，迭代信息趋于收敛，根据得到的对数似然比信息进行软判决，就可以得到发送的信息序列。

图1是一个(6,2) RA码的Tanner图表示，其码长为2，重复次数3

q=，交织图样{1,2,5,3,4,

π=

6}，对于任意的校验节点满足这样的约束关系：与校验节点相连接的所有变量节点传到校验节点的信息的奇偶校验和为0。

如图1所示，u代表信息节点，c代表校验节点，y代表奇偶节点，e代表边。定义[,]

m y c为奇偶节点y到校验节点c的边上所传输的信息；[,]

m u c为信息节点u到校验节点c的边上所传输的信息；[,]

m c y为校验节点c到奇偶节点y的边上所传输的信息；[,]

m c u为校验节点c到信息节点u的边上所传输的信息。

图1 (6, 2) RA码的Tanner图

在BP译码算法中，边所传递的信息是与变量节点相关位的对数似然比信息，对于任意的对数似然比信息可由

01

ln(/)

p p表示，其中0p代表0的概率，1

p代表1的概率，满足011

p p

+=。BP译码算法一个最重要的性质就是信息传递计算时只计算外信息。

对于加性高斯白噪声信道(AWGN)，每一个从信道接收的码位的信道观测值的对数似然比信息可

表示为

2

(0|)2

()ln

(1|)

r

r

p x y

B y y

p x yσ

=

==

=

，其中x为位节

点的值，

r

y为信道接收值，σ为信道中高斯白噪声的方差。

规则RA码的BP译码算法如下：

(1)初始化[,],

m u c[,],

m c u[,],

m y c[,]

m c y，将他们置为零。

(2)更新[,]

m y c

() ,

[,]

()[,],,(,)

qn

B y y y

m y c

B y m c'y c'c c'y E

?=

??

=?

?+≠∈

???

(1)

(3)更新[,]

m u c

[,][,] , , (,)

c'

m u c m c'u c'c u c'E

=≠∈

∑(2)

(4)更新校验节点[,]

m c y和[,]

m c u

1

[,],

[,][,] [,]=2artanh tanh tanh ,

22

(,), (,),

m u c c c

m u c m y'c

m c y

u c y'c E y y'

?=

??

??

???

????

??

???

???

???

?????

??

???

?

????

??

??

?∈≠

???

(3)

1

[,],

[,][,] [,]=2artanh tanh tanh ,

22

(,),(,),

m y c c c

m y c m y'c

m c u

y c y'c E y y'

?=

??

??

???

????

??

???

???

???

?????

??

???

?

?????

??

??

?∈≠

???

(4) tanh()x为双曲正切函数，

1

tanh(/2)

1

x

e

x

e

?

=

+

。

(5)循环执行(2)-(4)，当0

Hu=

或是迭代次数最大时，迭代停止。

(6)对每个信息节点u U

∈，计算

2618 电 子 与 信 息 学 报 第33卷

()[,]c

s u m u c =∑ (5)

如果()0s u ≥，信息位u 译码值为0，否则为1。

从式(3)和式(4)可以看出，BP 译码算法虽然具有接近香农限的译码性能，但是在校验节点更新时需要使用双曲正切函数tanh 和反双曲正切函数1tanh ?等复杂的运算，硬件实现时占用大量的资源，

算法的复杂度高。

2.2 最小和算法及其改进算法

在LDPC 码的译码算法中利用最小和译码算法来简化复杂的tanh 及1tanh ?函数以达到降低算法复杂度的要求。由于RA 码也具有稀疏的校验矩阵，是一种特殊的LDPC 码，其译码算法与LDPC 码类似，因此最小和译码算法可用于RA 码的译码[8]。按照最小和译码算法的要求，我们对校验节点的更新信息m [c ,y ]和m [c ,u ]进行近似[10]，则更新准则变为

[,]sgn([,])sgn([,])

min([,],[,])

m c y m u c m y'c m u c m y'c ≈??

(6)

[,]sgn([,])sgn([,]) min([,],[,])

m c u m y c m y'c m y c m y'c ≈?? (7)

从式(6)和式(7)可以看出最小和译码算法大大的简化了BP 译码算法，不再使用复杂的tanh 及其1tanh ?函数，仅需要求最小值运算和符号相乘运算，

求最小值运算可以通过加法运算实现，符号相乘运算可以化为模2和运算。最小和算法大大降低了算法的复杂度，但对性能分析可知译码性能也有了较大的降低，是以性能的下降为代价的。

分析最小和算法带来误差的原因，有学者提出了归一化和偏移算法，来减小最小和算法的误差。文献[8]在此基础上，提出了自适应的归一化和偏移算法，根据校验节点的状态信息来自适应地选择压缩因子,νρ，但是文献中为了运算的简单，使用了固定的压缩因子。本文使用码长为4096的规则RA 码，采用BPSK 调制，迭代100次对自适应的归一化和偏移算法进行了仿真，其中参数为(,)(18μν= /20,18/21), (,)(3/16,1/4)?ρ=。

