吉林省舒兰市第一中学高中数学 2.3.3空间中的角导学案 新人教A版必修2

第二章 2.3.3 空间中的角

【学习目标】

掌握空间中的三种角的概念及范围；

能够在已知图形中找出或者做出所求角，并能在三角形中进行计算.

【学习重点】

空间中的角度的计算

【知识链接】

1. 异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

【基础知识】

图1

1.如图1,已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线 a '∥a ,b '∥b ，把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线,a b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a b ⊥.

反思：思考下列问题.

（1）作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便?

（2）异面直线所成的角的范围是多少?

（3）两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?

（4）异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?

（5

）异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.

2. 直线PA 和平面α相交但不垂直，PA 叫做平面的斜线，PA 和平面的交点A 叫斜足；PO α⊥，AO 叫做斜线PA 在平面α上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.

直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°角. 反思：求直线与平面所成的角关键是：在斜线上选出一特殊点，做出其在平面内的射影.

确定点的射影位置的方法有

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上

②一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上（射影在角分线定理） ③若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上.

④面面垂直的性质定理.

3.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图1中的二面角可记作：二面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --.

图1 图2

如图2，在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射

O A P αl

线,OA OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角.

平面角是直角的二面角叫直二面角. 反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？

⑵你觉的二面角的大小范围是多少？

⑶二面角平面角的大小和O 点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？ 小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角. 二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ，作AB β⊥于点B ，再作BO l ⊥于O ，连接OA ，则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)

【例题讲解】

例1 如图，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA '和CC ' ⑵B D ''和C A '

（1）045 （2）090

例2 如图，在正方体中，求直线A B '和平面A B CD ''所成的角. 030

变式训练1：

如图，在Rt BMC ?中，斜边5BM =，其射影4AB =，60MBC ∠=°090=∠MCB ,求MC 与平面CAB 所

成角的正弦值.(

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例3 在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=060,∠BCA=090,点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，

且DE//BC.

(1) 求证：BC ⊥底面PAC ；

(2) 当D 是PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成角的正弦值；4

2 (3) 是否存在点E 使得二面角A-DE-P 为直二面角？并说明理由.（存在，PC AE ⊥）

【达标检测】

1. 以下四个命题，正确的是（ D ）.

A.两个平面所成的二面角只有一个

B.两个相交平面组成的图形叫做二面角

C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个

D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关

2. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ C ）.

A.相交不垂直

B.相交成60°角

C.互相垂直

D.互相平行

3. 二面角的大小范围是]1800[00，.

4. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在平面内的的射影垂直，则它和这条斜线垂直 （三垂线定理）.

5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的的射影垂直 （三垂线定理的逆定理）

6. 两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是 相交、平行或异面 .

7. 棱长都相等的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是BB 1的中点，，求面A 1DC 与面A 1B 1C 1所成的锐二面角的大小为045.

8.如图，四棱锥P ABCD -

的底面是个矩形，2,AB BC ==面PAB 是等边三角形，且侧面PAB 垂直于底面ABCD .⑴证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ； ⑵求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.（045）

9.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC=045，AD=AC=1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD,PO=2，

M为PD的中点.

(1)求证：PB//平面ACM;(2)证明AD 平面PAC;

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.(

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) 【问题与收获】