Z域微分-积分性质证明

z 域微分性质

设 {}12()()

{}12

d ()

()

ρρz =-< (8-19)

证明

{}1()()()()

d []()d k

k k k k

k Z kf k kf k z

z kz f k z z f k z ∞

∞

---=-∞

=-∞∞

-=-∞

=

==-

∑∑∑

交换上式求和与求导的次序，可得

{}()()

() k

k d Z kf k z z f k dz d

z F z dz ∞-=-∞=-=-∑证毕

由于()F z 是复变量z 的幂级数，而一幂级数的导数或积分是具有同一收敛域的另一个级数。因此式(8-19)收敛域与()F z 收敛域相同。

上述结果可推广到()f k 乘以k 的任意正整数m 次幂的情况，即有

{}12()()()

d Z k f k z

F z ρρdz =-<

式中，()()m

d z

F z dz -表示对()F z 求导并乘以(-z)共m 次。

例8-6 求下列序列的z 变换：

2(1)

(1) (), (2)

()2k k k U k U k +

解 因()U k 的z 变换为, 1

1z

z z >-，根据z 域微分性，则

{}22223

(1) ()()[()]11 [] z 1

(1)(1)d z d d z

Z k U k z

z z dz z dz dz z d z z z

z dz z z =-=----+=-=>--

22322

3(1)(2) ()()()222 2(1)2(1) 1

(1)k k k k Z U k Z U k Z U k z z z

z z z z z ??+????

=+??????

??????+=+

--=>-

六、z 域积分性质

若设 {}12

()() Z f k F z ρz ρ=<<

则

1()()d m

m z f k F x Z z x k m x ∞+??=??+???

(8-20)

且收敛域不变，即

12

ρz ρ<<，式中m 为整数， 0k m +>。

证明

()(1)()()() ()d k m k m k k m

k m z

k f k f k z Z z z f k k m k m k m z

f k x x

-+∞∞

-=-∞=-∞∞

∞

-++=-∞

??==??+++??=∑∑∑

?

交换上式求和与求积分的次序，得

(1)

(1)()()d ()

d m k m z k m m z f k Z z f k x x x k m F x z x

x ∞∞--+=-∞

∞+??=??+??=∑??

其收敛域与()F x 的收敛域相同。故式(8-20)成立。证毕

若令0m =，则

()()d 0z

f k F x Z x k k x ∞??

=>????? (8-21)

例8-7 求下列序列的z 变换：

12()(1)

(1) (), (2)() 11U k U k f k f k k k k -=

=≥+

解 (1) 由z 域积分性，得

211

()d d 1(1)1111

()d (ln ln )

11 ln 1

1z z z x F z z x x z x x x x z x z x x z z z

z z z ∞

∞-∞=?=--=-=---=>-?

??

(2) 因为

{}1

(1) 11Z U k z z -=

>-

根据z 域积分性式(8-21)，可得