（3）
9a 2b 3(a ≥0，b ≥0) （4）262－102
（5）32×28 （6） 6a 3×3a
2
（a ≥0）
（7）627xy ·x
y
(x ≥0，y ＞0) （8）5ab ·(－4a 3b )(a ≥0，b ≥0)
（9 （100a ≥ 0b ≥）
例2、已知等腰三角形的腰为26cm ，底边为42cm ，求这个腰三角形的高和面积.
练习：.已知矩形的长是宽的3倍，它的面积为72cm 2
，求这个矩形的长和宽.
例3．将根号外的正因数或正因式移到根号内 （1）32
（2）2.05- （3）a
a 1-
例4、比较下列各式的大小：
（1） （2）
拓展延伸：
1、对于任意不相等的两个实数a 、b ， 定义运算※如下：a ※b ＝
a ＋
b a －b ，如3※2＝3＋23－2
＝5．那么8※12＝ 2. 已知n 是一个正整数，135n 是整数，则n 的最小值是 （ ） A ．3
B ．5
C ．15
D ．25
3、已知直角三角形两直角边长分别为10cm 、20cm ， 求（1）斜边的长（2）斜边上的高
4、解方程组???3x ＋6y ＝10
6x ＋3y ＝8
，并求xy 的值．
二次根式的乘法
16.2二次根式的乘除法 二次根式的乘法 一、学习目标 1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。 二、学习重点、难点 重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、学习过程 （一）复习回顾 1、计算： （1）4×9=______ 9 4?=_______ （2）16×25 =_______ 25 16?=_______ （3）100×36 =_______ 36 100?=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）4×9_____9 4? （2）16×25____25 16? （3）100×36__36 100? （二）提出问题 1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的乘法法则进行计算？ 3、积的算术平方根有什么性质？ 4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 （三）自主学习 自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目： 1、用计算器填空： （1）2×3____6（2）5×6____30 （3）2×5____10（4）4×5____20 2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？ 能用数学表达式表示发现的规律吗？ 3、二次根式的乘法法则是： （四）合作交流
1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算： （1）9×27 （2）25×32 （3）a 5·ab 51 （4）5·a 3·b 3 1 2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题： （1）用式子表示积的算术平方根的性质： 。 （2）化简： ①54 ②2212b a ③4925? ④64100? （五）展示反馈 展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？ （六）精讲点拨 1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数进行因数或因式分解。 （2）分解后把能开尽方的开出来。 （七）拓展延伸 1、判断下列各式是否正确并说明理由。 （1）)9()4(-?-＝94-?- （2）323b a =ab b 3
(完整版)二次根式乘除法练习题
12．6二次根式的乘除法 知识回顾:： 1、（1） 94?= = ； 9 4?= = ； （2）169?= = ； 16 9?= = ； （3）b a ? ab （a ≥0，b ≥0）． 2、（1） = 949=_________；（2） = 81 4=_________;（3） = b a （a ≥0， b ＞0）． 目标解读:： 1.理解并掌握二次根式乘法和除法法则，并会进行简单的二次根式的乘除法运算. 2.理解最简二次根式的意义及条件，把所给的二次根式化为最简二次根式. 3.理解分母有理化的意义，并会进行分母有理化. 基础训练: 一、选择题 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） 2. == ==，以下判断正确的是（ ） Ａ．甲的解法正确，乙的解法不正确 Ｂ．甲的解法不正确，乙的解法正确 Ｃ．甲、乙的解法都正确 Ｄ．甲、乙的解法都不正确 3. 已知 a b ==的值为（ ） Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．3 Ｄ．4 4. = ） Ａ．1x <且0x ≠ Ｂ．0x >且1x ≠ Ｃ．01x <≤ Ｄ．01x << 5. =x y ，满足的条件为（ ）
Ａ． x y ? ? < ? ≥ Ｂ． x y ? ? > ? ≤ Ｃ． x y ? ? < ? ≤ Ｄ． x y ? ? > ? ≥ 6. ；结果为（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7. 给出下列四道算式： （1 ）4 =-（2 ） 1 1 4 =（3 ）=（4 ） ) a b => 其中正确的算式是（） Ａ．（1）（3）Ｂ．（2）（4）Ｃ．（1）（4）Ｄ．（2）（3） 8. ） Ａ．- Ｂ． Ｃ．±Ｄ．30 9. 下列各组二次根式中，同类二次根式是（） ， Ｂ． Ｄ ． ，10. 下列各式中不成立的是（） 2x = 32 == 54 1 99 =-=- Ｄ．4 = 11. 下列各式中化简正确的是（） ab = = 1 3 2 = b = 12. 给出四个算式： （1 ）=2 ）=3 ）6 =（4）
