初中数学勾股定理精选题2
初中数学勾股定理精选题（二）
一、填空题
1、等腰三角形的面积为2cm 2，腰长为5cm ，那么它的底边长为 ，底边上的高为 。
2、等腰三角形的周长为16，底边上的高为4，则该三角形的面积为 。
3、以A
B C Rt ?的两直角边AC 、BC 为边所画的正方形的面积分别为3 cm 2和4 cm 2
，则以斜边AB 为边所画的面积是 。
4、如图所示，ABC ?中， 90=∠C ，AD 为CAB ∠的平分线交BC 与点D ，BC =4，CD =1.5，则AC 的长度为 。
5、已知直角三角形的三条边长为b a b a a 2++，，，其中a 与b 都是正数，则
=b a : 。
6．直角三角形有一条直角边为11，另外两条边长是自然数，则周长为__________．
7 如图，在由24个边长都为1的小正三角形组成的网格中，点P 是正六边形的一个顶点，
以点P 为直角顶点作直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边长 。
8 已知 等边ABC ?内有一点P ，且 PC=2 PA =4
PC = 则 AB=___________
C
A B
D
E
P
D
C B
A
B
（ 8 ） （ 9 ）
9、已知：如图所示，P 是正方形ABCD 内一点，且PA=1 ，PB=2，PC=3，以B 为旋转中
心，将△ABP 按顺时针方向旋转 到△CBE 位置，AB 边与CB 边重合， 则∠CEB= 度。
10 已知 ABC 中 AB=5 AC = 13 点D 为BC 的中点， AD = 6
则 BC = 二选择题
1、如图所示，在ABC ?中， 90=∠ACB ，AB CD ⊥，垂足为点D ，点B 关于CD
的对称点为`B ，并且C B GB ``⊥交AC 与点，若AB=5cm ，BC=3cm ，则AG 等于（ ） A 、2cm B 、
87cm C 、 1cm D 、7
4cm
2、等腰三角形底边上的高是8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A 、56
B 、48
C 、40
D 、32
3、一直角三角形两直角边上的中线长分别为4和7，则此三角形的面积为（ ）
B
D
B`
A
G
C
A 、133
B 、64
C 、34
D 、312
4、在ABC ?中，AB =15，AC =13，高AD =12，则此三角形的周长是（ ）
A 、42
B 、32
C 、42或32
D 、37或33 5、一个等腰直角三角形的周长为2P ，其面积为（ ）
A 、(2+2)P
B 、(2-2)P
C 、(3-22)P
D 、(1-22)P 6、有四个三角形，分别满足下列条件，其中，是直角三角形的有（ ） ①边长为15，36，39 ②三边长为12-m ，m 2，12+m （1>m ，） ③三个外角之比为3：4：5 ④三边长之比为3:2:1 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
7、直角三角形两直角边长为b a ，，斜边上的高为h ，则下列各式中总是成立的是（ ）
A 、h ab =
B 、2222h b a =+
C 、
h b a 111=+ D 、2221
11h
b a =+ 8、直角三角形的三边是b a -，a ，b a +，并且b a ，都是正整数，则三角形其中一边的长可能是（ ）
A 、25
B 、12.5
C 、9
D 、8.5
9、在直线L 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的
面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4= 。 A.4 B. 6 C. 5 D.6
10、如右图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形,如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a ，较长边为b ，那么（a +b ）2的值是（ ） A ．13 B ．19 C ．25 D ．169
三 解答题
1、一直角三角形两条直角边上的中线长分别为4和7 求此三角形的面积。
2、已知ABC ?中，6,4==AC AB ，M 是BC 的中点，13=AM 求BC 的长。
3、已知一直角三角形中有一条直角边为17，另外两条边均为自然数 求它的周长。
4 .如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为边BC 、CD 上两个动点（不与B 、C 、D 重合），连接AE 、AF ，分别交BD 于H 、G 两点，∠EAF =45° 求证 DG 2+BH 2=GH 2.
