2016-2017学年北京市海淀区初三第一学期期末数学试题及答案解析(WORD版完美编辑)

B C

D E

A

海淀区九年级第一学期期末练习

数 学 2017.1

学校 班级 姓名 成绩

考 生

须

知

1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名。 3．试题答案一律填凃或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置． 1．抛物线2

(1)3y x =-+的顶点坐标是

A ．(1，3)

B ．(1-，3)

C ．(1-，3-)

D ．(1，3-) 2．如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，D

E ∥BC 交AC 于E 点，则△ADE 与△ABC 的面积比为 A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3

D ．1:4

3．方程2

0x x -=的解是

A ．0x =

B ．1x =

C ．1201x x ==，

D ．1201x x ==-，

4．如图，在△ABC 中，∠A =90°．若AB =8，AC =6，则cos C 的值为

A ．3

5 B ．45 C ．

34

D ．

43

5．下列各点中，抛物线244y x x =--经过的点是

A ．(0，4)

B ．(1，7-)

C ．(1-，1-)

D ．(2，8) 6．如图，O e 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=?，则A ∠的大小为

A ．40?

B ．50?

C ．80?

D ．100?

C

A B

A

B C

O

7．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm 2，那么这个扇形的半径是

A ．1cm

B ．3cm

C ．6c m

D ．9cm

8．反比例函数3y x

=的图象经过点（1-，1y ），（2，2y ），则下列关系正确的是 A ．12y y <

B ．12y y >

C ．12y y =

D ．不能确定

9．抛物线()2

1y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是

A ．1-

B ．2-

C ．3-

D ．4-

10．当温度不变时，气球内气体的气压P （单位：kPa ）是气体体积V （单位：m 3）的函数，下表记录了一

组实验数据：

V （单位：m 3）

1

1.5

2

2.5

3

P （单位：kPa ） 96 64 48 38.4 32

P 与V 的函数关系可能是 A ．96P V =

B ．16112P V =-+

C ．21696176P V V =-+

D ．96P V

=

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．已知A ∠为锐角，若sin 22

A =

，则A ∠的大小为 度．

12．请写出一个图象在二，四象限的反比例函数的表达式 ．

13．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定

的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA =3OD ，OB =3OC ），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若 3.2CD =cm ，则AB 的长为 cm ．

14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点为位似中心，线段AB 与线段A B ''是位似图形，若A (1-，2)，B (1-，0)，A '(2-，4)，则B '的坐标为 ．

15．若关于x 的方程2

0x mx m -+=有两个相等实根，则代数式2

281m m -+的值为 ．

x

y

–1–2–3–41

2

3

–1

1

2345

B

A'

A O

E

C

A D B

16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．

如图1，已知圆上一点A ，画过A 点的圆的切线．

B

A

C

A B D

A

画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C （与点A 不重合）处， 使其一直角边经过点A ，另一条直角边与圆交于B 点，连接AB ；

（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A 重合，使一条直角边经过点B ， 画出另一条直角边所在的直线AD ．

所以直线AD 就是过点A 的圆的切线．

请回答：该画图的依据是______________________________________________________．

三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17．计算：2

2sin 30(2)-°0(π3)3--+-．

18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，E 是BC 上一点，ED ⊥AB ，垂足为D ． 求证：△ABC ∽△EBD ．

