函数单调性练习(附 答案)
函数单调性
一． 填空题 1. 函数()1
2
x f x x -=
+的单调递增区间是__________________. 2. 函数()2
32f x x x =-+的单调递减区间是__________________.
3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数，那么a 的取值范围是__________.
4. 函数()f x 在R 上是增函数，()g x 在R 上是减函数，那么()()f x g x -在R 上是
_________.
5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数，（1）若()f x 在R 上是偶函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________；（2）若()f x 在R 上是奇函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________.
6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，
)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________.
7. 已知()()()
()
2
3411a x a x f x x
x --
a 的取值范围是______.
8. 函数()1
2||1
f x x =
+-的递增区间是______________.
9. 若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ?<的解集为
____________.
10. 定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞上是减函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x =，那么，
那么()1f -_________()3f .(填,,>=<) 11. 已知函数(
)f x =
[]0,1是减函数，则a 的取值范围是____________.
12. 设()f x 是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 .
二． 选择题
13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------（ ）
A . ()12
y x =- B . ()2
1y x =-+ C . 1x
y x
=
- D . 21y x =+ 14. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞是增函数，则不等式()()f a f b <等价于（ ）
A .a b <
B . a b >
C . a b <
D . 0a b ≤<或0a b >≥
15. 如果奇函数()f x 在区间[]3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]7,3--上是---------------------------------------------------------------------------------------------- ( )
A .增函数且最小值是5-
B .增函数且最大值是5-
C .减函数且最大值是5-
D .减函数且最小值是5-
16. 函数(
)f x =
--------------------------------------------------------------------------（ ）
A .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增
B .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减
C .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递增
D .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递减
三． 解答题
17. 试讨论函数(
)f x =在区间[]1,1-上的单调性．
18. 已知函数()()
2
1
1f x x =
-
（1） 用单调性定义证明：()f x 在(
（2） 作出函数()f x 的大致图象.
19. 已知函数()()20x a
f x a x
+=>在()2,+∞上递增，求实数a 的取值范围.
20. 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有
()()()121
2f x x f x f x ?=+，且当1x >时()0f x >，()21f = （1）求证：()f x 是偶函数； （2）()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21)2f x -<．
函数单调性(答案)
一. 填空题 1. 函数()1
2
x f x x -=
+的单调递增区间是__________________.()(),2,2,-∞--+∞ 2. 函数()2
32f x x x =-+的单调递减区间是__________________.(]3,1,,22
??-∞????
3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数，那么a 的取值范围是__________.[)2,+∞
4. 函数()f x 在R 上是增函数，()g x 在R 上是减函数，那么()()f x g x -在R 上是
_________. 增函数
5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数，（1）若()f x 在R 上是偶函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________；（2）若()f x 在R 上是奇函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________.减函数 增函数
6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，
)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________.
()(]2,02,5-
7. 已知()()()()23411a x a x f x x
x --
______.2
,35??????
8. 函数()1
2||1
f x x =
+-的递增区间是______________.()(),1,1,0-∞--
9. 若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ?<的解集为
____________. ()(),22,-∞-+∞
10. 定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞上是减函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x =，那么，
那么()1f -_________()3f .(填,,>=<) > 11. 已知函数(
)f x =
[]0,1是减函数，则a 的取值范围是____________.
02a <≤
12. 设()f x 是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 .[)3,+∞
二. 选择题
13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------（ C ）
A . ()1
2
y x =- B . ()2
1y x =-+ C . 1x
y x
=
- D . 21y x =+ 14. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞是增函数，则不等式()()f a f b <等价于
（C ）
A .a b <
B . a b >
C . a b <
D . 0a b ≤<或0a b >≥
15. 如果奇函数()f x 在区间[]3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]7,3--上是---------------------------------------------------------------------------------------------- ( A )
A .增函数且最小值是5-
B .增函数且最大值是5-
C .减函数且最大值是5-
D .减函数且最小值是5-
16. 函数(
)f x =
--------------------------------------------------------------------------（ B ）
A .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增
B .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减
C .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递增
D .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递减
三. 解答题
17. 试讨论函数(
)f x =在区间[]1,1-上的单调性．
.解： 设[]12,1,1x x ∈-，且12x x <．
()(
)12f x f x -=
2211x x --
-=
=∵ x 2－x 1＞0，2
22
111x x -+-＞0，
∴ 当210x x >>时，120x x +>，那么()()12f x f x >．
当210x x >>时，120x x +<，那么()()12
f x f x <．
故()f x =[]1,0-上是增函数，在区间[]0,1上是减函数．
18. 已知函数()()
2
1
1f x x =
-
（3） 用单调性定义证明：()f x 在(
-∞（4） 作出函数()f x 的大致图象. 解：（1）
设121x x <<， ()()12f x f x -=
所以()f x 在(),1-∞上为增函数
19. 已知函数()()20x a
f x a x
+=>在()2,+∞上递增，求实数a 的取值范围.