5 已知 如图 ⊿ABC 中 ∠090A = M 是BC 的中点，ME ⊥MF ， 求证 222BE CF EF +=
H
G
F
E
D C
B
A
B
证明 延长FM 至N ，使MN=MF 连接BN 、EN ，
N
A
则 ⊿BMN ≌⊿CMF 可得 222BE BN EN += BN CF = EN EF = ∴222BE CF EF +=
一 填空题
1 2㎝或4
㎝ 2㎝或1㎝ 2 12 3 7 4 3 5
7 2 8
9 0135 10 （ 中线加倍 ）
B
把BPC ?逆时针旋转0
60得BDA ?，连接PD ，则BPD ?是等边三角形，AD=PC=2 PD=PB=4
222090PA AD PB PAD +=∴∠=
0001
3060902
AD PD APD APD APB =
∴∠=∠=∴∠=
AB ∴== 9
初二数学勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ！ 3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 三、解答题 @ 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米
为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，· 如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形 《 的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用 关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方>
勾股定理练习题及答案
一、 选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab
勾股定理常见题型
专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一“勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题： 1．如图（16），大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，由此可得等量关系______________________,整理后可得：___________． 2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( ) 3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是() A．9 B．36 C．27 D．34 4．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________． 5．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝() A．25 B．31 C．32 D．40 6．如图，已知在Rt ABC △中，? = ∠90 ACB，4 AB=，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S， 则 12 S S +的值等于________ 7．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是________．8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 a a a a b b b b c c c c 图(16) 8 6 C B A
勾股定理试题较难
勾股定理试题较难内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
1、如图，由4个全等的直角三角形拼合而成的一个大正方形，如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于多少？ 2、如图，三个半圆的面积分别为S 1=4.5π，S 2=8π，S 3=12.5π，把这三个半圆拼在一起，则图中的三角形一定是直角三角形吗？为什么？ 3、Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2+BC 2+AC 2 = 。 4、直角三形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的 周长是 。 5、长方体底面边长分别为1㎝和3㎝，高为6㎝，如果一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长？如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长？ 6、已知如图，在长方形ABCD 中，AB=3㎝，AD=9㎝，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求△BEF 的面积。 7、已知△ABC 中，AB ＞，AD 是BC 边上的高，求AB 2-AC 2=BC （BD-） 8、如图，在钝角△中，BC=9，AB=17，AC=10，AD ⊥BD 于D ，求AD 的长。 9、如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，顶上A 处的一只蚂蚁要到B 处吃食物，已知B 距顶部D 处8 ㎝，则蚂蚁爬行的最短路程是多 少？ 10、如图，是一个长8㎝，宽6㎝，高5㎝的仓库，在其内壁的A 处有一只壁虎，B 处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多秒㎝，其中AC=6㎝，BD=4㎝。 11、如图，圆柱底面半径为2㎝，高为9π㎝，点A 、B 分别是圆柱两底两圆周上 的点，且A 、B 在同一母线上，有一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到达 B ，求棉线最短是多少？ 12、用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x 、y 表示矩形的长和宽（x ＞y ），则下列关系式不正确的是：（ ） A 、x+y=12 B 、x-y=2 C 、xy=35 D 、14422=+y x S 1 S 2 S 3 A B 6㎝㎝1㎝ B A E D C F C ′ B D C A A B D A B · · N D 8 6 · · B D A B · ·
初中数学勾股定理拔高综合训练含答案
初中数学勾股定理拔高综合训练 一．选择题（共15小题） 1．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 2．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（） A．4 B．8 C．16 D．32 4．分别以下列四组数为一个三角形的边长①6，8，10②5，12，13 ③8，15，16④4，5，6，其中能构成直角三角形的有（） A．①④B．②③C．①②D．②④
5．如图，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条边是分别是a，b，则a+b和的平方的值（） A．13 B．19 C．25 D．169 6．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO=7米），如果梯子顶部A下滑4米至A1，则梯子底部B滑开的距离BB1是（） A．4米 B．大于4米C．小于4米D．无法计算 7．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或D．60cm 8．如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
勾股定理测试题(含答案)
18.2 勾股定理的逆定理 达标训练 一、基础·巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）. 图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6 3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. 4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF= 4 1AD ，试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 图18－2－7 6.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.
