2015年中考数学相似三角形精选题目

2015数学中考相似三角形精选题目

（2010哈尔滨）１．已知：在△ABC 中AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，∠BAE ＝∠BDF ，点M 在线段DF 上，∠ABE ＝∠DBM ．

（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AE ＝

2MD ；

（2）如图2，当∠ABC ＝60°时，则线段AE 、MD 之间的数量关系为：。

（3）在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连接CP ，若AB ＝7，AE ＝72，

求tan ∠ACP 的值．

（2010珠海）２．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC (2) 若AB ＝4,AD ＝3

3,AE ＝3,求AF 的长.

（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC AB ∥CD

∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF ∽△DEC (2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AD ∥BC CD=AB=4

又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD

在Rt △ADE 中，DE=63)33(2222=+=+AE AD

∵△ADF ∽△DEC ∴ CD AF DE AD = ∴4

633AF =

AF=32

26．（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA =cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从

O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动

时间为t 秒．

（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；

（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线2

y x bx c =

++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．

解：(1) ∵CQ ＝t ，OP ，CO =8 ∴OQ =8－t

∴S △OPQ ＝

21(8)2t -=+（0＜t ＜8） …………………3分 (2) ∵S 四边形OPBQ ＝S 矩形ABCD －S △P AB －S △CBQ

＝11

88)22

??-??＝ ………… 5分

∴四边形O PBQ 的面积为一个定值，且等于 …………6分

（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时, △QPB 必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB ＝90° 又∵BQ 与AO 不平行 ∴∠QPO 不可能等于∠PQB ，∠APB 不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△PBQ ∽△ABP ………………7分

=解得：t ＝4 经检验：t ＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）

此时P （0）

∵B （8）且抛物线2

y x bx c =

++经过B 、P 两点，

∴抛物线是2

184

y x =

-+，直线BP 是：8y - …………………8分

设M （m 8-）

、N (m ，2

184

m -+)

∵M 在BP 上运动 ∴m ≤

∵

1184

y x =

-+与28y =-交于P 、B 两点且抛物线的顶点是P

∴当m ≤≤12y y > ………………………………9分

∴

MN y y =-＝21

(24

m -

-+ ∴当m =MN 有最大值是2

∴设MN 与BQ 交于H 点则M 、H

∴S △BHM ＝

∴S △BHM ：S 五边形QOPMH ＝＝3:29

∴当MN 取最大值时两部分面积之比是3：29． …………………10分

(2010湖北省荆门市)23．(本题满分10分)如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ∶CA ＝4∶3，点P 在半圆弧AB 上运动(不与A 、B 重合)，过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点 (1)求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；

(2)当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；

(3)当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S ．

答案23．解：(1)∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°．又∵PC ⊥CD ，∴∠PCD ＝90°．而∠CAB ＝∠CPD ，∴△ABC ∽△PCD ．∴

AC BC CP CD

=．

∴AC ·CD ＝PC ·BC ；………………………………………………3分

(2)当点P 运动到AB 弧中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E ．

∵P 是AB 中点，∴∠PCB ＝45°，CE ＝BE

＝

又∠CAB ＝∠CPB ，∴tan ∠CPB ＝tan ∠CAB ＝

43．∴PE ＝tan BE CPB ∠

＝3)

从而PC ＝PE ＋EC

(1)得CD ＝43PC

7分

(3)当点P 在AB 上运动时，S △PCD ＝12PC ·CD ．由(1)可知，CD ＝43

PC ．

∴S △PCD ＝

PC 2．故PC 最大时，S

△PCD 取得最大值；

而PC 为直径时最大，∴S △PCD 的最大值S ＝23×52＝503

．………………………………10分

（2010年眉山）25．如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ，CC ' 的延长线交BB ' 于点F ．

（1）证明：△ACE ∽△FBE ；

（2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．

答案：25．（1）证明：∵Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的， ∴AC =AC '，AB =AB '，∠CAB =∠C 'AB ' ………………（1分） ∴∠CAC '=∠BAB '

∴∠ACC '=∠ABB ' ……………………………………（3分）又∠AEC =∠FEB

∴△ACE ∽△FBE ……………………………………（4分）

（2）解：当2β

α=时，△ACE ≌△FBE ． …………………（5分）

在△ACC '中，∵AC =AC '， ∴180'180'9022

CAC ACC βα?-∠?-∠=

==?- ………（6分）

在Rt △ABC 中，

∠ACC '+∠BCE =90°，即9090BCE α?-+∠=?， ∴∠BCE =α． ∵∠ABC =α，

∴∠ABC =∠BCE ……………………（8分） ∴CE =BE

由（1）知：△ACE ∽△FBE ，

∴△ACE ≌△FBE ．………………………（9分）第23题图

1、（2010年杭州市）如图，AB = 3AC ，BD = 3AE ，又BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上.

