河北省衡水中学2016届高三下学期第一次模拟考试文数试题 Word版含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合{}{}|20,|A x x B x x a =-<=<，若A B A ?=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．(],2-∞ D ．[)2,+∞ 【答案】D

考点：集合的运算.

2.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB

，则12z z +=（ ）

A ．2

B ．3

C ． ．

【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，122,z i z i =--=，所以1222z z +=-=，故选A. 考点：复数的表示与复数的模.

3.已知平面直角坐标系内的两个向量，()()1,2,,32a b m m ==-

，且平面内的任一向量c 都

可以

唯一的表示成c a b λμ=+

（,λμ为实数），则m 的取值范围是（ ）

A ．(),2-∞

B ．()2,+∞

C ．(),-∞+∞

D ．(),2-∞()2,?+∞ 【答案】D 【解析】

试题分析：由题意得，平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+

（,λμ为实数），

则,a b

一定不共线，所以12

32

m m ≠-，解得2m ≠，所以m 的取值范围是(),2-∞()2,?+∞，故选D.

考点：向量的坐标运算. 4.如图所示的是计算111124620

++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内填入的条件是（ ）

A ．8i >

B ．9i >

C ．10i >

D ．11i >

【答案】C

考点：循环结构的程序框图的计算.

5.将函数()cos f x x x -的图像向左平移m 个单位（0m >），若所得图像对应的函数为

偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．

23π B ．3π C ．8π D ．56

π

【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，函数(

)cos sin()6f x x x x π=

-=-，将函数()sin()

6

f x x π

=-的图象向左平移m 个单位（0m >），得()sin()6

f x x m π

=+-

，若使得

()sin()6f x x m π=+-为偶数，则2,623

m k m k k Z πππ

ππ-=+?=+∈,当1k =时，

23

m π=，故选A.

考点：三角函数的图象变换与三角函数的性质. 6.已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则1012

68

a a a a --的值为（ ）

A ． 2

B ． 4

C ． 8

D ．16 【答案】

B

考点：等比数列的通项公式的应用.

7.某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名

女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽

到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（ ） A ．①②③ B ．②③ C ． ③④ D ．①④ 【答案】B 【解析】

试题分析：由题意得，从男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生，该抽样应该是简单的随机抽样，其中男生被抽到的概率为13

5

P =，女生被抽到的概率为22

5

P =

，所以只有②③是正确的，故选B. 考点：抽样的应用.

8.已知点Q 在椭圆22

:

11610

x y C +=，点P 满足()

112OP OF OQ =+ （其中O 为坐标原点，1F 为椭

圆C 的左焦点），则点P 的轨迹为（ ）

A ．圆

B ．抛物线

C ．双曲线

D ．椭圆 【答案】D 【解析】

试题分析：因为点P 满足()

112

OP OF OQ =+

（其中O 为坐标原点，所以点P 是1QF 的中点，

设(,)P a b ，由于1F 为椭圆22:11610x y C +=的左焦点，则1

(F ，故)2b Q ，由

点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，则点P 的轨迹方程为2

140

b C +=，故选D. 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质.

9.已知一个几何体的三视图的如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．3272π-

B ．3182

π- C ．273π- D ．183π- 【答案】B

考点：几何体的三视图及体积的计算.

10.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,1,AC BC AC BC PA ⊥===

外接

球的表面积为（ ）

A ．5π B

C ．20π

D ．4π 【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，所以BC ⊥平面,PAC PB 是三棱锥

P ABC -的外接圆的直径，因为Rt PBA ?

中，AB PA =

PB =

接球的半径为R =

，所外接球的表面积为2

45S R ππ==，故选

A.

考点：球的组合体及球的表面积公式.

【方法点晴】本题主要考查了特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式，同时考查了推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题意，证得BC ⊥平面,PAC PB 是三棱锥P ABC -的外接圆的直径，利用勾股定理几何体题中数据算得球的直径，得到球的半径，即可求解球的表面积. 11.

若函数[])111sin 20,y x x π=∈，函数22

3y x =+，则()()22

1212x x y y -+-的最小值

为（ ）

A

．12 B ．()2

1872π+ C ．()2

1812

π+ D

．

()

2

1572π-

【答案】B

考点：利用导数研究曲线在某点处的切线；利用导数求闭区间上函数的最值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线、利用导数求闭区间上函数的最值，体现了导数的综合应用，其中利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解决本题的关键，同时着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中根据平移切线法，求出和直线3y x =+平行的切线或切点，利用点到直线的距离公式即可求解结论.

12.已知,x y R ∈，且4300x y x y y +≤??

-≥??≥?

，则存在R θ∈，使得(

)4cos sin 0x y θθ-+=的概

率为 （ ） A ．

4π B ．8π C ．24π- D ．18

π-

【答案】

考点：简单的线性规划的应用.

【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想和数形结合思想的应用，本题的解答中作出不等式组表示的平面区域，利用辅助角

公式将条件进行化简，转化为()2

2

42x y -+≥，对应的图象是以(4,0)为圆心，半径r =

的圆的外部，求出对应饿平面区域的面积即可求得结论.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.已知()2

2

:12,:210,0p x q x x a a -≤-+-≥>，若p ?是q 的充分不必要条件，则实数

a 的

取值范围是 .

【答案】(]0,2

考点：充分不必要条件的应用．

14.已知函数()f x =[)0,+∞，则实数m 的取值范围

是 . 【答案】[][)0,19,?+∞ 【解析】

试题分析：由题意得，函数()f x =[)0,+∞，则当0m =时，

函数()f x =

[)0,+∞，显然成立；当0m >时，则2

(3)40m m ?=--≥，

解得01m <≤或9m ≥，综上可知实数m 的取值范围是[][)0,19,?+∞. 考点：函数的值域及二次函数的性质.

