辽宁省大连市普兰店区2017_2018学年高二数学上学期竞赛期中试题文

2017-2018学年上学期竞赛试卷

高二数学(文科)试卷

总分：150分 时间：120分钟 一.选择题（每小题5分，共60分）

1．已知集合{}

022<--=x x x A ，{}

5.0log 2<=x x B ，则（ ） A.

Φ

=?B A B.

B

B A =? C.

R

B A =? D.

Φ

=?B A C U

2．下列函数中，既是偶函数又是()0,+∞上的增函数的是

A. 3y x =

B. 2x

y = C. 2y x =- D. ()3log y x =-

3．若1sin 45x π??-=-

???，则5cos 4x π??

+ ???

则的值等于 （ ）

A. 5-

B. 15-

C. 15

D. 5

4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为 A.

54钱 B.43钱 C.32钱 D.5

3

钱 5．若ABC ?的内角,,A B C 满足643sinA sinB sinC ==，则cos B =（ ）

34

D. 1116

6．已知实数c b a c b a ,,,23tan 123tan 2,25sin 21,24sin 24cos 2

2

2

2

则?

-?

=?-=?-?=的大小关系为（ ）

A.c a b >>

B.b a c >>

C.c b a >>

D.a b c >> 7．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和， 425S S =，则

38

2

5a a a ? 的值为（ ）

A. 2-

B. 2

C. 2-或2

D. 2

1 8．若把函数)3

2sin(3)(π

+

=x x f 的图象向右平移)0(>θθ个单位后所得图象关于坐标原点

对称，则θ的最小值为（ ） A. 6π B. 12π C. 3π D. 4

π

9．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如下

图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，

则球O 的表面积为（ ） A ．32π B ．36π C ．128π D ．144π

10．下列命题中,正确命题的个数为（ ） ①若,则

或

”的逆否命题为“若且

,则

；

②函数的零点所在区间是；

③

是的必要不充分条件

A ．0

B ．1

C ．2 D. 3

11．若圆()()2

2

2

35x y r -++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半

径r 的取值范围是( )

A. )6,4(

B. []6,4

C. )5,4(

D. (]5,4

12． 已知平面⊥α平面β，l =?βα，点l A A ?∈,α，直线l AB //，直线l AC ⊥，直线βα//,//m m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A. β⊥AB B. m AC ⊥ C. β//AB D. m AB // 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）

d

c b a +++则13．已知实数x ，y 满足??

?

??<-->+->++02306203y x y x y x 则

z x y =-的最小值为_______

14．若关于x 的不等式062

≥--m x x 对任意

[]

1,0∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是_________

15．已知实数c b a ,,成等差数列，且公差为1；d c b ,,成等比数列，且,0>b

的最小值为

16．在ABC ?中，已知 60,2,1=∠==A AC AB ，若点P 满足AC AB AP λ+=，且

1=?，则实数λ的值为______________

三、解答题（本题共6题，共70分） 17．（本小题10分）

已知函数(

)sin 14f x x x π?

?

=+

- ??

?

． （1）求4f π??

???

的值； （2）求()f x 在区间0,2π??

????

上的最大值和最小值．

18．（本小题12分）

已知函数1232)(-++=x x x f ． （1）求不等式8)(

（2）若关于x 的不等式13)(+≤m x f 有解，求实数m 的取值范围．

19．（本小题12分）

如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 上任意一点．

（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；

（2）试确定点E 的位置，使得四棱锥P ABCD -的体积等于三棱锥P ACE -体积的4倍． 20．（本小题12分）

数列{}n a 满足111,23n n a a a +=-+=.

（1）证明{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；

（2）已知符号函数??

?

??<-=>=0

,10,00

,1)sgn(x x x x 设)sgn(n n n a a b ?=，求数列{}n b 的前100项和.

21．（本小题12分）

漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少5.0立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元. （1）求该博物馆支付总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付总费用的最小值.

22．（本小题12分）

已知圆2

2

:2430C x y x y ++-+=．

（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．

（2）从圆C 外一点()11,P x y 向该圆引一条切线，切点为M ， O 为坐标原点，且有

PM PO =，求使得PM 取得最小值的点P 的坐标．

答案：1.B2.B3.C4.B5.D6.B7.C8.A9．A10.C11．A12.A 13.-5；14.5-≤m ；15.6；16.1或4

1-

17. （Ⅰ）因为 sin 1442f πππ??

=-

?

??

11=- 1=

（Ⅱ）()sin 14f x x x π?

?

=+

- ??

?

+122x x x ??=?- ? ???

22sin cos 2cos 1

x x x =+-sin2cos2x x =+

24x π?

?=+ ??

?

因为02

x π

≤≤

， 所以

524

4

4

x π

π

π

≤+

≤

所以 sin 2124x π??-≤+≤ ??

? 故 124x π?

?-≤+≤ ???

当2,42x ππ

+

=

即8

x π

=

时， ()f x 当52,44x ππ+=

即2

x π

=时， ()f x 有最小值1- 18. 解：（Ⅰ）不等式f （x ）＜8，即|2x+3|+|2x ﹣1|＜8，

可化为①或②或③，…

解①得﹣＜x ＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x ＜，

综合得原不等式的解集为{x|-}．

（Ⅱ）因为∵f（x ）=|2x+3|+|2x ﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x ﹣1）|=4， 当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f （x ）min =4，…

又不等式f （x ）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1． 19. （Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，∴PD AC ⊥， 又∵底面ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，PD BD D = ，

PD ?平面PBD ，BD ?平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，

又AC ?平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBD ．

（Ⅱ）若四棱锥的体积被平面EAC 分成3:1两部分，则三棱锥E ABC -的体积是整个四棱锥体积的

14

， 设三棱锥E ABC -的高为h ，底面ABCD 的面积为S ， 则11113243S h S PD ?

??=??，由此得1

2

h PD =，故此时E 为PB 的中点． 20 （Ⅰ）因为123n n a a +=-+， 所以

1122

211

n n n n a a a a +--+==---，

所以数列{}1n a -是公比为2-，首项为2-的等比数列. 故()12n

n a -=-，即

()21n

n a =-+.

（Ⅱ）()()

()

21,sgn {21,n n n n n n b a a n +=?=-为偶数为奇数

数列的{}n b 前100项和 ()()()()()

2399100

1002121212121S =-+++-+?+-++

23100101222222=+++?+=-.

21. 解：（Ⅰ）由题意设支付的保险费用1k

y x

=，把2x =， 14000y =代入，得8000k =. 则有支付的保险费用18000

y x =

（0.5x >） 故总费用()80008000

5000.5500250y x x x x

=-+=+-，（ 0.5x >） （Ⅱ）因为8000

500250y x x ≥=+-

2503750= 当且仅当8000

500x x

=

且0.5x >， 即4x =立方米时不等式取等号，

所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元.

22. 解：（1）圆()()2

2

:122C x y ++-=，所以圆心()1,2C -．①切线过原点，由题知，此时切线斜率必定存在，设y kx =

=

2k =

2