(1) 求证：△ABD ∽△CAE ； (2) 如果AC =BD ，AD =22BD ，设BD = a ，求BC 的长.

答案：

(1) ∵ BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上， ∴ ∠DBA = ∠CAE ,

又∵

3==AE

AC AB , ∴ △ABD ∽△CAE . (2) ∵AB = 3AC = 3BD ，AD =2

2BD ，

∴ AD 2 + BD 2 = 8BD 2 + BD 2 = 9BD 2 =AB 2， ∴∠D =90°, 由（1）得 ∠E =∠D = 90°, ∵ AE =

31BD , EC =31AD =

BD , AB = 3BD ， ∴在Rt △BCE 中，BC 2 = (AB + AE )2 + EC 2

= (3BD +

31BD )2 + (3

2BD )2 =

108BD 2

= 12a 2 , ∴ BC =32 a .

（2010年天津市）（17）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上

的点，

AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，

则AG

的值为

．

（2010宁夏16．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 ②③ ．（只填序号）

① 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ② 位似图形一定有位似中心；

③ 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； ④

位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．

（2010山西26．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90o，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1

所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；

（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；

（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请

求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

第（17）题

C A

E G

26. [解] (1) 如图1，作BH ⊥x 轴于点H ，则四边形OHBC 为矩形， ∴OH =CB =3，∴AH =OA -OH =6-3=3，在Rt △ABH 中，BH =

22AH BA -=2

23)53(-=6，

∴点B 的坐标为(3，6)。

(2) 如图1，作EG ⊥x 轴于点G ，则EG //BH ，

∴△OEG ~△OBH ，∴OB OE =OH

= BH EG ，又∵OE =2EB ， ∴OB OE =32

，∴32=3OG =6

EG ，∴OG =2，EG =4，∴点E 的坐标为(2，4)。

又∵点D 的坐标为(0，5)，设直线DE 的解析式为y =kx +b ，则???==+5

42b b k ，解得k = -21

，

b =5。∴直线DE 的解析式为：y = -2

x +5。

(3) 答：存在。

如图1，当OD =DM =MN =NO =5时，四边形ODMN 为菱形。作MP ⊥y 轴于点P ，则MP //x 轴，∴△MPD ~△FOD ，∴OF MP =OD PD =FD

。又∵当y =0时，-

x +5=0，解得x =10。∴F 点的坐标为(10，0)，∴OF =10。在Rt △ODF 中，FD =22OF OD +=2

2105+=55，∴10MP =5PD =

55，

∴MP =2

5，PD =5。∴点M 的坐标为(-25，5+5)。

∴点N 的坐标为(-25，5)。

如图2，当OD =DN =NM =MO =5时，四边形ODNM 为菱形。延长NM 交x 轴于点P ，则MP ⊥x 轴。

∵点M 在直线y = -2

x +5上，∴设M 点坐标为

(a ，-21

a +5)，在Rt △OPM 中，OP 2+PM 2=OM 2，

∴a 2+(-2

a +5)2=52，解得a 1=4，a 2=0(舍去)，

∴点M 的坐标为(4，3)，∴点N 的坐标为(4，8)。 ● 如图3，当OM =MD =DN =NO 时，四边形OMDN 为菱形。连接NM ，交OD 于点P ，则NM 与OD 互相

垂直平分，∴y M =y N =OP =25，∴-21x M +5=2

，∴x M =5， ∴x N = -x M = -5，∴点N 的坐标为(-5，2

)。

综上所述，x 轴上方的点N 有三个，分别为N 1(-25，5)，

N 2(4，8)，N 3(-5，2

)。

圖

圖3

图15-2

D O B

C 2 1

图15-1

D B

M N

1 2

图15-3

D O B

C 2

O （2010河北省）24．（本小题满分10分）

在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到

图15-3，求AC

BD 的值．

解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；

（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ， ∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ．又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．

∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ．延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO = ∠ACO ．又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC ． ∴

AC BE =

．又∵OB = kAO ，

由（2）的方法易得 BE = BD ．∴

k AC

=．（2010河南）4．如图，△ABC 中，点DE 分别是ABAC 的中点，则下列结论：①BC =2DE ； ②△ADE ∽△ABC ；③

AE AD =．其中正确的有（）

（A ）3个（B ）2个（C ）1个（D ）0个 A E

D C

（第4题）

图4

A D O

B C

2 1 M

E F

A O B

1 D 2

图5

M N

(苏州2010中考题28)．(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，

BC=6cm ；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)． (1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐 ▲ ． (填“不变”、“变大”或“变小”)

(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?