图1 图2 图3

I /A

R /Ω

49

O

19．若二次函数2

y x bx c =++的图象经过点(0 1)，

和(1 2)-，两点，求此二次函数的表达式．

20．已知蓄电池的电压U 为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数

关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式；

（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A ，那么用电器的可变电阻R 应控制在

什么范围？请根据图象，直接写出结果 ．

21．已知矩形的一边长为x ，且相邻两边长的和为10．

（1）求矩形面积S 与边长x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求矩形面积S 的最大值．

22．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC．

23．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．

（1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中P A=PD，如图1所示，则tan BAP

∠的值为；

（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的不同），并求此时tan BAP

∠的值．

图1 图2

24．如图，直线4(0)y ax a =-≠与双曲线k

y x

=

只有一个公共点A (1，2-)． （1）求k 与a 的值；

（2）若直线+(0)y ax b a =≠与双曲线k

y x

=

有两个公共点，请直接写出b 的取值范围．

25．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线． （1）求证：AM 是⊙O 的切线；

（2）若∠D = 60°，AD = 2，射线CO 与AM 交于N 点，请写出求ON 长的思路．

A

2

1

y

x

O

O

B

E

C D A

F

N

M

26．有这样一个问题：探究函数1(1)(2)(3)2

y x x x x =

---+的性质．

（1）先从简单情况开始探究：

① 当函数为1(1)2y x x =-+时，y 随x 增大而 （填“增大”或“减小”

）； ② 当函数为1(1)(2)2

y x x x =--+时，它的图象与直线y x =的交点坐标为 ；

（2）当函数为1(1)(2)(3)2

y x x x x =

---+时，

下表为其y 与x 的几组对应值．

x (1)

2

-

0 1 32 2 52 3 4 9

2 … y

…

113

16

-

3-

1

27

16

2

37

16

3

7

177

16

…

①如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；

②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．

x

y

–11234567

–1–2–3–4–5–6–7

1234567891011O

27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443y mx mx m =-++的顶点为A ．

（1）求点A 的坐标；

（2）将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位得到线段O A ''．

①直接写出点O '和A '的坐标；

②若抛物线2443y mx mx m =-++与四边形AOO A ''有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．

x

y

–1–2–3–41

2

3

4–1

–2–3–4

1

234O

28．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点P 是△ABC 内一点，且2

PAC PCA α

∠+∠=

．连接PB ，试探究

P A ，PB ，PC 满足的等量关系．

P

A

B C P'

A

B C P

（1）当α=60°时，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到ACP '△，连接PP '，如图1所示．由ABP △≌ACP '△可以证得'APP △是等边三角形，再由30PAC PCA ∠+∠=?可得∠APC 的大小为 度，进而得到

CPP '△是直角三角形，这样可以得到P A ，PB ，PC 满足的等量关系为 ；

（2）如图2，当α=120°时，请参考（1）中的方法，探究P A ，PB ，PC 满足的等量关系，并给出证明； （3）P A ，PB ，PC 满足的等量关系为 ．

图1 图2

29．定义：点

P

为△ABC

内部或边上的点，若满足△P AB ，△PBC ，

△P AC 至少有一个三角形与△ABC 相似（点P 不与△ABC 顶点重合），则称点P 为△ABC 的自相似点． 例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC =∠A ，∠PCB =∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的自相似点．

在平面直角坐标系xOy 中，

（1）点A 坐标为(2，23)， AB ⊥x 轴于B 点，在E (2，1)，F (32

，

32

)，G (12

，

32

)，这三个点中，

其中是△AOB 的自相似点的是 （填字母）； （2）若点M 是曲线C ：k y x

=

（0k >，0x >）上的一个动点，N 为x 轴正半轴上一个动点；

① 如图2，33k =，M 点横坐标为3，且NM = NO ，若点P 是△MON 的自相似点，求点P 的坐标；

② 若1k =，点N 为(2，0)，且△MON 的自相似点有2个，则曲线C 上满足这样条件的点M 共有 个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．

x

y

123456

1

23456O P

B C

A

图1

图2

图 3

y

x

N

12

345

1

23

45O

海淀区九年级第一学期期末练习

数 学 答 案 2017．1

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

A

D

C

A

B

B

B

A

D

D

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．45； 12．1

y x =-（答案不唯一）；

13．9.6；

14．（2-，0）；

15．1；

16．90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17．解：原式=221

132-?-+， -------------------------------------------------------------------------------4分

=3． ---------------------------------------------------------------------------------------------5分 18．证明：∵ED ⊥AB ，