二次根式的运算法则(讲义)
二次根式的运算法则（讲义） ? 课前预习 1. 已知a ，b 均为非负数，请根据幂的运算法则与算术平方根的定义，解决下 列问题： （1）①根据算术平方根的定义可知，ab 的算术平方根是____． ②2 =22? =_________ 是_________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． （2）类似（1 0b =≠）： ①根据算术平方根的定义可知，a b 的算术平方根是_______． ②2 ? =________ _________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． ? 知识点睛 1. ________________________________叫做二次根式，它具有 _________________________，即_______________________． 2. 最简二次根式（①②同时具备）： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 3. 二次根式的乘除法则： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 4. 同类二次根式：_____________________________________． 5. 二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． ? 精讲精练
二次根式的乘法
二次根式的乘法(3) 教学目标：1、熟练地运用二次根式的乘法运算法则进行简单的二次根式的乘法运算。 2、运用二次根式的乘法化简二次根式。 3、学会比较二次根式的大小的方法。 教学重点：二次根式的乘法公式的灵活运用。 教学难点；二次根式的化简 教学过程： 一、复习提问： 1、二次根式的乘法运算法则和积的算术平方根的运算性质是什么？用文字语言怎样表达？两者的关系是什么？使用两个公式时要注意什么？ 2、练习： 10 计算：（1）18325?- （2） y x 632? （3）y x y x 422+?+ （4）33182xy y x ? 20 计算：（1）5.424? （2）6.35.0? 30计算：（1）82732? （2）3 2223455? 说明：解题时，要根据题目的特点灵活运用公式，进行计算，结果要尽量化简。 二、新授 1、二次根式化简的另一方法 由27272=?的逆用可得27272?= 。利用这种方法可以进行二次根式的化简。 例如：25.025.022=?= 例1：化简下列各式：（1）1.010 （2）515 解：（1）1.010=101.0101.01022=?=?. （2）515=55 1551522=?=?. 2、二次根式的大小比较 如：例： 比较的大小与3223
根据：由525=，416=，得1625> 方法一 解： 1823232=?= 1232322=?= 18＞12 ∴3223> 归纳：当a ＞0,b ＞0时，如果a ＞b,则b a > 方法二 解：18232=）（ 12322=）（ 18＞12 ∴3223> 归纳：当a ＞0,b ＞0时，如果2 2b a >，则a ＞b 思考：比较3223--与的大小 练习： 10计算 （1））（7555+? （2） 2182?+）（ 20比较大小 （1）4 328.2和 （2）7667和 （3）3553--和 三、小结： （1）本节课复习巩固了二次根式的乘法 （2）二次根式的化简的应用 四、作业：P174 8. 9 B 组1 2 3。
(完整版)《二次根式的乘法》说课稿
《二次根式的乘法》说课稿 各位评委老师好： 我是XX号，今天我说的课题是湘教版八年级下册第四章第二节第一课时《二次根式的乘法》。 一、说教材 （一）教材的地位及作用分析： “二次根式”是初中代数重要的内容之一。本节内容是在学习了二次根式的概念、性质的基础上进一步学习二次根式的乘法，同时也为后面学习二次根式的除法、加、减法等运算做准备，具有承上启下的作用，在教材中处于重要的地位。对于学生，通过之前学习了二次根式的性质、化简，现在所学的乘法是对性质的一个应用，一个实践。学生在观察讨论交流的过程中，能主动探索，勇于发现，培养学生知识的迁移和联系能力以及转化的数学思想。 （二）教学重点：a≥0，b≥0），二次根式 a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简。 （三）教学难点：在具体化简问题中，发现规律，利用积的算术平方根性质和二次根式乘法法则进行化简。 二、教学目标： 依据课标要求，结合教材和学生实际，我指定了如下教学目标： （一）知识与技能目标 1．通过学习，是学生进一步熟练掌握积的算术平方根的性质。 2.通过引导，让学生会运用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算和根式化简。 （二）过程与方法目标 通过探索灵活运用积的算术平方根，使学生感知数学知识具有普遍的联系性。熟练掌握运算法则，培养学生由特殊到一般的思维能力 （三）情感与态度目标 通过主动探究，合作交流，让学生充分参与到数学学习的过程中来，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，同时进一步培养同学间的合作交流能力和团队合作精神。 三、教法简介： 教学法：根据教材特点和八年级学生的心理特征和认知水平，本课我采用引导设问法、讨论法、练习法等方法，激发学生学习兴趣，并在教学过程中注意加强对学生的启发和引导，充分展示自己的观点和见解，创设一个宽松愉快的学习氛围。学生通过自主学习、合作探究等方法学习，充分体现出学生的主体地位。 【下面，我重点说下本课题的教学过程】 四、教学过程： （一）复习，导入新课 1.（a≥0，b≥0） 2.在黑板分别板书3道带有根号有关算术平方根的积和积的算术平方根的计算题，请同学们
