八年级数学上册_11.3《角的平分线的性质》习题精选_新人教版

13.3 角的平分线的性质

一、选择题

1．如图1所示，∠1=∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则下列结论中错误的是（ ）． A ．PD=PE B ．OD=OE C ．∠DPO=∠EPO D ．PD=OD

P

D

A

E

B

O

D

F A

C

E

B

D A

C

E

B

（1） (2) (3)

2．如图2所示，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，则下列四个结论：①AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF ，其中正确的个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图3所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，

AD 在∠BAC?的平分线上，DE ⊥AB 于点E ，则△DBE 的周长为（ ）． A ．2 B ．

．无法计算

D A

E

B

O

P

F A

C E

B O

D F

A

C

E

B

(4) (5) (6)

4．如图4所示，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，?作法的合理顺序是（ ）． （1）作射线OC ； （2）在OA 和OB 上，分别截取OD ，OE ，使OD=OE ； （3）分别以D ，E 为圆心，大于

1

2

DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． A ．（1）（2）（3） B ．（2）（1）（3） C ．（2）（3）（1） D ．（3）（2）（1） 二、填空题 1．（1）若OC 为∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，则PE=________，根据是________________．

（2）如图5所示，若在∠AOB 内有一点P ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，且PE=PF ，则点P 在_______，根据是____________．

2．△AB C 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，已知BC=8cm ，BD=5cm ，则点D?到AB?的距离为_______．

3．如图6所示，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于点F ，若DE=DF ，只需添加一个条件，?这个条件是__________． 4．如图所示，∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB?⊥OB?于B ，?则∠MAB 的度数为________． 三、解答题

1．如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BD=CD ，那么BE 与CF 相等吗？为什么？

D

F A

C

E B

A

B

O

M

N

2．如图所示，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC ，判断AM?是否平分∠DAB ，说明理由．

D

A

C

B

M

3．如图所示，已知PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB=PC ，D 是AP 上一点，由以上条件可以得到∠BDP=∠CDP 吗？为什么？

P

D

A

C

B

探究应用拓展性训练 1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，?红方侦察员发现蓝方指挥部设在A 区，到公路、铁路的交叉处B 点700m ．如果你是红方指挥员，?请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．

比例尺1:20000

A 区

B

2．（探究题）已知：在△ABC 中，AB=AC ． （1）按照下列要求画出图形：

①作∠BAC 的平分线交BC 于点D ； ②过D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ； ③过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．

（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC 除外）？说明理由．

3．如图所示，在△ABC 中，P ，Q?分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ．若AQ=PQ ，PR=PS ，?下面三个结论①AS=AR ，②QP ∥AR ，③△BRP ≌△CSP 中，正确的是（ ）．

A ．①和③

B ．②和③

C ．①和② C ．①，②和③

S P

A C

B R

Q

答案: 一、

1．D 解析：∵∠1=∠2，PD ⊥OA 于E ，PE ⊥OB 于E ，∴PD=PE ． 又∵OP=OP ，∴△OPE ≌△OPD ． ∴OD=OE ，∠DPO=∠EPO ． 故A ，B ，C 都正确．

2．D 解析：如答图，设点P 为AD 上任意一点，连结PB ，PC ． ∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ． 又∵AB=AC ，AP=AP ，

∴△ABP ≌△ACP ，∴PB=PC ．

故①正确．

由角的平分线的性质知②正确． ∵AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD ． ∴BD=CD ，∠ADB=∠ADC ．

又∵∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴AD ⊥BC ，故③正确．

由△ABD ≌△ACD 知，∠B=∠C ．

又∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ， ∴∠BED=∠CFD=90°，

∴∠BDE=∠CDF ．故④正确．

4．C 解析：∵AD 平分∠CAB ，AC ⊥BC 于点C ，DE ⊥AB 于E ，∴CD=DE ． 又∵AD=AD ，

∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴AC=AE ． 又∵AC=BC ，∴AE=BC ，

∴△DBE 的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+

EB=AB= 提示：设法将DE+BD+EB 转成线段AB ． 5．C 二、1．（1）PF 角平分线上的点到角的两边的距离相同

（2）∠AOB 的平分线上 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 2．解析：如图所示，AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC 于点C ，DM ⊥AB 于点M ． ∴CD=DM ，

∴DM=CD=BC-BD=8-5=3． 答案：3

提示：利用角的平分线的性质．

3．AD 平分∠BAC ． 4．解析：∵OM 平分∠AOB ， ∴∠AOM=∠BOM=

2

AOB

=20°． 又∵MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ，

∴MA=MB ．

∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ， ∴∠AMO=∠BMO=70°， ∴△AMN ≌△BMN ，

∴∠ANM=∠BNM=90°， ∴∠MAB=90°-70°=20°． 答案：20°

三、1．解析：BE=CF ．

∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE=DF ． 又∵BD=DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ， ∴BE=CF ．

提示：由角的平分线的性质可知DE=DF ，从而为证△BDE ≌△CDF 提供了条件． 2．解析：AM 平分∠DAB ．

D A C B

M P

F A

C

E

理由：如答图13-9所示，

作MN ⊥AD 于点N ， ∵DM 平分∠CDA ， MC ⊥DC 于点C ，MN ⊥AD 于点N ，

∴MC=MN ．

又∵M 是BC 的中点，∴CM=MB ， ∴MN=BM ，∴AM 平分∠DAB ． 3．解析：可以．

∵PB ⊥AB 于点B ，PC ⊥AC 于点C ，且PB=PC ， ∴AP 平分∠BAC ，∴∠BAP=∠CAP ． 在Rt △ABP 和Rt △ACP 中， PB=PC ，AP=AP ，

∴Rt △ABP ≌Rt △ACP ，∴AB=AC ． 在△ABD 与△ACD 中，

AB=AC ，∠BA P=∠CAP ，AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD ，

∴∠ADB=∠ADC ，∴∠BDP=∠CDP ．

探究应用拓展性训练

1．如答图所示．

解析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN 的平分线上． 又∵比例尺为1：20000，∴P 离B 为3．5cm ． 提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

2．（1）解析：按题意画图，如答图13-11．

（2）可以得到ED=FD ，AE=AF ，BE=CF ，BD=CD ． 理由如下：∵AB=AC ，∠1=∠2，AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD ，∴BD=DC ．

∵∠1=∠2，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，

∴DE=DF ．

又∵AD=AD ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴AE=AF ， ∴AB-AE=AC-AF ，即BE=CF ．

提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另外本题主要应用角的平分线的性质及三角形全等来寻找相等的线段．

3．C 解析：如答图所示，连结AP ． ∵PR ⊥AB 于点R ，P S ⊥AC 于点S ，PR=PS ，

∴AP 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．

又∵AQ=QP ，

∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴PQ ∥A R ． 在Rt △APR 和Rt △APS 中，

PR=PS ，AP=AP ， ∴Rt △APR ≌Rt △APS ，∴AR=AS ．

而△BRP 与△CSP 不具备三角形全等的条件，故①②正确．

提示：本题的突破口是判断出点P 在∠BAC 的平分线上．

D F A C

E B 12S P

A C

B 3R 1

2Q D

A C B

M N