问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形? 问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．

答案： 28．（1）变小. （2）问题①：解：∵90306B

A BC ∠=∠==°，°，， ∴12.AC =

∵90454FDE DEF DE ∠=∠==°，°，，

∴DF =4. 连结FC ，设.FC AB ∥ ∴30.FCD A ∠=∠=°

∴在Rt FDC △中，DC =

∴12AD AC DC =-=-

即

(12cm AD =-时，.FC AB ∥

问题②：解：设

AD x =，在Rt FDC △中，()2

222

1216.FC DC FD x =+=-+

（Ⅰ）当FC 为斜边时，由

222AD BC FC +=得，()2

2231

61216.6

x x x +=-+=

，（Ⅱ）当AD 为斜边时，

由2

22FC

BC AD +=得，()2

2249

1216686

x x x -++==

>，（不符合题

意，舍去）.

（Ⅲ）当BC 为斜边时，由

222

AD FC BC +=得

，

()

2166126

x x x x +-+=

-+=，，

另解：BC 不能为斜边. ∵FC

CD >，∴12.FC AD +>

∴FC AD 、中至少有一条线段的长度大于6. ∴BC 不能为斜边.

∴由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得，当31

cm 6

x =时，经线段AD FC BC 、、的长度为三边长的三角形是直角三角形. 问题③：

解法一：不存在这样的位置，使得15FCD ∠=°.

理由如下：假设15FCD

∠=°.

由45FED ∠=°，得30EFC ∠=°.

作EFC ∠的平分线，交AC 于点P ，

则15EFP CFP FCP ∠=∠=∠=°，

∴60PF PC DFP DFE EFP =∠=∠+∠=，°．

∴28.PD PC PF FD ====

∴812.PC PD +=+>

∴不存在这样的位置，使得15FCD

∠=°.

解法二：不存在这样的位置，使得15FCD ∠=°.

假设15.FCD AD x ∠==°，由45FED ∠=°，得30EFC ∠=°.

作EH FC ⊥，垂足为.H

∴1

HE EF ==

8CE AC AD DE x =--=-，

且()2

1216.FC

x =-+

∵90FDC

EHC DCF ∠=∠=∠°，为公共角， ∴.CHE CDF △∽△ ∴

.EC HE

FC DF

又2

.42

HE DF ????== ? ? ????? ∴2

EC FC ??= ??? 即()()2

81.2

1216x x -=-+ 整理后，得到方程2

8320.x x --=

∴140x =-<（不符合题意，舍去）

，

248

x =+>（不符合题意，舍去）. ∴不存在这样的位置，使得15FCD ∠=°.

第15题

（2010·绵阳）10．如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点．若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ A ）．

A ．1 : 2

B ．1 : 3

C ．2 : 3

D ．11 : 20

（2010·绵阳）14．如图，AB ∥CD ，∠A = 60?，∠C = 25?，G 、H 分别为CF 、CE 的中点，则∠1 = ．答案：145?

（2010·浙江湖州）15．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，

且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．答案：()9,0

2．（2010，安徽芜湖）如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC=90°,AD ∥BC,点E 在BC 上，点

F 在AC 上，

(1)求证：△ADF ∽△CAF

（2）当AD=8,DC=6,点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积

【答案】证明：（1）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∴∠D AF=∠ACE ∵∠D FC=∠AEB

