4． 已知a 是34-的小数部分，那么代数式??? ? ?-????? ??++++-+a a a a a a a a a 42442222的值为________________． 5． 若y x ,为有理数，且xy y x x 则,42112=+-+-的值为（ ）． A ．0 B ． 2 1 C ． 2 D ．不能确定 6． 已知实数a 满足22000,20012000-=-+-a a a a 那么的值是（ ）． A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．2002 7． 设c b a c b a 、、，则10002,9991001,9971003=+=+=之间的大小关系 是（ ）． A ．c b a << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a << 8． 若a a x -= 1，则24x x +的值为（ ）． A ．a a 1- B ．a a -1 C ．a a 1+ D ．不能确定 9．有一道题：“先化简，再求值：4 1442222-÷??? ??-++-x x x x x ，其中3-=x ．”小玲做题时把“3-=x ”错钞成了“3= x ”，但她的计算结果是正确的，请你解释这是怎么回事． 10．已知x x x x x x +++-+=--4 141,) 1(1222化简． 能力拓展 11．已知_______________________2 14121,312=---+++=x x x x 那么． 12．已知__________________________26,514=-=-++a a a 则． 13．代数式9)12(422+-++x x 的最小值为______________________________． 14．已知=+----=++++586643,2002)2002)(2002(2222y x y xy x y y x x 则 ______________． 15．如果3333333,,22002,22002c b a c b c b b a b a --=+-=-+= +那么的 值为（ ）． A ．20022002 B ．2001 C ．1 D ．0
专题01二次根式的化简与求值
专题01二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、 换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、 二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、 直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子 ? 2、 变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式 与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学 就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展 ? 想一想：若 x 二、n （其中x, y, n 都是正整数），则x,.. y,、、n 都是同类二次根式，为什么? 例题与求解 B 、一 1 （绍兴市竞赛试 题） 【例1】 1 「200 2 时 —y 时， 代数式 (4x 3 -2005x-2OO1 )2003 的值是( 22003 (1) 丄B_b 丄a, 、b ”a . b ab -b （黄冈市中考试题） （五城市联赛试题）
【例2】化简
⑶? 4.3 3 2_ （.?6 .3）（「3 J2） 3、厉-、10 -2.6 3.3-2 18 .5 2,3 1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通 过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解 题的难度 【例3】 比?、、5）6大的最小整数是多少? （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设 想一想：设 X =.;；19-8；3,求 X _? x 字 18x 23 的值. x -7x +5x+15 形如：-A —「B 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式 （北京市竞赛试题） x =6 5, y - , 6 - \ 5, （“祖冲之杯”邀请赛试题）
二次根式的计算与化简练习题(提高篇)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 二次根式的计算与化简练习题（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2）x x x x x 50 2232212 3-+ （30)a >
3、当2x =2(7(2x ++ 4、先化简，再求值：221,39 a b ==。 6、已知1a =，222214164821442 a a a a a a a a a --++÷-+-+-,再求 值。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*
7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 1121212 2 2--+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。
②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ - 12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*
⑷- 13、已知：11a a +=221 a a +的值。 14、已知()1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2 )2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ）
专题训练 二次根式化简求值有技巧(含答案)
专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案) ? 类型之一 利用二次根式的性质a 2＝|a|化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a|＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. 1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1＝( ) A ．1－3 B .3－1 C ．3－3 D .3－3 2．当a ＜12且a ≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a ＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|. 4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－ 14c 2－4c ＋16. ? 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简 5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( ) A ．－a b B ．a －b C ．－a －b D ．a b 6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）； (3) 2.25a 2b ； (4) －25－9； (5)9a 34 . ? 类型之三 利用隐含条件求值 7．已知实数a 满足（2016－a ）2＋a －2017＝a ，求a －12016 的值．
8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求x y ＋y x 的值． ? 类型之四 巧用乘法公式化简 9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)； (3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017. ? 类型之五 巧用整体思想进行计算 10．已知x ＝5－26，则x 2－10x ＋1的值为( ) A ．－30 6 B ．－186－2 C ．0 D ．10 6 11．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，求x 2－xy ＋y 2的值． 12．已知x ＞y 且x ＋y ＝6，xy ＝4，求x ＋y x －y 的值． ? 类型之六 巧用倒数法比较大小 13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a _
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算
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二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??