3 改进的BP 译码算法

3.1 基于查找表的改进译码算法

首先对BP 译码算法的校验节点更新准则进行分析，这里以校验节点信息[,]m c u 的更新准则式(4)为例，存在如下关系：

[,][,] [,] sgn sgn sgn 222m c u m y c m y'c ???????????=???????????????? (8) |[,]||[,]|ln tanh ln tanh 22

|[,]| ln tanh 2

m c u m y c m y'c ????????=????????????????+?????? (9) 取(1)()ln tanh(/2)ln (1)x x e f x x e ??+???=?=???????

，可以看出 1()f x ?()f x =，所以校验节点的信息更新关系可化为

[,]sgn([,])sgn([,])

((|[,]|)(|[,]|))m c u m y c m y'c f f m y c f m y'c =??+ (10)

同理，式(3)变为

[,]sgn([,])sgn([,])

((|[,]|)(|[,]|))m c y m u c m y'c f f m u c f m y'c =??+ (11)

从式(10)，式(11)可以看出，可以使用函数()f x 代替tanh 和1tanh ?函数来进行校验节点的更新。函数()f x 由于存在对数和指数运算，在算法实现时，多使用查表法。为了降低算法的复杂度，使用非均匀量化的方法对函数()f x 进行查表，由于算法只需一个非均匀的查找表，相对于BP 译码算法，算法复杂度有了较大的降低。

()f x 函数如图2所示，可以看出，当x 趋近于0时函数值趋向于无穷大值，当x 趋向于无穷大时函数值趋向于0; x 从小到大函数值变化越来越慢，所以量化间距也应该从小到大越来越大。按照函数值的变化快慢对函数进行分段，每一个小的分段内采用均匀量化的方法。查找表的量化如表1所示。

对不同大小的查找表算法进行计算机仿真分析，在高斯白噪声信道下，对RA 码进行BPSK 调制，编码数据长度为4096，重复次数为3，译码器的最大迭代次数为100。仿真结果如图3所示。

从仿真图中可以看出，()f x 函数非均匀量化的查找表算法表格大小为2048时，性能较好，接近BP 算法的性能。查找表大小为2048和1024时，译码性能要优于自适应的偏移算法和自适应的归一化算法。查找表表格越大，译码性能越好，但占用的硬件资源越多，算法的复杂度也越大。随着查找表的减小，当表格大小为512的时候，译码性能与

BP

图2 f (x )函数图形

第11期 张敬毅等： 一种改进的RA 译码算法 2619

表1 数据分度及其各段的均匀量化数目

x 分段情况

0-0.01 0.01

-3 3-6 6-10

2048 200 1200 600 48

1024 100 600 300 24 512 20 320 160 12 表格大小

256

10

160

80

6

图3 不同大小的查表法性能比较

算法相比有0.15 dB 的降低，但是与最小和算法的

性能相比仍有0.15 dB 的提高。当表格规模继续减小为256时，译码性能出现了较为明显的恶化。基于查找表的改进BP 译码算法相比BP 算法有了较大的算法复杂度的降低，实现了性能和复杂度的折中。

3.2 基于分段函数近似的改进算法

文献[7]中提出了一种基于分段函数近似的改进译码算法，也叫CPF-BP 算法。该算法采用切比雪夫多项式拟合的方法，用分段函数去近似化简后的原函数，可以看出多项式的阶数越高，越接近BP 算法的性能。但是阶数越高，译码算法复杂度也越高。采用文献中的结果，本文使用二阶的切比雪夫多项式，其中系数20.057281b =, 10.114562b =, 00.66771b =，对RA 码进行了仿真，这里采用BPSK 调制，编码数据长度为4096，重复次数为3，译码器的最大迭代次数为100。

3.3 一种基于查找表与分段函数相结合的改进译

码算法

由以上可以看出，基于查找表和基于分段函数的算法各有优点，查找表实现简单，但是要达到较好的性能，需要较大的查找表，而分段函数近似的方法得到较好的性能，需要二阶以上的近似函数。为了显著降低算法的复杂度，同时获得较好的译码性能，本文利用查表和分段函数近似两种方法的优点，提出了一种分段函数近似，查找表矫正误差的改进译码算法。

首先对于校验节点更新的准则进行分析，以[,]m c u 的信息更新准则为例。首先对校验节点的更

新进行变换，将tanh()x x

x

x

e e x e e

???=+与1tanh ()x ?= 11ln 21x x ?+?????