二、综合·应用 7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？ 8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形. 图18－2－8 9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图18－2－9 10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC 的形状. 解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC 是直角三角形. 问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________ ； ③本题的正确结论是_________ _.
勾股定理试卷
八年数学勾股定理练习卷 班级 姓名 座号 成绩 一、精心选一选：(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A 、4，5，6 B 、1，1，2 C 、6，8，11 D 、 5，12，23 2.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(-3,4)，则OP 的长为（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、7 3.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A 、600米 B 、 800米 C 、1000米 D 、 不能确定 4.在ABC ?中，?=∠90A ，A ∠、B ∠、C ∠的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的是（ ） A 、222c b a =+ B 、222a c b =+ C 、222c b a =- D 、222b c a =- 5.现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架， 那么所需木棒的长一定为（ ） A 、30厘米 B 、40厘米 C 、50厘米 D 、以上都不对 6.如图所示，1====DE CD BC AB ，BC AB ⊥，CD AC ⊥，DE AD ⊥， 则AE ＝（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 7.如图，正方体盒子的棱长为2，AB 中点为M ，一只蚂蚁从点M 沿正方体的表面爬到点C '，蚂蚁爬行的最短距离是（ ） A 、13 B 、17 C 、5 D 、52+ E D
8.将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为cm h ，则h 的取 值范围是（ ） A 、cm h 17≤ B 、cm h 8≥ C 、cm h cm 1615≤≤ D 、cm h cm 167≤≤ 二、细心填一填：(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 9.若一个三角形的三边满足222c a b -=，则这个三角形是 . 10.木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面 . (填”合格”或”不合格”) 11.在ABC ?中，?=∠90C ， 5=AB ，则2AB +2AC +2BC = ． 12.命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 . 13.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是 2cm ． 14.已知ABC Rt ?中，?=∠90C ，若14=+b a ，10=c ，则ABC Rt ?的面积是 . 15.如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m . C A B E D 第 第
(完整版)《勾股定理》典型练习题
《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ①已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15) 4、最短距离问题：主要 5、运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．
2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 5、(难）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为 ． S 3 S 2 S 1
《勾股定理》典型例题
《勾股定理》典型例题 例1 在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？ 它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52. （1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？ （2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？ 解： （1）边长的平方即以此边长为边的正方 形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直 角三角形的三边为边向外做正方形，如右 图：AC =4，BC =3, S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×2 1×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2 （2）如图（图见题干中图）
S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×2 1×4×7=121－56=65=42+72 例2 下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内. ①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？ 解： ①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形， （2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形. ②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2. ④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积. 因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面
勾股定理测试题(精选)
一、选择题（40分） 1 ） A ：4，5，6 B ：1，1 C ：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：5 5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A 、 B C 、 D 、3 6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、6cm 2 D 、12cm 2 8、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 9、三角形各边长度的平方比如选项中所示，其中不是直角三角形是（ ） （A ）1:1:2 （B ）1:3:4 （C ）9:25:26 （D ）25:144:169 10、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则 二、填空题（30分）
初二数学勾股定理教案(模板)
