导数及其应用测试题(有详细答案)

陈中高二数学复习题《导数及其应用》

一、选择题

1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为

A. B. C. D.

3．在曲线y ＝x 2

上切线的倾斜角为π4

的点是( )

A ．(0,0)

B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ??

??12，14 4.若曲线y ＝x 2

＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )

A ．a ＝1，b ＝1

B ．a ＝－1，b ＝1

C ．a ＝1，b ＝－1

D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3

＋ax 2

＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2

－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m

的取值范围是( )

A ．m <2或m >4

B ．－4

C ．2

D ．以上皆不正确 7. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为

A ．1-

B ．e

C ．ln 2

D ．1

8. 若函数)1,1(12)(3

+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或

C ．22<<-k

D ．不存在这样的实数k

9. 10．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则

(1)

'(0)

f f 的最小值为 A ．3 B ．

52 C ．2 D ．32

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.函数sin x

y x

=

的导数为_________________ 12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10，则f (2)等于____________. 13．函数2cos y x x =+在区间[0,

]2

π

上的最大值是

14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，

0)

()(2

>-'x x f x f x ）

（0>x ，则不等式 0)(2>x f x 的解集是

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0

17. 已知函数3()3f x x x =-.

（Ⅰ）求)2(f '的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区

18. 设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3. （1）求)(x f 的单调区间和极值；

（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.

19. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈< （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；

（3）当[1,1]x ∈-，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。

20. 已知函数2()ln .f x x ax bx =--

（I ）当1a =-时，若函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；

（II ）若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，且AB 的中点为0(,0)C x ，求证：

0'()0.f x <

21. 已知函数2

(),()2ln (x f x g x a x e e

==为自然对数的底数） （1）求()()()F x f x g x =-的单调区间，若()F x 有最值，请求出最值；

（2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同

的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

高二数学（文）期末复习《导数及其应用》参考答案

二、填空题： 11. 2cos sin 'x x x y x -=

；12. 18 13.36

+π； 14.}

0|{

三、解答题

16. [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π

4

)＋1 (0

令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－2

2，

解之得x ＝π或x ＝3

2

π.

x ，f ′(x )∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(32π，2π)单调减区间为(π，3

2π)．

f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (32π)＝3π

2.

17. 解：（Ⅰ）33(2-='x x f ）

，所以9)2(

='f .

（Ⅱ）2

()33

f x x '=-，

解()0f x '>，得1x >或1x <-.

解()0f x '<，得11x -<<.

所以(

,1)-∞-，

(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间，(1,1)-为函数()f x 的单调减区间.

18. 解:（1）2,2,0)(),2(3)(212=

-=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分

∴当()0;,()0x x f x x f x ''<>><<,当，…………………2分 ∴)(x f

的单调递增区间是(,)-∞+∞和，单调递减区间是)2,2(-……3分

当245)(,2+-=有极大值x f x ；当245)(,2-=有极小值x f x .…………4分

（2）由（1）可知)(x f y =图象的大致形状及走向（图略）

∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点，……6分

即当55a -<<+α=)(x f 有三解. …………………………………7分

（3）)1()5)(1()1()(2-≥-+--≥x k x x x x k x f 即

∵),1(5,12+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立. …………………………………………9分 令5)(2-+=x x x g ，由二次函数的性质，),1()(+∞在x g 上是增函数，

∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k ……………………………………12分

19. 解：（1）2'()36(1).f x mx m x n =-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点.所以'(1)0f =

即36(1)0,m m n -++=所以36n m =+

（2）由（1）知，22

'()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m

=-+++=--+

当0m <时，有2

11

>+，当x 为化时，()f x 与'()f x 的变化如下表：

故由上表知，当0m <时，()f x 在(,1)m -∞+单调递减，在(1,1)m

+单调递增，在(1,)+∞上单调 递减.

（3）由已知得'()3f x m >，即2

2(1)20mx m x -++>又0m <，所以222

(1)0x m x m m

-

++<，即222

(1)0,[1,1]x m x x m m

-

++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，

所以22(1)0120(1)010

g m m

g ?

-<+++

20.（1）由题意：bx x x x f -+=2ln )(， )(x f 在),0(+∞上递增，∴021

)(≥-+=

'b x x

x f 对),0(+∞∈x 恒成立，即x x b 21+≤

对),0(+∞∈x 恒成立，∴只需min )21

(x x

b +≤， 0>x ，∴2221≥+x x ，当且仅当2

2

=x 时取“=”，∴22≤b ，∴b 的取值范围为

)22,(-∞

（2）由已知得，??

?=--==--=0ln )(0ln )(2222212

111bx ax x x f bx ax x x f ????-=-=2

22

21

211

ln ln bx ax x bx ax x ，两式相减，得： )())((ln

21212121x x b x x x x a x x -+-+=?])()[(ln 21212

1b x x a x x x x

++-=， 由b ax x

x f -+=

'21

)(及2102x x x +=，得： ])([221)(2211000b x x a x x b ax x x f ++-+=--=

'2

111ln 1

222x x x x x x +-+= ]ln )(2[1

2

1111222x x x x x x x x -+--=]ln )1()

1(

2[1212

121

12x x x x x x x x -+--=

，令)1,0(21∈=x x t ， 且t t t t ln 122)(-+-=?)10(<

1()1()(2

2

<+--='t t t t ?，∴)(t ?在)1,0(上为减函数， ∴0)1()(=>??t ，又21x x <，∴0)(0<'x f

21. 解：（1）3222()

()()()(0)x a x ea F x f x g x x e x ex

-'''=-=-=> ①当0,()0a F x '≤>时恒成立

()(0,)F x +∞在上是增函数，()F x F 只有一个单调递增区间（0，-∞）

，没有最值……3分

②当0a >

时，2(()(0)x x F x x ex

-=

>，

若0x <<

()0,()F x F x '<在上单调递减；

若x >

()0,())F x F x '>+∞在上单调递增，

x ∴=当()F x 有极小值，也是最小值，

即min ()2ln F x F a a a a ==-=-…………6分 所以当0a >时，()F x

的单调递减区间为

单调递增区间为)+∞，最小值为ln a a -，无最大值…………7分

（2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，

则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有一个零点…………8分[来源:

学_科_网]

由（1）的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得…………10分

此时，2

()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥

m i n ())0F x ==

1,()()f g f x g x ∴==∴与

的图象的唯一公共点坐标为

又

()f e g ''==

(

)()f x g x 与

的图象在点

处有共同的切线，

其方程为1

y x -=-，即1y x =-…………13分

综上所述，存在a 1=，使

()()f x g x 与

的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公

切线方程为 1.y x =

-…………14分

方法二：设()f x 与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y ，

根据题意得???==)()()()(0'

0'00x f x f x g x f 即20

002ln 22x a x e

x a

e

x ?=????=??

由②得2

0x a e =

，代入①得021

ln ,2x x =∴=

从而1a =…………10分

此时由（1

）可知min ()0F x F ==

0x x ∴>≠当且()0,()()F x f x g x >>即

因此除0x =

0x ，使00()()f x g x =…………13分

故存在1a =，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，

易求得公共点坐标为

，公切线方程为1y x =-…………14分