宁夏中卫市海原县李俊中学2015-2016学年九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版

宁夏中卫市海原县李俊中学2015-2016学年九年级数学上学期期中

试题

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．下列命题中正确的是（）

A．有一组邻边相等的四边形是菱形

B．有一个角是直角的平行四边形是矩形

C．对角线垂直的平行四边形是正方形

D．一组对边平行的四边形是平行四边形

2．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8，另一个三角形的一边长是2，则另一个三角形的周长是（）

A．4.5 B．6

C．9 D．以上答案都有可能

3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）

A．45° B．55° C．60° D．75°

4．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，配方后得到的方程为（）

A．2=m+1 C．2=m2﹣1

5．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（）

A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4

6．某工厂搞技术革新，计划在两年内使成本下降51%，则平均每年下降百分率为（）A．30% B．26.5% C．24.5% D．32%

7．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）

A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4

8．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积（）cm2．

A．14 B．24.5 C．7 D．49

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为．

10．已知方程2x2+3x﹣4=0的两根为x1，x2，那么x12+x22= ．

11．如图，若∠ACD=∠B，则△∽△，对应边的比例式为，

∠ADC= ．

12．方程3（m+1）x2﹣5mx+3m=2两根互为相反数，则m的值为．

13．在△ABC中，∠C=90°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有条．

14．（x2+y2）（x2﹣1+y2）﹣12=0，则x2+y2的值是．

15．在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率是．

16．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是．

三、解答题（共22分）

17．解下列方程：

（1）3x2+8x﹣3=0；

（2）+=．

18．解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．

．

19．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．20．已知：菱形ABCD的对角线AC=6m，周长是20m，求另一条对角线BD的长及菱形的面积．

21．求证：无论k取何值时，方程x2﹣（k+3）x+2k﹣1=0都有两个不相等的实数根．

22．如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC上有点P使△PAD和△PBC 相似，求PD的值．

23．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：

（1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整；

（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率．

24．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．

25．某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的市场调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平

均每周能多售出1辆．该4S店要想平均每周的销售利润为90万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？这时每周进多少量辆最为适宜？

26．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？

2015-2016学年宁夏中卫市海原县李俊中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．下列命题中正确的是（）

A．有一组邻边相等的四边形是菱形

B．有一个角是直角的平行四边形是矩形

C．对角线垂直的平行四边形是正方形

D．一组对边平行的四边形是平行四边形

【考点】命题与定理．

【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．

【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；

B、正确；

C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；

D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．

2．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8，另一个三角形的一边长是2，则另一个三角形的周长是（）

A．4.5 B．6

C．9 D．以上答案都有可能

【考点】相似三角形的性质．

【专题】分类讨论．

【分析】在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8，则周长是18，另一个三角形的一边长是2，边长是2的边与三边都有可能是对应边，因而应分三种情况进行讨论．

【解答】解：设另一个三角形的周长是x，

①当边长是2的边与边长是4的边是对应边时：得到18：x=4：2解得：x=9；

②当边长是2的边与边长是6的边是对应边时：18：x=6：x解得x=6；

③当边长是2的边与边长是8的边是对应边时：18：x=8：2解得：x=4.5．

故选D．

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．注意要分情况讨论．

3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）

A．45° B．55° C．60° D．75°

【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．

【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

又∵△ADE是等边三角形，

∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，

∴AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，

∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，

又∵∠BAC=45°，

∴∠BFC=45°+15°=60°．

故选：C．

【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．4．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，配方后得到的方程为（）

A．2=m+1 C．2=m2﹣1

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】把常数项﹣m移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．

【解答】解：把方程x2﹣2x﹣m=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=m，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=m+1，

配方得（x﹣1）2=m+1．

故选：B．

【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

5．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（）

A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4

【考点】一元二次方程的解．

【专题】计算题．

【分析】将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．

【解答】解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，

∴4+5a+a2=0，

∴（a+1）（a+4）=0，

解得a1=﹣1，a2=﹣4，

故选：B．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a 的方程即可．

6．某工厂搞技术革新，计划在两年内使成本下降51%，则平均每年下降百分率为（）

A．30% B．26.5% C．24.5% D．32%

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】应用题．

【分析】此题设出原来成本为a元，由数量关系原来成本×（1﹣每年平均下降的百分数）2=现在成本，列方程解答即可．

【解答】解：设原来成本为a元，平均下降的百分数是x，根据题意列方程得，

a（1﹣x）2=a﹣51%a，

解得x1=0.3，x2=﹣1.7（不合题意，舍去）．

答：每年平均下降的百分数是30%．

故选A．

【点评】此题考查利用一元二次方程解决实际问题的数量关系：原来成本×（1﹣每年平均下降的百分数）2=现在成本．

7．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）

A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4

【考点】利用频率估计概率；折线统计图．

【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．

【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项错误；

B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是： =；故B选项错误；

C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误；

D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故D选项正确．

故选：D．

【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．

8．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积（）cm2．

A．14 B．24.5 C．7 D．49

【考点】解直角三角形．

【分析】由于BC∥DF，那么△ACE也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积

的计算方法求出阴影部分的面积．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，AB=14cm，

∴AC=7cm．

∵∠ACB=∠F=90°，

∴BC∥DF，

∴∠AEC=∠ADF=45°，

∴AC=CE=7cm．

故S△ACE=×7×7=24.5（cm2）．

故选B．

【点评】本题考查了解直角三角形，发现△ACE是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为 4 ．