∠D FC=∠DAF+∠ADF, ∠AEB= ∠A C E+∠CAE ∴∠ADF =∠CAE ∴△ADF ∽△CAF

(2) ∵AD=8,DC=6，∠ADC=90°， ∴AC=10

又∵F 是AC 的中点，∴AF=5 ∵△ADF ∽△CAF

∴

AD CA AF CE = ∴8105CE = ∴CE=25

∵E 是BC 的中点 ∴BC=25

∴直角梯形ABCD 的面积=12×(252

+8)×6=123

3．（2010，安徽芜湖）如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB,M 是劣弧AB ⌒

上一点，过点M 作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于点N 。

（1）求证：PM=PN ；（2）若

BD=4,PA=

AO,过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点，求BC 的长．

F G

【答案】（1）证明：连结OM,∵ MP 是⊙O 的切线，∴OM ⊥MP ∴∠OMD +∠DMP=90°

∵OA ⊥OB ，∠OND +∠ODM=90°

∵∠MNP=∠OND, ∠ODN=∠OMD ∴∠DMP=∠MNP ∴PM=PN

（2）解：设BC 交OM 于E, ∵BD=4, ∴OA=OB=2, ∴PA=3

OA=3

∴PO=5

∵BC ∥MP, OM ⊥MP, ∴OM ⊥BC, ∴BE=

∵∠BOM +∠MOP=90°,在Rt △OMP 中，∠MPO +∠MOP=90° ∴∠BOM=∠MPO.又∵∠BEO=∠OMP =90° ∴△OMP ∽△BEO ∴

OM BE OP BO =

∴252BE

=,∴BE=45 ∴BC=85

4．（2010，浙江义乌）如图，一次函数

2y kx =+的图象与反比例函数m

y x

=的图象交于点P ，点P 在第一象限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，

且S △PBD ＝4，

OC OA =．

（1）求点D 的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0x

>时，一次函数的值大于反比例

函数的值的x 的取值范围.

【答案】（1）在

2y kx =+中，令0x =得2y = ∴点D 的坐标为（0，2）

（2）∵ AP ∥OD ∴Rt △P AC ∽ Rt △DOC

∵ 1

OC OA = ∴13

OD OC AP AC == ∴AP ＝6

又∵BD ＝624-= ∴由S △PBD ＝4可得BP ＝2 ∴P (2，6) 把P (2，6)分别代入2y kx =+与m y =

可得一次函数解析式为：y ＝2x +2 ，反比例函数解析式为：12y =

5．（2010，浙江义乌）如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯

形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示2x －1x ，并求出当S ＝36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相

同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存

在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

【分析】第（1）问，已知O 、A 两点的坐标点O （0，0）、A （2，0），发现对称轴为x ＝1；再设二次函数解析式y ＝a （x-0）（x-2）将B （6，

3）代入即可．

第（2）问，注意到OA 与CB 两平行线之间的距离可由A （2，0）、B （6，3）看出是3，在平移梯形的过程中它保持不变．利用213y y -=列

出一个关于x 1、x 2的方程，再利用面积S ＝36关系再列出一个关于x 1、x 2的方程，解这两个方程组成的方程组，确定x 1的值便可求出点A 1的坐标.

第（3）问，如下图1-0本题先要找到当点P 经过t 秒时PQ ∥

AB ，进而分两种情况：当没有到达这一时刻之前，和过了这一时刻之后.

图1—0

情况1.如图1-1，寻求△DPQ ∽△DEB ，运用相似比来解答. 情况2. 如图1-2，也是寻求△DPQ ∽△DEB ，运用相似比来解答.

【答案】（1）对称轴：直线1x =

解析式：21184y x x =

-或211

(1)88

y x =--

顶点坐标：M （1，1

-）

（2）由题意得

213y y -=

222122111111

y y x x x x -=

--+=

图1

图2

图1-1

得：212111

()[()]384

x x x x -+-=①

12122(11)3()62x x s x x -+-?3==+-

得：1223

x x +=+ ②

把②代入①并整理得：2172

x x s

-=(S ＞0) (事实上，更确切为S ＞66)

当36s

=时，??

?=-=+.

2x x 14x x 1212，

解得：1268x x =??=?(注：S ＞0或S ＞66不写不扣分)

把16x =代入抛物线解析式得13y = ∴点A 1（6，3）

（3）存在

解法一：易知直线AB 的解析式为

3342y x =

-，可得直线AB 与对称轴的交点E 的坐标为31,4?

?- ??