解：设122x x <<，由
()()()()22
122112121212121212
0x a x a x x x x a
f x f x x x a x x x x x x x x ++---=-=-+=-<恒成立．
即当122x x <<时，12x x a >恒成立．又124x x >，所以04a <≤．
20. 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有
()()()121
2f x x f x f x ?=+，且当1x >时()0f x >，()21f = （1）求证：()f x 是偶函数； （2）()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2
(21)2f x -<．
解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=，
∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则
221111()()()()x f x f x f x f x x -=?
-221111
()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴
211x x >，∴21
()x
f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．
（3）(2)1f = ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，
∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，
又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：x <<
，
即不等式的解集为? ??
．
函数的单调性·典型例题精析
2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3| (2)y (3)y ＝ ＝ x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4． 先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示． 由图像易得： 递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x． 当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1． 令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1] 上是在x∈[－1，1] 上是． 而＝在≥上是增函数． y u0 u ∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]． 【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范
围． 解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数． 当≠时，对称轴＝ ， 若＞时，由＞≤，得＜≤． a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1． 【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜ ＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝ ≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝ ∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴ ＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数． 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． ∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1
类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，
在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，；
函数的单调性知识点总结与经典题型归纳
函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升?哪些区间下降？
解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降? ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ （2）f (x )=x 2． ①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 解：（1）①从左至右图象是上升的； ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． （2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小； ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． 【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函 数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？ 解：不一定，例如下图： 【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---； 其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.
(完整版)函数单调性奇偶性经典例题
函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（ ） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ） 的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.
7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<， 则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0 函数的单调性及典型习题 一、函数的单调性 1、定义： （1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，如果取区间 M 中的任意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1 时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2） 注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念： 1、定义的另一种表示方法 如果对于定义域I内某个区间 D 上的任意两个自变量x1,x2,若f ( x 1 ) f (x2 )0 即 x1x2 y ，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 ) 0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。 x1x2 x x 判断题： ①已知 f (x)1 1) f(2) ，所以函数 f ( x) 是增函数． 因为 f ( x ②若函数 f ( x) 满足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数． ③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数． ④ 因为函数 1 在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x) 1 f ( x)在 x x ( ,0)(0, ) 上是减函数. 通过判断题，强调几点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域 ( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个 区间 ( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调 ( 如常函数 ) ． ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。 ④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 A B 上 是增（或减）函数． 熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性． 1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 1 2．