初二数学上册教案模板勾股定理（2课时） 一、教学目标及重点 1、教学目标 （1）经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，通过自主学习体验获取数学知识的感受，培养学生的思维能力和语言表达能力。 （2）运用勾股定理解决实际问题。 （3）了解有关勾股定理的历史，通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。 2、教学重点：勾股定理及其应用。 3、教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，了解数学发展史，激发学习兴趣，对学生进行德育教育。 二、探索发现：（在教师的引领下，小组合作，探索学习） 通过此案例引出：勾股定理（商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理）的渊源。 三、知识透析： 1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，
那么： 即：直角三角形两直角边的 等于斜边的平方。 2.注意：（1）勾股定理的条件是：只有在直角三角形中才使用；（2）勾股定理的变形：222a =-b c ；222b =-a c 3.勾股定理验证方法：（教师引导学生通过面积计算，实现勾股定理证明） （1）赵爽证明： （2）伽菲尔德“总统证明法” 四、典例分析： 题型1：勾股定理 1.=90ABC C A B C ?∠∠∠∠V 例在中，，、、所对的边分别是a 、b 、c 。 （1）当a=3，b=4,则c= （2）若a=5，b=12,则c= 例2.一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则底边上的高为？（ ）
（随堂练习：教材3页1、2） 题型2：勾股定理验证 例3.请您用下图验证勾股定理 例4.教材5页第三问 （随堂练习：教材6页中间） 题型3：勾股定理应用 例5.有两棵树，一棵高10米，另一棵高4m，两棵相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）（2013安顺中考） A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 注：将应用题转化构造为直角三角形 例6.教材5页例题
新人教版勾股定理单元测试题
- 1 - S 3S 2 S 1 C B A D C A 人教版八年级勾股定理测试题 （总分：120分，考试时间：60分钟） 考号 班级___________ 姓名_____________. 一、选择题（每小题3分，共24分） 1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A ：4，5，6 B ：1，1 C ：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 3. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 4、△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，AB ＝8，BC ＝15，CA ＝17，则下列结论不正确的是（ ） A ：△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边 B ：△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90° C ：△ABC 的面积是60 D ：△ABC 是直角三角形，且∠A ＝60° 5 ） A ： ：6、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足 2(6)10 a c -+-=，则三角形的形状是（ ） A ：底与边不相等的等腰三角形 B ：等边三角形 C ：钝角三角形 D ：直角三角形 7、一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ） A ：36 海里 B ：48 海里 C ：60海里 D ：84海里 8、若ABC ?中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A ：14 B ：4 C ：14或4 D ：以上都不对 二、填空题（每小题3分，共24分） 9、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）； 10、如图所示，以直角三角形ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为123 ,,S S S ,且 1234,8,S S S === 则 ； 11、将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的 距离为6米，则梯子的底端到墙的底端的距离为 米。 12、如图， 90,4,3,12C ABD AC BC BD ? ∠=∠====,则AD= ； 13、若三角形的三边满足::5:12:13a b c =，则这个三角形中最大的角为 ； 14、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为 ； 15、写出一组全是偶数的勾股数是 ； 16、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时， 顶部距底部有 m ； 三、解答题 17、（ 4分）如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°，AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB 凿通？
勾股定理及常见题型分类
勾股定理及常见题型分类 一、知识要点： 1、勾股定理 2、勾股定理证明方法及勾股树 3、勾股定理逆定理 4、勾股定理常见题型回顾 二、典型题 题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积 1. 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A.13 B.26 C.47 D.94 2.如图，直线l 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的边长分别为6和8，求b 的面积。 3. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 S 3 S 2 S 1 甲 乙 图1
5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 题型二：勾股定理与图形问题 1、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 2.如图，求该四边形的面积 3.如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ． 4.某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 . 5.如图是一块地，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=90°，AB=26m ，BC=24m ，求这块地的面积。 题型三：在直角三角形中，已知两边求第三边 A B C D E F G
(完整)勾股定理试题分类
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《数学》八年级下册 第十七章 勾 股 定 理 【题型一】勾股定理的验证与证明 1.如图,每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是 S 1、S 2、S 3，则它们的面积关系是 ，直角△ABC 的三边的关系是 . 得出 S 1+S 2＝S 3,从而得到：AB 2+BC 2＝AC 2 . 2。如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别 是S 1、S 2、S 3，则它们的面积关系是 ，直角△ABC 的三边的关系是 . 参考答案：对于S 3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法” 或“相 加法"用面积公式计算三个正方形面积，得出 S 1+S 2＝S 3，从而得到：AB 2+BC 2＝AC 2 。 3。如图,是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定 理吗? 参考答案：由S 大正方形＝4S Rt△+S 小正方形，得 c 2＝4×ab+(b －a ）2 ∴a 2+b 2＝c 2 。 4.如图,是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定 理吗？ 参考答案：由S 大正方形＝4S Rt△+S 小正方形，得 （a+b ）2 ＝4×ab+c 2 ∴a 2+b 2＝c 2 . 5.如图，已知∠A ＝∠B ＝90°且△AED≌△BCE ，A 、E 、B 在同一直线上。根据此图证明勾股定理. 1 21 2 B A B A a