? ∴BD ＝5，DE ＝

，DP ＝5－t ，DQ ＝ t 当PQ ∥AB 时，DQ DP

DE DB

51554

t t -= 得 157

t =

下面分两种情况讨论: 设直线PQ 与直线AB 、x 轴的交点分别为点F 、G

① 当0

<15

t <

时，如图1-1 ∵△FQE ∽△F AG ∴∠FGA ＝∠FEQ ∴∠DPQ ＝∠DEB 易得△DPQ ∽△DEB ∴

DQ DP

DB DE

∴

515

54t t -=

得201577t => ∴207t =(舍去) ② 当157<18

t <3时，如图1-2

∵△FQE ∽△F AG ∴∠F AG ＝∠FQE ∵∠DQP ＝∠FQE ∠F AG ＝∠EBD ∴∠DQP ＝∠DBE 易得△DPQ ∽△DEB ∴

DQ DP

DB DE

∴

554t t -=

， ∴207t = ∴当20

t =秒时，使直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似．

解法二：可将284x x y =-向左平移一个单位得到21

88x y =-,再用解法一类似的方法可求得

2172x x S ''-= , 1(5,3)A ', 20

7t =

∴2172x x S -= 1

(6,3)A , 20

t =.

相似三角形基本类型证明题

发现、构造相似三角形的基本图形证题支其韶吴复相似三角形主要有四种基本类型。一、平行线型如图1，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 。例1. 已知，如图2所示，AD 为△ABC 的中线，任一直线CF 交AD 、AB 于E 、F 。求证：FB AF 2ED AE = 。例2. 已知，如图3所示，BE 、CF 分别为△ABC 的两中线，交点为G 。求证：2 GF GC GE GB ==。例3. 已知，如图4所示，在△ABC 中，直线MN 交AB 、AC 和BC 的延长线于X 、Y 、Z 。求证： AY CY CZ BZ BX AX ??=1。

二、相交线型如图5，若∠1=∠B ，则可由公共角或对顶角得△ADE ∽△ABC 。例4. 已知，如图6所示，△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上的点，E 为AB 延长线上的点，且AE AD AB 2 ?=。求证：BC 平分∠DCE 。例5. 已知，如图7所示，CD 为Rt △ABC 的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G 。求证：FB FC FG 2 ?=。三、旋转型如图8，若∠BAD=∠CAE ，则△ADE 绕点A 旋转一定角度后与△ABC 构成平行线型的相似三角形。

如图9，直角三角形中的相似三角形，若∠ACB=?90，AB ⊥CD ，则△ACD ∽△CBD ∽△ABC 。例6. 已知，如图10所示，D 为△ABC 内的一点，E 为△ABC 外的一点，且∠EBC=∠DBA ，∠ECB=∠DAB 。例7. 已知，如图11所示，F 为正方形ABCD 的边AB 的中点，E 为AD 上的一点，AE=41 AD ， FG ⊥CE 于G 。求证：CG EG FG 2 ?=。例8. 已知，如图12所示，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 上的点，过O 作直线分别交DC 、AB 于M 、N ，交AD 的延长线于E ，交CB 的延长线于F 。求证：OE ·ON=OM ·OF 。

2016年中考数学压轴题精选及详解

2020年中考数学压轴题精选解析中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。三、中点公式：四、已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。五、任意两点的斜率公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为边时（2）AB 为对角线时二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

初中数学经典相似三角形练习题(附)

相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？

（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 5．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP． 6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．

8．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？ 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

江苏各市中考数学压轴题汇编

江苏省13市2015年中考数学压轴题 1. （2015年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是【】 A. 第24天的销售量为200件 B. 第10天销售一件产品的利润是15元 C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D. 第30天的日销售利润是750元 2. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为【】 A. 13 3 B. 9 2 C. 4 13 3 D. 25 3. （2015年江苏苏州3分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为【】 A．4km B．() 22 +km C．22km D．() 42 -km 4. （2015年江苏泰州3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是【】

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. （2015年江苏无锡3分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为【】 A. 35 B. 45 C. 2 3 D. 32 6. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【】 A. <2x B. >2x C. <5x D. >5x 7. （2015年江苏盐城3分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图像大致为【】