????函数代入式(4)，得 111([,][,])([,][,])2211([,][,])[,][,])22[,][,][,]2tanh tanh tanh 22 ln ln m y c m y'c m y c m y'c m y c m y'c m y c m y'c m y c m y'c m c u e e e e ????+?+????????????=???????????????

???????=+?????????????+??????

(12)

进行参量的替代，设[,][,],m m y c m y'c =? n =

[,][,]m y c m y'c +，式(12)可化为

/2/2/2/2[,]ln()ln()m m n n m c u e e e e ??=+?+ (13) 设函数/2/2()ln()m m g m e e ?=+，所以式(13)可以化为

[,]()()m c u g m g n =? (14) 即校验节点的更新准则可用式(14)进行代替。容易看出()g m 函数为偶函数，所以对它进行分析时只讨论0m ≥的情况。

分析原函数的曲线，如图4，可以看出当m 趋于无穷大时，变换化简的原函数无限接近()f m = /2m 这条直线，但是由于在m 较小时，原函数与()/2f m m =差值较大，使用差值矫正也需要量化阶数较大时才能使误差较小。所以当m 较小时，采用另外一条直线。这里以/2/2()ln()m m g m e e ?=+函数在零点时的值作一条水平直线，以水平直线和直线()/2f m m =作为分段的一次函数，也就是近似函数，分段点为两条直线的交点。可以看出误差最大的值位于交点处，对误差的幅度进行等分量化，做一个矫正误差的查找表。

如图4所示，原函数曲线为BP 算法校验节点更新准则经过变换化简后的函数，即()g m = /2/2ln()m m e e ?+，分段近似函数是本文中提出的近似函数，误差值曲线表示原函数与近似函数之间的误差。改进的方法使用近似函数去逼近原函数，采用查表的方法得到一个校正值，来修补近似函数与原函数的差值。可以看出近似函数为一个两段的分段函数，且均为直线，也就是为一次函数。查找表根据最大幅度值进行等分量化，从上面的分析可知查找表越大，校正值越准确，误差也就越小。

原函数可以通过近似函数逼近，校正值矫正误差来近似求解，函数式就可以变为

/2/2()ln()=()0.6931, 1.3862 /2, 1.3862m m g m e e p m c

c m m c m ?=++?+≤??=??+>???

(15)

2620 电 子 与 信 息 学 报 第33卷

图4 变换化简后的原函数与近似函数的比较

其中()g m 为原函数，()p m 为近似函数，

c 为校正值。c 通过查表获得，本文使用的查找表如表2所示。

表2 校正值c 的查找表

m c [0.4742,0.6741)[2.8580,3.5652) 0.0279

[0.6741,0.8295)[2.4385,2.8580) 0.0558

[0.8295,0.9623)[2.1365,2.4385) 0.0837

[0.9623,1.0809)[1.8991,2.1365) 0.1116

[1.0809,1.1896)[1.7025,1.8991) 0.1395

[1.1896,1.2908)[1.5340,1.7025) 0.1674

[1.2908, 1.5340) 0.1953

其他 0

由以上分析可得，将式(11)应用于BP 算法校验节点中，可以避免对复杂函数tanh 和1tanh ?的计算。由图4可以看出，近似的函数加上校正值会非常接近原函数的值，误差会降的非常小，所以这种近似方法对算法的译码性能影响比较小。有以上的分析，校验节点信息[,]m c y 和[,]m c u 的更新准则变为

[,]()()0.6931, 1.3862()()/2, 1.3862m c y g m g n c m g m p m c m c m ?=???????+≤????=+=????+>??????

(16) 其中[,][,],[,][,]m m u c m y'c n m u c m y'c =?=+。

[,]()()0.6931, 1.3862()()/2, 1.3862m c u g m g n c m g m p m c m c m ?=???????+≤????=+=????+>??????

(17) 其中[,][,],[,][,]m m y c m y'c n m y c m y'c =?=+。

本文提出的改进算法的校验节点更新使用式(16)，式(17)代替BP 译码算法中的式(3)，式(4)，很好地避免了复杂的tanh 和1tanh ?函数的计算，通过使用一次分段函数近似和一个很小的查找表得到的校正值来进行误差矫正，用这样的方法进行校验节点的更新，极大地降低了算法的复杂度。

4 仿真分析

众所周知，评价一种译码算法好坏最重要的指

标就是算法复杂度和译码性能。首先对不同算法的复杂度进行比较分析，不同译码算法每次进行校验节点更新时的算法复杂度比较如表3所示。从表中可以看出，BP 算法使用了乘法以及复杂的tanh 和1tanh ?函数进行校验节点的更新，对于tanh 和1tanh ?函数硬件实现时算法复杂度最大，占用硬件资源多；而最小和算法进行校验节点更新时，仅仅使用4次加法，算法复杂度最低，改进的最小和算