二次根式混合化简计算题
二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 21418122 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102132531-??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (()2 771+--
16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x - 20.
(231 ?++ ? 22. (()2771+-- 23. ((((2222 1111- 24. 22 - 26. (选做 28. 已知：x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。
29. 已知：11a a + =221a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1-039322y x x x y x ，求=+-+-的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）； （3）1452－242； （4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a 33. 化简： （1）2700； （2）202－162； （3） 1681； （4）8a 2b c 2 ．
八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案修订版
八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案 修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
二次根式的化简求值 练习题
m n，m n，则 B. 2 )n)n()n “黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧 3 33= 3 3 23 = 2 (23) (23)(23) =43, 一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化
1276 3 2 3 . 2332 3 (23)(2 3) ，33，23.答案：解：原式=2-3+33-23=2.(201221 3 2 4 3 2012 2011 111 (1)(1 ) n n n n n n n n n n ，将各个分式分别分母有理 化后再进行计算. 324320122011）（20121）=（2012）2-12=2012-1=2011. 3232,b=32 32 ,23ab b 的值. 2 2(32)52632 (32)(32) ，同理22632 ；26+ 526=10，a b=（526）（26），然后将所要求值的式子和a b 表示，再整体代入求值即可.
答案：解：因为a= 3252632 ，b= 3252632 ， 所以a + b= 526+ 526=10，a b=（526）（526）=1. 所以223a ab b =2()5a b ab =21051=95. 小结：分母有理化是我们处理二次根式问题时常用的一种方法，在有关二次根式化简求值的题目中我们经常会用到. 利用平方差公式进行分母有理化是常用方法.如:（a +b ）(a -b )=a -b ,(a+b )(a -b )=a 2-b, (a +b )(a - b )=a -b 2. 举一反三： 2. 如图,数轴上与1,2对应的点分别为A ,B ，点B 关于点A 的对称点为C ,设点C 表示的数为x ,则|x -2|+ 2 x =（ ） A. 2 B. 22 C. 32 D. 2 解析：因为点B 和点C 关于点A 对称，点A 和点B 所表示的数分别为1，2，所以点C 表示的数为2-2，即x=2-2，故|x -2|+ 2 x =|2-2-2|+ 222 =22-2+2 2=32. 例3 比较大小:(1)11-3与10-2；(2)22-5与10-7. 解析：（1）用平方法比较大小；（2）用倒数法比较大小.
二次根式的化简与计算的策略与方法
二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（，） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便． 2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下：
【解】原式． 【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵ ∴． 【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题，一般用平方法都可以进行化简
最新二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1．定义：一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数 3 式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 4 2．二次根式的性质 5 （1） () ()02 ≥=a a a 6 （2）() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 （3）()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 （4） ()0,0>≥=b a b a b a 9 3．运算法则： 10 （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a 11 （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 12 4．最简的二次根式： 13 （1）被开方数因数是整数，因式是整式． 14 （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 15 5．分母有理化 16 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定． 18