中考数学专题复习(一)相似三角形

2016年中考数学相似三角形专题复习（一）一、填空题 1．下面图形中，相似的一组是___________. (1) (2) （1）（2） (3) (4) 2．若x ∶（x+1）=6∶9，则x= . 3．已知线段a 、b 、c 、d 成比例，且a=6，b=9， c=12，则d= 4．在比例尺为1：10000的地图上，量得两点之间的直线距离是2cm ，则这两地的实际距离是________米 5．如图，两个五边形是相似形，则=a ，=c ，α= ，β= . 6. 已知△ABC ∽△DEF,AB=21cm,DE=28cm,则△ABC 和△DEF 的相似比为 . 7．△ABC 的三边长分别为 2、10、3，△ C B A ''的两边长分别为1和5，若△ABC ∽△C B A ''，则△C B A ''的第三条边长为 . 8．如图，△ABC ∽△CDB ，且AC ＝4，BC ＝3，则BD ＝_________. 9．若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似，?则等腰三角形顶角为________度． 10．△ABC 的三边之比为3：5：6，与其相似的△DEF 的最长边是24cm,那么它的最短边长是，周长是 . 二、选择题 11．已知4x －5y=0，则(x+y)∶(x －y)的值为（） A. 1∶9 B. －9 C. 9：1 D. －1∶9 12.已知，线段AB 上有三点C 、D 、E ，AB=8，AD=7，CD=4，AE=1，则比值不为1/2的线段比为（） A.AE ：EC B.EC ：CD C.CD ：AB D.CE ：CB ╮ 23a c β 1550 950 1150 12 5 7αb ╭╮ ╯650 1150 第5题图 B C D 第8题图

中考数学压轴题十大类型经典题目75665

中考数学压轴题十大类型目录第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68

第一讲中考压轴题十大类型之动点问题一、知识提要基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________．二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2．（2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值．（4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．

全等三角形相似三角形证明(中难度题型)

全等三角形证明经典50题.doc 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 B C D F A D B C B C

已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 8.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A D B C B A C D F 2 1 E C D B D C B A F E A B C D A

10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

15．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交 AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 17．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若 AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由． P E D C B A D C B A

人教版_2021中考数学专题复习——相似三角形

中考专题复习——相似三角形一.选择题 1. (2021年山东省潍坊市)如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =( ) A. 35 x + B.45 x - C. 72 D. 212125 25 x x - A B C D E P 2。(2021年乐山市)如图(2)，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为( ) A 、 815 B 、 1 C 、 43 D 、85 3．(2008湖南常德市)如图3，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论: (1)DE=1，(2)AB 边上的高为3，(3)△CDE ∽△CAB ，(4)△CDE 的面积与△CAB 面积之比为1:4.其中正确的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.(2008山东济宁)如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是( )D A ．24m B ．25m C ．28m D ．30m B 图3

5.(2008 江西南昌)下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是( )B 6.(2008 重庆)若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( ) A 、2∶3 B 、4∶9 C 、2∶3 D 、3∶2 7.(2008 湖南长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为( ) C A 、4.8米 B 、6.4米 C 、9.6米 D 、10米 8．(2008江苏南京)小刚身高1.7m ，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m 。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起手臂超出头顶 ( ) A A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m 9．(2008湖北黄石)如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中ABC △相似的是( )B 10．(2008浙江金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是( )B A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米 11、(2008湖北襄樊)如图1,已知AD 与VC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC 的大小为( )B A.60° B.70° C.80° D.120° 12.(2008湘潭市) 如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且 A ． B ． C ． D ． A B C A ． B ． C ． D ．

南昌中考数学压轴题大集合

一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上图① 图②

方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直

相似三角形几何题

1、如图，AD 是圆O 的直径，BC 切圆O 于点D ，AB 、AC 与圆O 相交于点E 、F 。求证：AC AF AB AE ?=?； 2为了加强视力保护意识，小明想在长为米，宽为米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙位同学设计方案新颖，构思巧妙．(10分) （1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视力表．如果大视力表中“E ”的长是，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？ 3、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ．(12分) （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ；（2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2 ． ①求y 关于x 的函数关系式； ②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值． 4已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1． (1)求证：△ABD ∽△CBA ； (2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与△ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长． H H （图1）（图2）（图3）㎝ A C F 3m B 5m D A B C D E F P ·

武汉中考数学---相似三角形考题汇总(含答案)

武汉中考数学---相似三角形考题汇总本文选编了2007—2012武汉中考、四月调考中相似相关内容的考题，如需可编辑版本请与作者联系： 1.QQ 邮箱：957468321@https://www.360docs.net/doc/0912198413.html, 2.百度站内私信：用户名 ronnie_rocket 2012 24．（本题满分10分）已知△ABC 中，6,54,52===BC AC AB ．（1）如图1，点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求线段 MN 的长；（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．（2）如图2，在AD 边上截取DG ＝CF ，连接GE ，BD ，相交于点H ，求证：BD ⊥GE ．图1 F E D C B A 图2 H A B C D E G F