15.若点P 是以12,F F 为焦点的双曲线22

221x y a b

-=上一点，满足12PF PF ⊥，则

122PF PF =，

则次双曲线的离心率为 .

考点：双曲线的定义及简单的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义及其简单的几何性质、离心率的求解，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，解答的关键是抓住要求离心率的定义，利用题设条件建

立,,a b c 的关系式，即可求解

c

a

的值，得到双曲线的离心率，本题的解答中根据双曲线的定义和题设条件，可得12,PF PF ，在直角三角形中，利用勾股定理得到,,a b c 的关系式. 16.已知函数()()2cos 10,0,02f x A x A πω?ω??

?

=++>><< ??

?

的最大值为3，()f x 的图像与

y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 ()()()()1232016f f f f +++= .

【答案】4032 【解析】 试

题

分

析

：

因

为

()()21cos(22)cos 112wx f x A x A ?ω?++=++=?

+cos(22)122

A A

wx ?=+++的最大值

为3，所以

1322

A A

++=，所以2A =，根据函数相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即24w π=，所以4w π=，故函数的解析式为()cos(

)2sin 2222f x x x πππ

=++=-+，所以()()()()1232016f f f f +++

[sin sin(2)sin(3)sin(2015)sin(2016)]22016040324032

22222πππππ

-+?+?++?+?+?=+= .

考点：二倍角公式；三角函数的图象与性质.

【方法点晴】本题主要考查了二倍角公式、三角函数sin()y A wx ?=+的图象与性质，着重考查分析问题、解答问题的能力和运算能力，属于中档试题，本题的解答中，由函数的最值求出A 的值，在根据相邻两条对称轴间的距离，求出函数的周期，确定w 的值，根据特殊点的坐标求解?的值，确定函数的解析式，再利用三角函数的周期性求解相应式子的值. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()

113,3n n n a a S n N +

+≠=+∈． （1）求证：{}

3n

n S -是等比数列；

（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）()9,-+∞.

考点：等比数列的定义及等比数列的性质的应用.

18．（本小题满分12分）去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁

店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100分成四组，其频率分布

直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为,,,A B C D 四个等级，等级评定标准如 下表所示.

（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；

（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率.

【答案】（1）75，75.4；（2）

3

5

.

家A 等级的概率为

35

. 考点：频率直方图、众数与平均数的计算；古典概型及其概率的计算.

19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C ，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都

是菱形，

11160,2ACC CC B AC ∠=∠=?=.

（1）求证：11AB CC ⊥；

（2）若1AB =11A BB C C -的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

故11111

23

A B

B

C C BB C C V S OA -=

?=菱形.

考点：直线与平面垂直的判定与证明；几何体的体积的计算.

20. （本小题满分12分）设抛物线21:4C y x =的准线与x 轴交于点1F ，焦点2F ；椭圆2C 以

1F 和

2F 为焦点，离心率1

2

e =

.设P 是1C 与2C 的一个交点. （1）椭圆2C 的方程；

（2）直线l 过2C 的右焦点2F ，交1C 于12,A A 两点，且12A A 等于12PF

F ?的周长，求l 的方程.

【答案】（1）22

143

x y +=；（2）)1y x =-或)1y x =-.

考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线综合应用，解题是要认真审题，注意椭圆的弦长公式的合理运用，着重考查了推理与运算能力和分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用12PF F ?的周长为6，得出弦长，可设l 的方程为

(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程.

21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =（e 为自然对数的底数）处

的切线的斜率为3. （1）求实数a 的值；

（2）若()2

f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围；

（3）当(

)1,n m m n N

+

>>∈m n

>.

【答案】（1）1a =；（2）[)1,+∞；3

m

n

>. 【解析】

试题分析：（1）求出()f x 的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a ；（2）()2f x kx ≤对任意0x >成立，得1ln x k x +≥

对任意0x >成立，令()1ln x

g x x

+=，则问题转化为求()g x 的最大值，运用导数，求出导数，求得单调区间，得到最大值，令k 不小于最大值即可；

（3）令()ln 1

x x

h x x =

-，求出导数，判断其单调性，即得()h x 是(1,)+∞上的增函数，由1n m >>，则()()h n h m >，化简整理，即可得证.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的综合应用和不等式的证明.

【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考

查不等式的恒成立问题转化为求解函数的最值，同时考查了与函数有关的不等式的证明，运用构造函数，求得导数的单调性，再由单调性证明，试题有一定的难度属于难题，着重考查了转化与化归的思想方法和构造思想的应用，对于此类问题平时要注意总结和积累. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知圆O 是ABC ?的外接圆，,AB BC AD =是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径. （1）求证：AC BC AD AE ?=?；

（2）过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ，若4,6AF CF ==，求AC 的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）

10

3

.

考点：圆的性质及与圆相关的比例线段.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，O 为极点，点2,

,24A B ππ???

? ? ?????

. （1）求经过点,,O A B 的圆C 的极坐标方程；

（2）以极点为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系，圆D 的参数方程为

1cos 1sin x a y a θ

θ

=-+??

=-+?（θ 是参数，a 为半径），若圆C 与圆D 相切，求半径a 的值.

【答案】（1）4πρθ?

?

=-

??

?

；（2）a =a =

考点：参数方程与普通方程的互化；简单曲线的极坐标方程. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()(),4f x x g x x m ==--+. （1）解关于x 的不等式()20g f x m +->????；

（2）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()()6,22,6--?；（2）(),4-∞.

考点：函数的恒成立；函数的值；绝对值不等式的求解.