高三数学一轮复习函数与导数解析版)

数学

B 单元函数与导数

B1 函数及其表示 14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为

f (x )＝?

????x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1

16＋sin π6＝5

. 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )

A ．y ＝e －

x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |

2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．

(1)求p (100)；

(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；

(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．

21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以

恰好取到0的概率为p (100)＝11

192

(2)F (n )＝?????n ，1≤n ≤9，

2n －9，10≤n ≤99，

3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.

(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；

当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ；当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ????

?0，1≤n ≤9，

k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.

1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，同理有f (n )＝ ?????0，1≤n ≤8，

k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *

，b ∈N ，

n －80，89≤n ≤98，

20，n ＝99，100.

由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．当n ＝9时，p (9)＝0.

当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝1

当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k

20k ＋9

关于k

单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8

169

又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119

. 3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1

log 2x －1

的定义域为( )

A ．(0，2)

B ．(0，2]

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞)

3．C [解析] 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.

B2 反函数

5．[2014·全国卷] 函数y ＝ln(3

x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( ) A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1) B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1) C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R ) D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R )

5．D [解析] 因为y ＝ln(3

x ＋1)，所以x ＝(e y －1)3.因为x >－1，所以y ∈R ，所以函数y ＝ln(3

x ＋1)(x >－1)的反函数是y ＝(e x －1)3(x ∈R )．

B3 函数的单调性与最值 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )

A ．y ＝e －

x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |

2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )

高三数学一轮复习 函数与导数解析版)

高三数学一轮复习函数与导数解析版)