二次根式计算乘除法化简
二次根式乘除法 1·一般地，对于二次根式的乘法有：=?b a 2·化简：（1 ；（2= 3·计算：=?y xy 82 ，=?2712 = 2b a 2 ·a b 8= 4·对于b a b a ?= ?成立的条件是 5·下列计算正确的是（ ）A 、563224=? B 、653525=? 6C 、363332=? D 、15153553=? 7用含a,b ,则下列表示正确的是( ) (A)0.3ab. (B)3ab. (C)0.1ab 2. (D)0.1a 2b. 8·对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+ B. a b =+ C. 22 a b =+ D. a b =+ 9·计算：（1 ()2
()(() 30,0a b -≥≥ （4） 10·如果 )3(3-?=-?x x x x ，那么x 的取值围是（ ） A 、x 0≥ B 、3≥x C 、03≤≤x D 、x 为一切实数 11·下列计算正确的是（ ） A 、2122423=? B 、632)3(323 2=?-=- C 、 259)25()9(-?-=-?-)3(-=15)5(=-? D 、 5)1213)(1213(12132 2=-+=- 12·若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3 cm 。 13·下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 14·化简：7 7 7-= ； =>>÷)0,0(43b a a b a 15·下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a
二次根式的运算知识讲解
二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
二次根式的乘除运算讲解及练习
21．2 二次根式的乘除 第一课时 1．填空 （1）4×9=_______，49?=______； （2）16×25=_______，1625?=________． （3）100×36=________，10036?=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49?，16×25_____1625?，100×36________10036? 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 例1、计算 （1）5×7 （2）1273? （3）12155? 例2、化简 （1）916? （2）1681? （3） 229x y （4）54 （5）2312a b （6）8 例3 、计算： （3）133 x xy （4）2013201432)(32)+ （5）2332848x y x y （62418例4、2111x x x -+-x 的取值范围是________________。
课堂练习： 练习1、计算 ①2×8 ②36×210 ③5a ·15 ay (2) 化简: 20; 18; 24; 54; 180 ;2212a b 练习2、计算 练习3．计算： 练习4、长方形的长和宽分别是a,b,根据下列条件求面积S （1） 8,12a b ==(2) 250,324a b ==练习5223 123m m m m +-=--+m 的取值范围是_____________。
21．2 二次根式的乘除 1．填空 （1 ；（2=________； =________；（4． （3 二次根式的除法规定： （2（3（4 例1．计算：（1 例2．化简： （1（2（3（4 例3、计算（1（2，（3 例4 例5、（a>0） 例题6=，则x的取值范围是__________________。 注：上述结果中的二次根式有两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开尽方的因式或因数。 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 二次根式运算一定要化简成最简二次根式。 课堂作业： 练习1、(1234
二次根式的乘除法
二次根式的乘除法 二. 重点、难点： 1. 重点： （1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算； （2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简； （3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。 2. 难点： （1）理解最简二次根式的概念； （2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。 三. 知识梳理： 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件： （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明： （1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式； （2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简； （3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。 【典型例题】 例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。 （1） （2）