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数 y ＝ f ( x) 与 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等 3．判断函数单调性的方法 （ 1）定义法． （ 2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单 调性均可直接说出． （ 3）图象法． 例 1、证明函数 f ( x) 1 ）是减函数． 在（ 0， + x 练习 1：证明函数 f ( x) x 在 0, 上是增函数． 1 1 x 例 2、设函数 f （x ）＝ x 2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单调性，并给出证明． 例 3、求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝ |x 2 ＋ 2x － 3| x 2 2x (2)y ＝ 1| 1 |x (3)y ＝ x 2 2x 3 (2)第一章函数的基本性质之单调性 一、基本知识 1 .定义：对于函数y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x「X2，当捲x2时，都有f(x i) f (X2)(或f (x i) f(X2))，那么就说函数y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。 重点2 .证明方法和步骤： (1) 取值: 设X i,X2是给定区间上任意两个值，且X i X2 ； (2) 作差: f(xj f(X2)； (3) 变形: (如因式分解、配方等)； (4) 宀口 定 号： 即f (x i) f(x2) 0或f (x i) f(x2) 0 ； (5) 根据定义下结论。 3?常见函数的单调性 ⑴ 心) 也+乩k o|时，回在R上是增函数；k 5.函数的单调性的应用： 判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析 T 2 例1 :证明函数f(x)=区_1在(0， + 上是减函数。 例2 :证明F@) = / + 3|在定义域上是增函数。 例3 :证明函数f(x)=x 3的单调性。 例4 :讨论函数y =一； 1 — x2在［—1,1］上的单调性. 3 例5 :讨论函数f(x) =W 的单调性. 函数的单调性 一、选择题 1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是…………………………………( ) A.y ＝3－x B. y ＝x 2＋1 C. y ＝－x 2 D. y ＝x 2－2x －3 2.若函数y ＝(a ＋1)x ＋b ，x ∈R 在其定义域上是增函数，则…………………( ) A.a ＞－1 B. a ＜－1 C. b ＞0 D. b ＜0 3.若函数y ＝kx ＋b 是R 上的减函数，那么…………………………………( ) A.k<0 B. k>0 C.k ≠0 D. 无法确定 4.函数 f(x)＝? ?? ?? 2x ＋6 x ＋7 x ∈［1，2］x ∈［－1，1］ ，则f(x)的最大值、最小值为……( ) A.10,6 B. 10,8 C.8,6 D.以上都不对 5.下列四个函数在()-0∞，上为增函数的有（ ） （1）y x = （2）x y x = （3）2 x y x =- （4）x y x x =+ A.(1)和(2) B.（2）和（3） C.（3）和（4） D.（1）和（4） 6.设()f x 是(),-∞+∞上的减函数，则（ ） 7.设函数()()21f x a x b =-+在R 上是严格单调减函数，则（ ） 8.下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（ ） 9.已知函数22 4,0()4,0x x x f x x x x ?+≥?=?-，则实数a 的取值范围是（ ） 10.已知()f x 为R 上的减函数，则满足()11f f x ?? > ??? 的实数x 的取值范围是（ ） 11．函数 的增区间是（?? ）。 A ． ? B ． C ． ? D ． 12． 在 上是减函数，则a 的取值范围是（? ）。 A ． ? B ． ? C ． ? D ． 13．当 时，函数 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（?? ） A ． ? B ． ? C ． ? D ． 14、已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则（ ） 15、设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +?? = ?+?? 的所有 x 之和为（ ） A ．3- B ．3 C ．8- D ．8 16、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ） 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 函数的单调性与极值练习 一、选择题 1．函数3 ()3f x x x =-（||1x <） （ ）。 Ａ．有最大值，但无最小值 Ｂ．有最大值，也有最小值 Ｃ．无最大值，也无最小值 Ｄ．无最大值，但有最小值 2．函数3() f x x a x b =++在区间（－1，1）上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数， 则（ ）。Ａ．1a =，1b =Ｂ．1a =，R b ∈Ｃ．3a =-，3b =Ｄ．3a =-，R b ∈ 3．函数2 1ln 2 y x x = -的单调减区间为 （ ） 。 Ａ．（0，1）Ｂ．（0，1）∪（－∞，－1）Ｃ．（0，1）∪（1，＋∞）Ｄ．（0，＋∞） 4．函数232 x y x x = -+的单调增区间为 （ ）。 Ａ． ） Ｂ．（－2，1）∪（1，2） Ｃ． ，1）∪（1 ） Ｄ． ，1），（1 ） 5．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '= 的图象如右图所示，则()y f x =的图象有 可能的是 （ ）。 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、填空题 6．已知0a >，函数3 () f x x a x =-+在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值 为＿＿＿。 7．设()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程()0f x '=的实数根的个数是＿＿＿。 三、解答题 8．求函数1 ()f x x x =+ 的极值。 ) 函数的单调性与极值 类型一导数与函数的单调性 一、选择题 1．函数3 y x x =-的单调增区间是＿＿＿。 2．若三次函数3 y a x x =-在区间（－∞，＋∞）内是减函数，则a 的取值范围＿＿＿。 3．函数ln y x x =在区间（0，1）上的增减性是＿＿＿。 二、填空题 4．若函数32 ()f x x bx cx d =+++的单调递减区间为[－1，2]，则b =＿＿，c =＿＿。 5．若函数3 () f x a x x =+恰有三个单调区间，则a 的取值范围是＿＿＿。 6．设2 ()f x x x =+ （0x <），则()f x 的单调增区间为＿＿＿。 7．求函数2 2 ln y x x =-的单调区间。 类型二、函数的极值 一、选择题 1．函数1()()2 x x f x e e -= +的极小值点是＿＿＿。 2．函数sin()2 y x π π=+ +在区间[－π，π]上的极大值点为＿＿＿。 3．函数3 13y x x =+-的极大与极小值＿＿＿。 二、填空题 4．函数3 2 1y x x x =+-+在区间[－2，1]上的最小值为＿＿＿。 5．若函数3 () f x x a x =+在Ｒ上有两个极值点，则实数a 的取值范围是＿＿＿。 6．函数()sin cos f x x x =+在[－ 2π，2 π ]上的最大值为＿＿＿，最小值为＿＿＿。 7．已知函数3 2 () 32f x a x b x x =+-+在1x =±处取得极值，讨论( 1 )f 和( 1 )f -是函数()f x 的极大值还是极小值。 函数的单调性· 典型例题精析 【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝|x 2＋2x －3| (2)y (3)y ＝ ＝x x x x x 2221123 -----+|| 解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4． 先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示． 由图像易得： 递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ． 当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1． 令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x ∈[－1，1]上是 ． 而＝在≥上是增函数．y u 0u ∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]． 