图2 F C 图 3 2011 24.（本题满分10分）（1）如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在ABACBC 上，且DE//边长，AQ 交DE 于点P,求证： BQ DP =QC PE (2)如图，△ABC 中，∠BAC=90别交DE 于M,N 两点。①如图2，若（四调）24.在等腰ABC Δ，AC AB =分别过点B 、C 作两腰的平行线，经过点A 的直线与两平行线分别交于点D 、E ，连接DC ，BE ，DC 与AB 边相交于点M ，BE 与AC 边相交于点N 。 (1)如图1，若CB DE //，写出图中所有与AM 相等的线段，并选取一条给出证明。 (2) 如图2，若DE 与CB 不平行，在(1)中与AM 相等的线段中找出一条仍然与AM 相等的线段，并给出证明。 2010 24. (本题满分10分) 已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上

近年来中考数学压轴题大集合

近年来中考数学压轴题大集合【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕〔本小题介绍二种方法，供参考〕方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①

相似三角形推理证明复习题(含答案)

相似三角形推理证明 1．（顺义18期末19）如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G ．（1）填空：图中与△CEF 相似的三角形有；（写出图中与△CEF 相似的所有三角形）（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似． 19．（1）△ADF ，△EBA ，△FGA ；………………………….3分（每个一分）（2）证明：△ADF ∽△ECF ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴BE ∥AD …………………………………………………….4分 ∴∠1=∠E ，∠2=∠D ∴△ADF ∽△ECF …………………………………………….5分（其它证明过程酌情给分） 2．（大兴18期末19）已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、 AC 边上的点，且AE AD 53= ，连接DE . 若AC ＝4，AB ＝5. 求证：△ADE ∽△ACB. 19．证明：∵ AC =3，AB =5，35AD AE = ， ∴ AC AB AD AE =．……………………………… 3分 ∵ ∠A =∠A ，……………………………… 4分 ∴ △ADE ∽△ACB ．……………………… 5分

3．（丰台18期末18）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长. 18. 解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC =.……2分即243EC =． ∴EC ＝6．……4分 ∴AC ＝AE + EC ＝10． ……5分其他证法相应给分. 4．（怀柔18期末18）如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝4，AC ＝8，CD=2．求证：△BCD ∽△ACB . 18. 证明：∵BC ＝4，AC ＝8，CD =2.…………………………1分 ∴………………………………………3分又∵∠C =∠C …………………………………………………………………………4分 ∴ △BCD ∽△ACB ……………………………………………………………………5分

2015年中考数学真题

2015年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，满分24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1．（3分）下列各数中最大的数是（） A．5B．C．πD．﹣8 2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（） A．B．C．D． 3．（3分）据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（） A．4.0570×109B．0.40570×1010 C．40.570×1011D．4.0570×1012 4．（3分）如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（） A．55°B．60°C．70°D．75° 5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（） A． B． C． D．

6．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分 7．（3分）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（） A．4B．6C．8D．10 8．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（） A．（2014，0）B．（2015，﹣1）C．（2015，1）D．（2016，0）二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 9．（3分）计算：（﹣3）0+3﹣1=． 10．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=． 11．（3分）如图，直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），则k=．

新课标人教版中考数学相似三角形中考题及答案

第4章《相似三角形》中考题集： 4.2 相似三角形选择题 1．（2006?北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，AB=，BC=2，P 是BC边上的一个动点（点P与点B不重合），DE⊥AP于点E．设AP=x，DE=y．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（） A．B．C．D． 2．（2005?连云港）如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（） A．都扩大为原来的5倍B．都扩大为原来的10倍 C．都扩大为原来的25倍 D．都与原来相等 3．（2010?烟台）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（） A．A B2=BC?BD B．A B2=AC?BD C．A B?AD=BD?BC D．A B?AD=AD?C D 4．（2010?铜仁地区）如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）

A．B．C．D． 5．（2010?桂林）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 6．（2010?百色）下列命题中，是假命题的是（） A．全等三角形的对应边相等 B．两角和一边分别对应相等的两个三角形全等 C．对应角相等的两个三角形全等 D．相似三角形的面积比等于相似比的平方 7．（2009?芜湖）下列命题中不成立的是（） A．矩形的对角线相等 B．三边对应相等的两个三角形全等 C．两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方

中考数学压轴题大集合

一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上图① 图②

方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直