(完整版)二次根式加减乘除运算训练题
二次根式加减乘除运算 上次课程检测： 1.下列二次根式中与8不是同类二次根式的是（ ） A . 21 B. 50 C. 81 D . 54 2．（24-315+2223 ）×2的值是（ ）． A ．20 33-330 B ．330-233 C ．230-2 33 D ．20 33-30 3.计算： （1）1312248233??-+÷ ? ?? （2）101200925206-??-+-- ??? 4.当715+=x ,715-=y ,求22y xy x +-的值. 5.如图1，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有多少米. 新授 一、选择题： 1.估计4 18?的运算结果应在（ ） A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间 2．等式2111x x x +-=-g 成立的条件是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 3.设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（ ） A . b a ab ?= B . b a b a +=+ C . a a =2)( D . b a b a = 图1
4. ①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243 =22，其中错误的有 （ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 5.下列判断⑴12 3 和13 48 不是同类二次根式；⑵145 和125 不是同类二次根式； ⑶8x 与8x 不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 6.如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A 、 a B 、 1a 2 C 、3－a D 、－a 2 7．如图1，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ） A.S 1＝S 2 B.S 1＜S 2 C.S 1＞S 2 D.无法确定 8．如图2，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A ．521 B ．25 C ．1055+ D ．35 图2 图3 图4 二、填空 1．如图3，从点()02A ， 发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ． 2．如图4，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 3、二次根式外（内）的因式移到根号内（外） （1）化简a a 1-的结果是________． （2）已知a二次根式乘除练习题
二次根式的乘除法习题课 教学目标：1、通过练习巩固二次根式的乘、除法法则. 2、能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分 母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算. 3、进一步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 教学重点：二次根式乘除法法则及运算. 教学难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算. 教学过程： 一、 复习 1、 填空： （1）二次根式的乘法法则用式子表示为 . （2）二次根式的除法法则用式子表示为 . （3）把分母中的 化去，叫做分母有理化. 将式子 22a 分母有理化后等于 . （4）44162+?-=-x x x 成立的条件是 . （5）x x -=-2)2(2成立的条件是 . （6）2121+-=+-x x x x 成立的条件是 . （7）化简： =24 . =?1259 . =-222129 . =c b a 324 . =499 . =9 44 . =224c b a . （8）计算： =?1510 . =? x xy 1312 .
=÷6 5321 . 2、 判断题：下列运算是否正确. （ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=? （ ）（3）636)9()4(94==-?-=-- （ ）（4）5 125432516925169=?=?= （ ）（5）5.045.16= （ ）（6）73434342222=+=+= + （ ）（7）22 8= （ ）（8）32 123= 3、你能用几种方法将式子 m m （ m ＞0 ）化简? 二、讲解新课： 1、运用乘法分配律进行简单的根式运算. 例1 计算 （1）)2732(3+ （2）24)654(- 解: (1)原式=273323?+? =273332?+? =2 2932+ =6+9 =15 (2)原式=2462454?-?