∴∠EDB =90°． -------------------------------------------1分 ∵∠C =90°， -----------------------------------------------2分 ∴∠EDB =∠C ． ------------------------------------------3分 ∵∠B =∠B ， ---------------------------------------------4分 ∴ABC △∽EBD △． ----------------------------------5分

19．解：∵二次函数2y x bx c =++的图象经过（0，1）和（1，2-）两点，

∴121c b c =??-=++?，． ---------------------------------------------------------------2分

解得41b c =-??=?，

． -----------------------------------------------------------------4分

∴二次函数的表达式为241y x x =-+． ---------------------------------5分

20．（1）解：设反比例函数的表达式为()0I U

U R

=

≠，

由图象可知函数()0I U

U R

=

≠的图象经过点（9，4）

， ∴49

U =

． ------------------------------------------------------------1分

∴36U =． ---------------------------------------------------------------2分

∴反比例函数的表达式为36

I R

=（0R >）． ----------------------------3分

（2） 3.6R ≥．（答 3.6R >得1分，其它错误不得分） -------------------------------------5分 21．解：（1）()10S x x =-， -------------------------------------------------------------2分

其中010x <<； ----------------------------------------------------3分

（2）()10S x x =-=()2

525x --+． ---------------------------------------4分

∴当5x =时，S 有最大值25． ---------------------------------------5分

22．解：∵90ADB ADC ∠=∠=°，30BAD ∠=°，60CAD ∠=°，AD =100， ------------2分

∴在Rt ABD △中，tan 1003

3

BD AD BAD =?∠=

， --------------3分 在Rt ACD △中，tan 1003CD AD CAD =?∠=. --------------4分 ∴4003

3

BC BD CD =+=

． ------------------------------------------5分 23．（1）1． -------------------------------------------------------------------------------2分

（2）解法一：

B P C

A D

------------------------------------------------3分

∵矩形ABCD ， ∴90B ∠=°．

∵AP =AD =6，AB =3，

∴在Rt ABP △中，2233BP AP AB =-=． -------------------------4分 ∴tan 3BAP BP

AB

∠==． --------------------------------------------5分 解法二：

B P C

A D

---------------------------------------------3分

∵矩形ABCD ， ∴90B C ∠=∠=°．

∵PD =AD =BC =6，AB =CD =3，

∴在Rt CPD △中，2233CP PD CD =-=. ------------------------4分 ∴633BP BC CP =-=-．

∴在Rt ABP △中，tan 23BAP BP

AB

∠=

=-． ---------------------5分 24．（1）∵直线4y ax =-与双曲线y k

x

=

只有一个公共点A （1，2-）， ∴2421

a k

-=--=??

???，． --------------------------------------------------------1分 ∴22a k ==-???，．

（2）4b <-或4b >．（答对一个取值范围得1分） --------------------------------------------5分 25．（1）证明：∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，

∴??BC

BD =． ∴11

2

CAD ∠=∠．

∵AM 是∠DAF 的角平分线，

∴21

2

DAF ∠=∠．

∵180CAD DAF ∠+∠=°， ∴1290OAM ∠=∠+∠=°． ∴OA ⊥AM ．

∴AM 是⊙O 的切线．-----------------------------------------------2分

（2）思路：①由AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，可得??BC

BD =，??AC AD =， 2

1M

N

F

A

C D E

B

O

--------------------------------------------------------------------------------------------------2分 ----------------------------------------------------------------------------------------------3分

1132

CAD AC AD ∠=∠=

∠=，；

②由60D ∠=°，=2AD ，可得ACD △为

边长为2的等边三角形，1330∠=∠=°；

③由OA OC =，可得3430∠=∠=°； ④由3120CAN OAN ∠=∠+∠=°，可得

5430∠=∠=°，2AN AC ==；

⑤由OAN △为含有30°的直角三角形，可求ON 的长．

（本题方法不唯一） -------------------------------------------------------------5分

26．（1）①增大； ----------------------------------------------------------------------1分 ②（1，1），（2，2）； ----------------------------------------------------------3分