②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 19 如: a b +与a b -，a b a b +-与， 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习： 22 1．判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） 25 A ． B ． C ． D ． 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式，则m=______． 27 28 4.若1＜x ＜2，则的值为（ ） 29 A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2x D ．2 30 5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） 31 32 A ．﹣2a+b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 33 6．若式子有意义，则x 的取值范围为（ ） 34 A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 35
2021年八年级数学二次根式化简求值易错题
八年级数学二次根式化简求值易错 题 欧阳光明（2021.03.07） 学校:___________姓名___________班级___________考号 ___________ 一、解答题 1．先化简，再求值：22 2111x x x x -??-÷ ?++? ?，其中x =2． 2．先化简，再求值： 2 111a a a a a a --??÷-+ ?+??，其中，a 1． 3．先化简，再求值： 2 2121x x x x x x ??-÷ ?+++??，其中x = 4．先化简，再求值：532224a a a a -??--÷ ?++? ?，其中a = () 1 134π-?? -+ ??? ． 5．计算： （1 2 ） . 6． 计算： ． 7． 计算： 8．计算或化简: （1） 2 323?a ab b a b --÷(2 6b a -) （2 ）()0,0x y ?≥≥ ? （3 )00a b ＞，＞（4 ) 00a b ≥＜，
（5） （6） -（
参考答案 1．1x x +，23． 【解析】试题分析：首先化简分式，然后把x 的值代入化简后的算式即可． 试题解析：解：解：原式=()()()11111x x x x x x +-? ++-=1 x x +． 当x =2时，原式=221+=23． 点睛：此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 2． () 2 1 1a +，12． 【解析】试题分析：首先化简分式，然后把a 代入化简后的算式，求出算式的值即可． 试题解析：解：原式= ()()()1111a a a a a a -+-÷ + = ()()() 1111a a a a a a -? +-+= ()2 1 1a + 当a 1时，原式 = ( ) 2 1 11 +=1 2． 点睛：此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 3．2 1x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题． 试题解析：解：原式=()22121x x x x x x ++-?+=()2211x x x x x +-?+= ()()2 111x x x x x -+?+=21x - 当x =时，原式 = ( 2 1 -=8-1=7． 点睛：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 4．2a +6，16． 新-课 -标-第- 一-网 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入即可解答本题． 试题解析：解：原式= ()()()225222 3a a a a a +--+?+-= ()()() 33222 3a a a a a +-+?+-=2a +6 当a = () 1 134π-??-+ ? ??=1+4=5时，原式=2×5+6=16．
8、二次根式的化简求值-培优 数学张老师
8、二次根式的化简求值 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式．有理式(rational expression)和无理式(irrational expression)统称代数式，整式和分式统称有理式． 有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形． 【例l 】 已知 ,21=+ x x 那么 1 91 32 2 ++++x x x x x x 的值等亍 (河北省初中数学创新与知识应用竞赛题) 思路点拨通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x+x 1的代数式表示． 【例2】满足等式2003200320032003=+ - - + xy y x y x y x 的正整数对(x ，y)的个数是 ( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (全国初中数学联赛题) 思路点拨对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解． 【例3】 已知a 、b 是实数，且,1)1)(1(22=++-+b b Fa a 问a ，b 之间有怎样的关系?请推导． (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式人手，而化简的基本方法是有理化． 【例4】 有这样一道题，计算 2 2 2 22 4 44 4x x x x x x x x x -++ --+ -- -+的值，其中x=1005，某同学把 “x=1005”错抄成“x=1050”，但他的计算结果是正确的．请回答这是怎么回事?试说明理由． (2005年辽宁省中考题) 思路点拨解题的关键是正确化简待求式． 【例5】(1)设a 、b 、c 、d 为正实数，aad ，有一个三角 形的三边长分别为 ,)()(,,2 2 2 2 2 2 c d a b d b c a -+-++求此三角形的面积； (第12届“五羊杯”竞赛题)
二次根式运算和化简超级经典
二次根式运算和化简(超级经典)