二次根式乘法教案
二次根式的乘法教案 教学目的 知识与技能： 1 0,0)a b =≥≥ 1、使学生掌握积的算术平方根的性质：b a ab ?=（a ≥0，b ≥0） 。 2、使学生会用积的算术平方根的性质对式子进行化简。 3、使学生掌握2a =a （a ≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式。 过程与方法：通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则 情感态度价值观：培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦 重点：会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简。 难点：二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用。 教学方法： 运用类比的方法，学习二次根式的乘法与积的算术平方根公式，并采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解。 教学过程： 一、创设情境 一块正方形的木板面积为200 ，已知 你能不用计算器以最 快的速度求出正方形木板的边长吗？ 二、质疑猜想 让学生计算，由学生总结（1）（ 2）两式均相等。 教师提出问题： 三、体验（操作、探究） 组织学生计算，验证猜想：（分组尝试，讨论交流） 小提示：知识是有联系的，我们学过什么相关知识？老师经常告诉你遇到不会的问题怎么办？ 四、归纳总结 老师引导学生进行总结，得出公式： a ? b =ab （α≥0；b ≥0） 2m 1.414≈试一试:并观察结果, 你能发现什么规律?猜想? 2222:25250=?=?=?= 方法二22225 0, =?=??= 方法一:事实上,根据积的乘方法则,有并且25的算术平方根,即
用语言该怎样叙述？（算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根） 五、实践应用 教师示范板演 针对练习： 学生根据公式试着进行计算，教师巡视检查，个别辅导。 归纳总结： 师述：我们知道等式有互逆性，把上面的公式反过来，就得到： ab =a ?b （α≥0；b ≥0） （积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根.） 教师示范讲解，规范板演 针对练习： 学以致用（解决情境问题） 知识拓展： 注意分析字母a 的取值范围。（不要求所有学生掌握） 针对练习： 例1:计算: 解 4== = 例 2.化简,使被开方数不含完全平方的因式( 或因数) : == = 解 2 == = a == =: 化简 计算: :2 3 == === =解 : 5=== 解10 1.41414.14 := ?=解答 正方形木板的边长是 14.14m. 化简2-解
(完整word版)二次根式乘除计算练习
二次根式乘除计算练习 一．选择题（共7小题） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A． B． C．D． 2．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②?=1，③÷=﹣b，其中正确的是（） A．①②B．②③C．①③D．①②③ 3．下列等式不一定成立的是（） A．=（b≠0）B．a3?a﹣5=（a≠0） C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a6 4．使式子成立的条件是（） A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5 5．若，且x+y=5，则x的取值范围是（） A．x＞B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤7 6．下列计算正确的是（） A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5?2a3=6a6 7．化简的结果是（） A．B． C．D． 二．填空题（共1小题） 8．若和都是最简二次根式，则m=，n=． 三．解答题（共32小题） 9．．
10．（1）÷3×5； （2）﹙﹣﹚÷（）． 11．． 12．2×÷5． 13．计算：． 14．（1） （2） （3）． 15．（1）化简：?（﹣4）÷ （2）已知x=﹣1，求x2+3x﹣1的值． 16．计算：2×． 17．计算：（2+4）× 18．． 19．计算：2÷?． 20．计算：4÷（﹣）×． 21．（1）计算：?（÷）； （2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值． 22．． 23．计算：（）2﹣（2016）0+（）﹣1． 24．已知x、y为正数，且（+）=3（+5），求的值．25．计算：． 26．自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”，
二次根式的乘除法
中科教育学科教师辅导讲义 年 级：九 辅导科目：数学 知识点一二次根式的乘法 ★二次根式的乘法法则：i a b = ?.. ab （a _0,b _0） ★二次根式的乘法法则的拓展：、a 「b c h.J abc （a _ 0,b _0,c _0） 例 1 计算：（1）.3 7 （2） . 1 （_? 8） （3） -4 3 2 V 2 （5） ｛扛 2Xe （ 6）4 血占 知识点二 积的算术平方根（即二次根式乘法法则的逆用） ★把.a ?. b =『ab （a _0,b _0）反过来，就得到.ab ；a b （a _ 0,b _ 0），也就是说，积的算术平方根等 于各因式算术平方根的积 注意：（1）化简时要把所有能开得尽方的因数（或因式）移到根号外面； （2）在利用「王一0,b 一0）时，要特别注意满足条件 a —0,b_ 0 例2计算与化简，使被开方数不含完全 平方的因式（或因数） （1） 300 （ 2） 8a 4 （3） -2 3 （- 6） （4） （-36） （-4） （5） a 3b 4 （ 6） 一172-82 知识点三二次根式的除法 ★二次根式的除法法则： 孚=十：（a 王0,b 王0） 学员编号: 学员姓名: 课时数：2 学科教师：郭姗姗