【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数 a 的取值范畴． 解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数． 当≠时，对称轴＝ ，若＞时，由＞≤，得＜≤． a 0x a 0a 0 3a 10a 131 212a a a --??? ?? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范畴是0≤a ≤1． 【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝ ≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝ ∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()() ()() ()()()()122112221212 1221122 2111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数． 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． 第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数 函数的单调性 一、典型例题 例1、讨论函数(,0)b y ax a b x =+ >的单调性. 例2、若()f x 为R 上的奇函数，且(2)0f -=，若()f x 在(,0)-∞上是减函数，则0≤ )(x xf 的解集为_______________； 变式、已知定义域为()(),00,-∞+∞ 的偶函数()g x 在(),0-∞内为单调递减函数，且()()()g x y g x g y ?=+对任意的,x y 都成立，()21g =。 ①求()4g 的值； ②求满足条件2)1()(++>x g x g 的x 的取值范围。 例3、已知 (31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+ 例4、已知()f x 是定义在[-1，1]上的奇函数，且(1)1f =。若,[1,1],0a b a b ∈-+≠有()()0f a f b a b +>+ （1）判断()f x 在[-1，1]上的增减性【增函数】 （2）解不等式1 1()()21 f x f x +<- （3）若2()21f x m am ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求m 的取值范围。 例5、定义在R 上的函数)(,2),4()()(x f x x f x f x f 时当满足>+-=-单调递增，如果 )()(,0)2)(2(,4212121x f x f x x x x +<--<+则且的值（ ） A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负 例6、已知函数b ax c x x f ++=2)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式23)(0≤≤x f 的解集是[2,1][2,4]-- （1）求,,a b c 。 （2）是否存在实数m 使不等式2 3)sin 2(2+≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。 函数的单调性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21 ++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 2 1 ，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞ 2．3．1 函数的单调性·例题解析 【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝|x 2＋2x －3| (2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+|| 解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4． 先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示． 由图像易得： 递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ． 当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1． 令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x ∈[－1，1]上是． 而＝在≥上是增函数．y u 0u ∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]． 【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数 a 的取值范围． 解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数． 当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --????? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1． 【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()() ()() ()()()()12211222 12121 221122 2111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数． 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． 函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ?I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1 解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 二、方法归纳 1．判断函数单调性的四种方法 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论； (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性 判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练] 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x | 答案：C 2．函数f (x )＝1 x 2＋1 在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________． 答案：15 110 第13周南马辅导材料 例1：已知集合Ａ＝{}b a ,,2，Ｂ＝{}2,2,2b a ，且Ａ＝Ｂ，求b a ,的值． 答案???==10b a 或?? ???==21 41b a 练：已知集合 =A {2，3,2a +4a +2}， B ＝{0,7, 2a +4a -2,2-a }，且 A B={3,7},求a 值．答案：1 例2：已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 答案：(]3,∞- 练：A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 答案：[)+∞,9 例3：集合 {}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 答案：(){}1,1- 练：已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A ，求实数a 的值。答案：5,2 7,1--=a 例4、已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为 答案：2,3 2,1 练、设{}042=+=x x x A ，函数{}01)1(222=-+++=a x a x x B ， 求使（1）B B A = 的实数a 的取值范围。答案：71=-≤a a 或 （2）使B B A = 的实数a 的值. 答案：7=a 练习： 1、集合A={x|x=2πk +4π, k ∈Z}，B={x|x=4πk +2π k ∈Z}则有( ) A ．A = B B ．A ?B C ． A ?B D ．A ∩B =φ 2、设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{} 5S C A =，求a 的值。答案：2 3、已知M ={(x ，y)| y = x ＋a}，N ={(x ，y)| x 2＋y 2= 2}，求使得M N =φ 成立的实数a 的取值范围。答案：22-<>a a 或(完整word版)函数的单调性典型例题.docx
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