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二次根式的运算 【知识梳理】 1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、 二次根式具有如下性质： （1）() ()02≥=a a a ； （2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，； （4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下： （1）()()0≥±=±c c b a c b c a ； （2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式 （1）一个根式经过化简后满足： 被开方数的指数与根指数互质； 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 被开方数不含分母。 适合上述这些条件的根式叫做最简根式。 （2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。
【例题精讲】 【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。 【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。 【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。 【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253， 求m 的值。 【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。 【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。
二次根式化简与计算的方法和技巧
谈谈二次根式的化简与计算的方法和技巧 安陆市辛榨中学 周俊军 同学们从小学就开始学习数的计算，到了七、八年级后又学习了代数式的计算与化简。在这个过程中他们早已熟练地掌握了运算的顺序、法则和运算律，并掌握了因式分解在化简中的运用。对于二次根式的化简与计算只是这些知识的延伸和继续运用，但二次根式有其独特的性质，在解题时仍需掌握一些技巧和方法，这样才会更简便更快地去进行化简和计算。下面我来谈谈二次根式的化简与计算中常用的方法和技巧。 一、拿出来 当二次根式下出现分母时，需要将分母“开出来”，从而化简。 例如：化简a 1- 解：a 1-=2a a -= a a -- 归纳：对于此类二次根式，首先要利用分式的性质，将分子分母同时乘以a 将分母变 成平方的形式以便开方，同时要挖掘题中的隐含条件，考虑到二次根式的意义，应有a<0.而当a<0时，a a -=2。 二、放进去 有时将根号外面的式子放到根号里面去，同样可消除根号下的分母，从而达到化简的目的。 例如：化简a a 1- 解：a a 1-=a a a --=?? ? ??-?-12 归纳：对于此类问题，也可利用上面的方法将根号下的分母“拿出来 ”，但若将根号外面的a 放到根号里面去计算会更简便。 此题同样要注意到a<0这个隐含条件，而当a<0时，2a a -= 。 再如：计算：()0,01222 n m m n b a m n n m n m ab m n a ÷??? ? ??+- 分析：此题除式中出现因式m n ，而将mn m ab 中根号外面的m 和m n n 1中根号外面的n 分别放到根号里面去即可得 m n ，再将括号中的各项分别与m n b a 22相除，运算更简便。 解：原式m n b a mn n m mn ab m n a 22222÷??? ? ??+-=
二次根式的化简与计算(讲义及答案).
a 2 a b b x -1 a -a 二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题． （1） 二次根式： ①定义：一般地，形如 的式子叫做二次根式． ②性质： ( a )2 = （a ≥0）， = （a ≥0）． = （a ≥0，b ≥0）， = （a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： a ? = （a ≥0，b ≥0）， = （a ≥0，b ＞0）． ④加减法则： 先化成最简二次根式，再合并 ． （2） 实数混合运算顺序： 先算 ，再算 ，最后算 ．同级运算， 从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 能使式子 + 成立的 x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： 对于二次根式 ，有 a 0 且 0 ． 2. 二次根式双重非负性的常见应用： （1） 若 + b + c 2 = 0 ，则 a = ， b = ，c = ． （2） 若 和 同时存在，则 a = ． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察 ，划 ； ②有序操作，依 ； ③每步推进一点点． 做运算时往往需要估．计．工．作．量．，观察式子结构，巧用公式， 可以大大简化运算． ab a b 2 - x a a a
x + 1 2 4 - x 2 3a - 6 2 - a 1 3 4. 二次根式与数形结合： 被开方数中出现平方形式，可通过 构．造．直．角．三．角．形．借．助．勾．股． 定．理． 解决问题． ? 精讲精练 1. 若 x ，y 为实数，且满足 x -1 + = 0 ，则 xy = ． 2. 若 x ，y ，z 为实数，且满足 = ?． + ( y - 3)2 + 2x + z = 0 ，则 3. 若实数 x ，y 满足 + y 2 + 2 y + 1 = 0 ，则 x y = ． 4. 若实数 a ，b 满足为 ． 5. 若实数 x ，y 满足 y = - (b -1) + = 0 ，则 a 2+2b 的平方根 - 3 ，则 2xy = ． 6. 若实数 x ，y 满足 y = + +1，则 = ． 7. 已知 a ，b 为一等腰三角形的两边长，且 a ，b 满足等式 2 + 3 = b - 4，则此等腰三角形的周长为 ． 8. 计算： 3 ? 2 ? ? 3 ?-2 （1） 4 12 ? 3 -1? - - 3 ? + 3 ； ? ? ? ? y + 2 x 3 + 8 x 2 + 3y - z 1+ a 1- b 2x - 5 5 - 2x x 2 - 4 x + 2 y