(4)卫聖 <3b 知识点四 商的算术平方根（即二次根式除法法则的逆用） ★商的算术平方根用式子可表示为：V-.:」0』0），也就是说，商的算术平方根，等于两个算术 平方根的商 、、亠 注意： （1） 商的算术平方根的性质的限制条件是 a_0,b ?0,它与积的算术平方根的限制条件类似，但 也有 区别，因为分母不能为0,即除式b 不能为0,所以除式b 必须是正数 （2） a = V （a_0,b 0）中的字母可以是数，也可以是代数式，无论是数还是代数式，只有满 V b vb 足a_0,b 0 ，才能用此性质进行计算 知识点五最简二次根式 ★被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幕的指数都小于 2,像这样的二次根式 称为最简二次根式 注意：最简二次根式要从以下两点来解释 （1） 根号下是整数或整式； （2） 被开方数中不含能开的尽的因数或因式，也就是每个因数或因式的指数都是 1 例5下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A 、存 B 、丫 8a C 、 D 、Jx 3+1 \'3 知识点六化二次根式为最简二次根式 ★化简二次根式，就是把二次根式化为最简二次根式 注意：（1） 由于二次根式的被开方数必须是非负数，又因为分母不能是 0,所以公式中分子的被开方数 要大于或者等于0,分母的被开方数要大于0,即公式要满足条件a_0,b 0 (2) 当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则， 把系数和被开方数分别相除 作为积的因式，即 mja 壬(nVb) = m J^(a 兰 0,b a 0) n b 例3计算: (1) .18「2 (3) 2 ”(；8 ) (3) :-9 7 -4 6 (5) 2」(一 例4化简:
二次根式的乘法练习题.docx
精品文档 16.2.1二次根式的乘法 课前预习 : 1 二次根式的乘法法则 : a b =( a 0,b 0)。即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 2. 积的算术平方根:ab =( a 0, b 0)。即积的算术平方根等于积中各因式的 算术平方根的积。 课堂练习： 1.计算28=。 2.下列计算正确的是 ( ) A．832316 3 B.5352 56 C. 43228 6 D.4322 66 3.下列各式的化简正确的是 ( ) A．4949 6 B.12 27481 18 C．1691694 3 11 D. 49 492 3 6 4422252555 4. 对于任意实数x ，下列各式中一定成立的是() A.x2 1x 1 x 1 B.x 12 x 1 C.4x2 D.36x46x2 5. 计算2a8a ( a0) 的结果是。 6.计算232 的结果是。 7.使 x x3x(x3)成立的条件是。 8.计算: （1） 61（） 4936 3 2 。 1欢迎下载
9.化简 : （1） 1 11 （ 2） 96a 2b 3 c 4 (a 0,b 0) 25 (3) 1 27x 2 y 3 z x 0, y 0, z 0 3 课后训练 : 10. 化简 8- 2( 2+2) 的结果是 ( ) A ．-2B. 2 2 C.2D. 4 2 2 11. 下列变形正确的是 ( ) A ． 1 = 5 1 1 1 -5 =1 B. -5 =-5 =-1 5 5 5 5 C. 1 = 2 1 = 5 1 2 1 -5 5 5 D. -5 =- 5 =- 5 5 5 5 12. 化简 x 4 x 2 y 2 x 0 的结果是 ( ) A ． x x 2 y 2 B. x x 2 y 2 C. x 2 xy D. x 2 y 13. 当 x 0, y 0 时，下列计算正确的是 ( ) A ． x 2 y xy B. 4x 3 y 2 2xy x C. x 4 y 2 x 2 y x D. 4xy 2 2 xy 14. 下列各式的计算正确的是 ( ) 2 2 A. x x x x x B. 4a 3 b 2a 2 ab 2a ab ( a 0,b 0) C. 3 2 1 3 2 1 3 1 3 1 1 6 6 3 3 D. 2x 3x 2 6x 6x 2 x 15. 小明的作业本有以下四题 : （ 1） 16a 4 4a 2 ； (2) 5a 10a 5 2a ； (3) 。 2欢迎下载
16.2 二次根式的乘除法练习
二次根式的乘除 课堂学习检测 一、填空题 1．把下列各式化成最简二次根式： (1)=12______； (2)=x 18______； (3)=3548y x ______； (4)=x y ______； (5)=32______； (6)=214______； (7)=+243x x ______； (8)=+3 121______． 2．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如：23 与.2 (1) 32与______； (2)a 3与______； (3)23a 与______； (4)33a 与______． 二、选择题 3． x x x x -=-11成立的条件是( )． ~ A ．x ＜1且x ≠0 B ．x ＞0且x ≠1 C ．0＜x ≤1 D ．0＜x ＜1 4．下列计算不正确的是( )． A ．471613= B ．xy x x y 63132= C ．201)51()41(22=- D ．x x x 3294= 5．把32 1化成最简二次根式为( )． A ．3232 B ．32321 C ．281 D ．241 三、计算题 6．(1) ;2516 (2);972 (3);324 (4);1252755÷- 】 (5) ;1525 (6);3366÷ (7);211311÷ (8).125.02 121÷