（2）①

y

x

1234567

–11234567891011

–1–2–3–4–5–6–7

O ----------------------------------------------4分

（2）该函数的性质：

①y 随x 的增大而增大；

②函数的图象经过第一、三、四象限； ③函数的图象与x 轴y 轴各有一个交点． ……

（写出一条即可） ----------------------------------------------5分

27．（1）∵()()2

244323y m x x m x =-++=-+，

∴抛物线的顶点A 的坐标为（2，3）． ----------------------------------------2分 （2）O '（2，0）， -------------------------------------------------------------------3分

5

4

32

1M

N

F

A

C D E

B

O

A '（4，3）

． -------------------------------------------------------------------4分 （3）依题意，0m <． --------------------------------------5分 将（0，0）代入2

443y mx mx m =-++中，

得3

4m =-. --------------------------------------------6分

∴3

04

m -<<． --------------------------------------7分

28．（1）150， -----------------------------------------------------1分

2

2

2

PA PC PB +=． ----------------------------------3分

（2）如图，作120PAP '∠=°，使AP AP '=，连接PP '，CP '．过点A 作AD ⊥PP '于D 点． ∵120BAC PAP '∠=∠=°， 即BAP PAC PAC CAP '∠+∠=∠+∠， ∴BAP CAP '∠=∠． ∵AB =AC ，AP AP '=，

∴BAP CAP '△≌△. --------------------------------4分

∴P C PB '=，180302

APD AP D PAP '∠=∠=

'

-∠=o °． ∵AD ⊥PP '， ∴90ADP ∠=°.

∴在Rt APD △中，cos 3

2

PD AP APD AP =?∠=. ∴23PP PD AP '==． ∵60PAC PCA ∠+∠=°，

∴180120APC PAC PCA ∠=∠-∠=-o °. ∴90P PC APC APD '∠=∠-∠=°． ∴在Rt P PC '△中，222P P PC P C ''+=.

∴2223PA PC PB +=． ----------------------------------------------------------6分

（3）22224sin 2

PA PC PB α

+=． --------------------------------------------------7分

29．（1）F ，G ．（每对1个得1分） -------------------------------------------------2分 （2）①如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于H 点． ∵M 点的横坐标为3，

∴33

33

y ==. x

y

–11

23

45–1–2–3–4

123O'A'

A O D

P'P

B C

A

y

1

23456M

∴33M （，）.

∴23OM =，直线OM 的表达式为3

3

y x =． ∵MH ⊥x 轴，

∴在Rt △MHN 中，90MHN ∠=°，2

2

2

NH MH MN +=．

设NM =NO =m ，则3NH OH ON m =-=-. ∴()()

2

2

2

33m m -+

=.

∴ON =MN =m =2． --------------------------------------------3分

如图2， 1

PON △∽NOM △，过点1P 作1PQ ⊥x 轴于Q 点， ∴11

PO P N =，1

12

OQ ON ==． ∵1P 的横坐标为1，

∴33133

y =

?=. ∴1313P ??

? ???

，． ------------------------------------------------4分

如图3，2P NM NOM △∽△， ∴

2P N MN

ON MO

=

. ∴223

3

P N =

． ∵2P 的纵坐标为

23

3

， ∴

233

33

x =. ∴2x =.

∴22323P ??

? ???

，． -----------------------------------------------------5分

x

y

1234

5

6

1

23456P 1

Q H N M

O 图2 x

y

1

2

3

4

5

6

1

23456P 2

H

N

M O

图3

综上所述，313P ?? ? ???，或2323??

? ??

?，． ②4． ----------------------------------------------------------------------6分

x

y

1

23

4

5

1

2345M 4

M 3

M 2

M 1N

O

（每标对两个点得1分） ----------------------------------------------8分