法需要4次加法，校验节点状态信息判决以及归一化、偏移以及压缩因子的引入带来了算法复杂的提

高，相比最小和算法，复杂度有了较大的提高；基

于查找表的改进算法与BP 算法相比有较大的降低，

但其表格仍然较大，占用硬件资源较多，制约了算

法的应用；对于2阶的切比雪夫多项式CPF-BP 算

法校验节点更新时最多需要14次加法，12次乘法，

相比BP 算法复杂度有了很大的降低；本文提出的

算法更新校验节点时最多需要8次加法，4次乘法

以及2次查表，但校验值c 使用的查找表非常小，加法和乘法运算也较少，所以复杂度很小，低于CPF-BP 算法，略高于最小和算法，大大降低了BP 算法的复杂度。 表3不同算法的复杂度比较

译码方法

加法乘法 tanh

1

tanh

?查找表BP 算法 —

8 4 2 —

最小和算法 4

—

—

— — 改进最小 和算法

4 2 —

— —

查表法改进 算法

4 —

—

— 5 CPF-BP 算法14 12 — — —

本文算法

8 4 —

—

2

在硬件实现时，乘法运算会转换成一些列的加法和位移运算，例如对于0.875与x 的相乘可以化为0.875/2/4/8x x x x ×=++，其中含有2次加法，3次位移运算。相应地，一次乘法运算也就需要一系列的加法器和位移器来实现，占用的硬件的资源也就远多于加法。对于查找表的硬件实现时，查找表越大需要的内存也越大，同时查找算法也会越复杂，非均匀量化的查找算法比均匀量化复杂，查找算法越复杂占用硬件资源越多。BP 算法中，复杂函数tanh 和1tanh ?的实现多采用查表方法，要想不影响函数的精确度需要很大的查找表，占用的内存就多。本文提出的改进算法仅需要8个值的查找表，对于每一个表值使用16位的浮点数表示，校正值的查找表仅需要128 bit 的内存即可，与BP 算法、查找表的改进BP 算法相比所需要的内存大大

第11期张敬毅等：一种改进的RA译码算法 2621

减少，查找算法也得到简化，同时本文提出的算法，使用的加法和乘法算法都较少，硬件资源占用大大减少。

对不同算法的译码性能进行分析，不同算法的译码性能如图5所示。从图中可以看出最小和算法的性能与BP译码算法相比有较大幅度的降低，最小和算法复杂度的降低是以性能的牺牲为代价的，对于那些对译码性能要求不高或是信道质量好的情况下，可以采用最小和算法；基于最小和的自适应归一化和偏移算法与最小和算法相比性能有了较大的提高，但是带来了复杂度的提高，是性能和复杂度的折中。而基于查找表的改进算法当表格大小为2048时，具有较好的译码性能，优于最小和以及最小和的改进算法，但是硬件实现占用资源仍然过多；CPF-BP算法的性能与BP算法相比仅有较小的降低，但低于本文提出的改进算法，要达到更好的性能，需要更高的阶数，但是也会带来复杂度的提高；本文提出的改进算法性能优于CPF-BP算法和改进的表格为2048的查找表算法，性能极其接近BP译码算法，但是与BP算法相比算法复杂度得到了大大的降低。

图5 不同算法的译码性能比较

综上所述，本文提出的分段函数近似、查找表矫正的改进译码算法复杂度远低于BP算法的复杂度，译码性能非常接近BP算法的性能，以尽量小的复杂度得到了较高的译码性能。

5 结论

RA码的BP译码算法译码性能接近香农限，但是由于BP译码复杂度较高，硬件实现占用资源多，算法复杂度高。本文首先对文献[8]中改进的最小和算法进行了分析，性能有了提高但复杂度也较最小和算法有了提高；对基于查表的改进算法进行分析，可以看出改进算法的查找表仍然较大，硬件实现占用资源较多，且译码性能也有一定下降；接着分析了文献[7]中的分段函数近似方法，当近似函数阶数高时能得到接近BP算法的性能，但是复杂度也会

跟着上升。本文提出的改进译码算法，利用查找表

和分段近似两种方法的优点，采用一个分段的一次

函数去近似变换化简后的原函数，采用查表的方法

得到一个校正值，修补近似函数带来的误差，算法

复杂度得到了大大的降低，仅用很小的复杂度获得

了接近BP译码算法的性能，具有较高的理论意义

和实用价值。

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using TAP approach[C]. Proceedings of the 4th International

Symposium on Communications, Control and Signal

Processing (ISCCSP), Limassol, Cyprus, March 3-5, 2010:

1-5.

张敬毅：男，1987年生，硕士生，研究方向为重复累积码的编译码算法研究.

金明录：男，1958年生，教授，博士生导师，研究方向为信号与通信系统的基础理论和技术.