勾股定理测试题(精选)
勾股定理单元测试题 一、选择题（40分） 1 ） A ：4，5，6 B ：1，1 C ：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：5 5 、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A 、、、3 6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、6cm 2 D 、12cm 2 8、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 9、三角形各边长度的平方比如选项中所示，其中不是直角三角形是（ ） （A ）1:1:2 （B ）1:3:4 （C ）9:25:26 （D ）25:144:169 10、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
D C B A 二、填空题（30分） 1、若一个三角形的三边满足2 2 2 c a b -=，则这个三角形是 。 2、小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知它的面积为48m 2，对角线长为10 m ，为建栅栏将这个养鱼池围住，则需要这样的栅栏至少 m 。 3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。 4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和为 。 5、如右图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。 6、一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 7、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是________________。 8、有一个边长为1米的正方形洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖的半径至少为 米。 9、已知某学校A 与直线公路BD 相距3000米，且与该公路上一个车站D 相距5000米，现要在公路边建一个超市C ，使之与学校A 及车站D 的距离相等，那么该超市与车站D 的距离是 米。 10、等腰△ABC 中，AC=BC ，CD 是角平分线，且CD=8，AC-AD=3，则△ABC 的周长是___________. 三、解答题（80分） 1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6，AC=8， 求AB 、CD 的长 A B C D E F 图7 B
勾股定理常见题型
1 .如图（16）,大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ，由此可得等量关系 ABCD 正方形EFGH .ACB=90 , AB=4，分别以AC , BC 为直径作半圆，面积分别记为 专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一 “勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题: 3 .“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角 边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是 （ ） 4 .如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形 正方形MNKT 勺面积分别为 S 、S 2、S.若正方形EFGH 勺边长为2,贝U S + S 2+ S 3 = _____________________________________ . 5.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 Si = 4, S 2= 9, S 3 = 8, S= 10，则S =（ ） A. 25 B . 31 C . 32 D . 40 7?如图，已知直角厶ABC 的两直角边分别为 6, 8,分别以其三边为直径作半圆， 则图中阴影部分的面积是 ____________ 8.如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形， 然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为 64,则正方形⑤的面积 _________________________ ,整理后可得： _______________ C 6 .如图，已知在Rt A ABC 中, C 6 8 ①
初中数学勾股定理
聚智堂学科教师辅导讲义 年级：课时数：学科教师： 学员姓名：辅导科目：数学辅导时间： 课题勾股定理 教学目的 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形。 3、满足2 2 2c b a= +的三个正整数，称为勾股数。 教学内容 一、日校回顾 二、知识回顾 1. 勾股定理 如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即C的面积＝B的面积+A的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 2 2 2c b a= + 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 说明： （1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。
（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下， 直角三角形中，a ，b 是直角边，c 是斜边，但有时也要考虑特殊情况。 （3）除了利用a ，b ，c 表示三边的关系外，还应会利用AB ，BC ，CA 表示三边的关系，在△ABC 中，∠B ＝90°，利 用勾股定理有2 2 2 AC BC AB =+。 2. 利用勾股定理的变式进行计算 由2 2 2 c b a =+，可推出如下变形公式： （1）2 2 2 b c a -=； （2）2 2 2 a c b -= （3）22b c a -= （4）22a c b -= （5）22b a c += （平方根将在下一章学到） 说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。 三、知识梳理 1、勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2 c 与2 2 b a +是否具有相等关系 （3） 若2 c =2 2 b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2 c ≠2 2 b a + 则△ABC 不是直角三角形。
勾股定理全章练习题含答案
勾股定理 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2
(C)225cm2(D)无法计算 三、解答题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )． (A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个 二、填空题 11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______． 12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 三、解答题 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC 的长．
勾股定理经典例题(含答案)
类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一） 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）