综合、运用、诊断 # 一、填空题 7.化简二次根式：(1)=?62________ (2)=81_________ (3)=-3 14_________ 8．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式： (1)=51 _______ (2)=x 2_________ (3)=322__________ (4)=y x 5__________ 9．已知,732.13≈ 则 ≈31______； ≈27_________．(结果精确到0．001) 二、选择题 10．已知13+=a ，1 32-=b ，则a 与b 的关系为( )． A ．a =b B ．ab =1 C ．a =－b D ．ab =－1 11．下列各式中，最简二次根式是( )． A ． y x -1 B ．b a C ．42+x D ．b a 25 ^ 三、解答题 12．计算：(1);3 b a ab a b ?÷ (2);3212y xy ÷ (3)?++b a b a 13．当24,24+=-=y x 时，求222y xy x +-和xy 2＋x 2y 的值． " 拓广、探究、思考 14．观察规律： ,32321,23231,12121-=+-=+-=+……并求值． (1)=+2271 ____________； (2)=+10111 _____________； (3)=++11 n n _____________． 15．试探究22)(a 、a 与a 之间的关系．
二次根式乘除法 (含答案)
一、知识聚焦： 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 5．最简二次根式： 符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” 二、经典例题： 例1．化简 (1)0 x ≥y ,0≥ 例2．计算 (1)15 5?3 2 ? 2 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)= (2)× 例4．化简： (1))0 ,0 (> x)0 x ≥y ≥y >b ,0 (≥ a)0 (> ,0 例5．计算： ÷（4 例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
(1)b a 23 (2) 2 3ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 例7. 把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2)b a 245 (3)x y x 2 例8. 把下列各式分母有理化 (1) 例9. 比较3223和两个实数的大小 答案： 例 例2. （1（2）303 （3）（4）6 例3. (1)不正确． ×3=6 (2) 例4.（1）8 3 （2）a b 38 （3）y x 83 （4）y x 135 例5.（1）2 （2）23 （3）2 （4）22 例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是 例7．(1)23, (2) b a 53, (3) xy x 例8. (1)21 144- (2) b a b a a ++2 例9. 3223> 三、基础演练： 1.计算①②3 × 2.化简:
二次根式乘法
反比例函数的图象和性质（一） 教学目标 一、知识与技能1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象． 2．体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合．3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，?探索并掌握反比例函数的主要性质． 二、过程与方法 1．经历反比例函数主要性质的发现过程．2．体会分类讨论思想、数形结合思想的运用． 三、情感态度与价值观1．积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法． 2．在动手作图的过程中，体会做中的乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯．教学重点 掌握反比例函数的作图． 教学难点反比例函数三种表示方法的相互转换． 教具准备1．教师准备：投影仪、直尺、圆规． 2．学生准备：预习本节课的内容． 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动1 （1）画函数y=3x-1 的图象；（2）求上述函数与x 轴、y 轴的交点坐标．设计意图：总结一次函数图象作法的基本步骤及其性质，为学习反比例函数的图象和性质作准备．师生行为：学生独立思考、操作、交流、回答；教师可与学生平等交流，提问学生．生：（1）列表：（由于一次函数的图象是一条直线，所以只需找到两个点）． （2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. （3）连线：连接两点即可得y=3x-1的图象（图象略）令x=0,则y=-1 , ????一次函数 1 1 与y轴交点坐标为（0, -1 ），令y=0,得x=_ 次函数与x轴交点的坐标为（-，0）. 3 3 师：很好，什么叫做反比例函数？ k
生：如果两个变量X、y之间的关系可以表示成y= （k为常数且k工0）的形式，？那 x 么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零. 师：请同学们猜一猜，一次函数的图象是一条直线，？那么反比例函数的图象是什么样 一 6 4 6 4 的呢？你能画出例如y= , y= , y=- , y=- 的图象吗？ x x x x 生：我认为反比例函数的图象是断开的，因为X M 0. 生：我认为反比例函数的图象是与x轴、y轴无交点，因为x丰0, y M 0. 师：反比例函数的图象到底如何呢？下面我们亲自动手操作就会发现反比例函数图象的特点. 二、探索、研究——揭示反比例函数的特点 活动2 【例2】画出反比例函数y= 6与y=- 6的图象. x x 设计意图： 进一步熟悉作出函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.同时让学生进一步体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合，去为发现反比例函数的性质作准备. 师生行为： 学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此在作图过程中应给学生留有思考的时间和交流的空间. 学生可以先自己动手画图，相互观摩. 在此活动中，教师应重点关注： ①学生能否顺利进行三种表示方法的相互转换； ②是否熟悉作出函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象； ③在动手作图的过程中，能否勤于动手，乐于探索. 师：这是我们初次遇到作反比例函数的图象. 但作图象的步骤和要求与画一次函数图象 基本一样?第一步应该做什么？ 生：列表?由于自变量x工0，列表时，我们是否在0?的两边对称地取互为相反数的x 值?这样y就只差一个符号，可以减少计算量. 师：这个同学的想法很好！“三思而后行”，使自己的思路变得如何清晰，是很了不起的 事.我们不妨分成两个大组，第一大组列函数y=6的表格，第二大组列函数y=-@的表格. x x 生：解：列表表示几组x与y的对应值(填空)： x …-6-5-4-3-2-1123456 … 6
二次根式乘除练习题
二次根式练习题（1） ____班 姓名__________ 分数__________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．若m -3为二次根式，则m 的取值为 （ ） A ．m≤3 B ．m ＜3 C ．m≥3 D ．m ＞3 2．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴3 1；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸231)(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．当22 -+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B ．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2 4．下列计算正确的是 （ ） ①69494=-?-=--))((；②69494=?=--))((； ③145454522=-?+=-；④145452222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．化简二次根式352?-)(得 （ ） A ．35- B ．35 C ．35± D ．30 6．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是 （ ） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值是3 7．把ab a 123分母有理化后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ．b 2 1 D ． b b 2 8．y b x a +的有理化因式是 （ ） A ．y x + B ．y x - C ．y b x a - D ．y b x a + 9．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ）
A ．23a B ．3 1 C ．153 D ．143 10．计算：ab ab b a 1?÷等于 （ ） A ．ab ab 21 B ．ab ab 1 C ．ab b 1 D ．ab b 二、填空题（每小题3分，共分） 11．当x___________时，x 31-是二次根式． 12．当x___________时，x 43-在实数范围内有意义． 13．比较大小：23-______32-． 14．=?b a a b 182____________；=-222425__________． 15．计算：=?b a 10253___________． 16．计算：2 216a c b =_________________． 17．当a=3时，则=+215a ___________． 18．若x x x x --=--3232成立，则x 满足_____________________． 三、解答题（46分） 19．(8分)把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： ⑴52-x ； ⑵742-a ； ⑶15162-y ； ⑷2223y x -．