【考点】正方形的性质．

【分析】根据正方形的对角线等于边长的倍求出边长，再根据正方形的周长公式列式计算即可得解．

【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC=，

∴边长AB=÷=1，

∴正方形ABCD的周长=4×1=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了正方形的性质，比较简单，熟记正方形的对角线等于边长的倍是解题的关键．

10．已知方程2x2+3x﹣4=0的两根为x1，x2，那么x12+x22= ．

【考点】根与系数的关系．

【分析】由2x2+3x﹣4=0的两根为x1，x2，可推出x1+x2=，x1，x2==﹣2，然后通过

配方法对x12+x22进行变形得（x1+x2）2﹣2x1x2，最后代入求值即可．

【解答】解：∵2x2+3x﹣4=0的两根为x1，x2，

∴x1+x2=，x1，x2==﹣2，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2

=+4

=．

故答案为．

【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，配方法的应用，关键在于根据题意推

出x1+x2=，x1，x2==﹣2，

利用配方法正确的对x12+x22进行变形，认真的进行计算．

11．如图，若∠ACD=∠B，则△ACD ∽△ABC ，对应边的比例式为AC：AB=AD：AC ，∠ADC=∠ACB．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】由∠ACD=∠B，及公共角∠A即可判定△ACD∽△ABC，进而可得出后边的结论．

【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A为公共角，

∴△ACD∽△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，∠ADC=∠ACB．

故答案为：ACD，ABC，AC：AB=AD：AC，∠ACB．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．

12．方程3（m+1）x2﹣5mx+3m=2两根互为相反数，则m的值为0 ．

【考点】根与系数的关系；相反数．

【分析】方程3（m+1）x2﹣5mx+3m=2两根互为相反数，即两根的和是0．根据一元二次方程根与系数的关系，建立关于m的方程，求出m的值则可．

【解答】解：这里a=3（m+1），b=﹣5m，

由题意知，x1+x2===0，∴m=0，

故填0．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．

13．在△ABC中，∠C=90°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有 3 条．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个直角就可以．

【解答】解：如图，过点D作AB的垂线，或作AC的垂线，作BC的垂线共三条直线，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查三角形相似的判定．注意有两个角相等的三角形相似．

14．（x2+y2）（x2﹣1+y2）﹣12=0，则x2+y2的值是 4 ．

【考点】换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法．

【专题】换元法．

【分析】在解此题时可把x2+y2当成一个整体，用因式分解法求得方程的根，然后根据平方的非负性即可确定．

【解答】解：原式可变为（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0

因式分解得（x2+y2﹣4）（x2+y2+3）=0

∴（x2+y2）=4或﹣3．﹣3＜0不合题意舍去．

∴x2+y2=4．

【点评】此题主要是把（x2+y2）当成一个整体来进行求解．

15．在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率

是．

【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．

【专题】分类讨论．

【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=﹣x+5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：列表得：

1 2 3 4

1 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）

2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）

3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）

4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）

∵共有16种等可能的结果，数字x、y满足y=﹣x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），

∴数字x、y满足y=﹣x+5的概率为：．

故答案为：．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

16．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是对角线互相垂直．

【考点】矩形的判定；三角形中位线定理．

【分析】可连接AC、BD，利用三角形中位线定理及矩形的性质求解．

【解答】解：连接BD、AC；

∵H、G分别是AD、CD的中点，

∴HG是△DAC的中位线；

∴HG∥AC；

同理可证得EF∥AC，HE∥BD∥FG；

若四边形EHGF是矩形，则∠FEH=∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°；

∴DB⊥AC．

故四边形ABCD应具备的条件为对角线互相垂直．

【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形中位线定理的应用．

三、解答题（共22分）

17．解下列方程：

（1）3x2+8x﹣3=0；

（2）+=．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解分式方程．

【分析】（1）直接利用十字相乘法把方程左边进行因式分解得到（3x﹣1）（x+3）=0，再解两个一元一次方程即可；

（2）首先去分母得到7x﹣7+3x+3=6x，求出x的值，再进行验根．

【解答】解：（1）∵3x2+8x﹣3=0，

∴（3x﹣1）（x+3）=0，

∴3x﹣1=0或x+3=0，

∴x1=，x2=﹣3；

（2）∵+=，

∴+=，

∴7x﹣7+3x+3=6x，

∴4x=4，

∴x=1，

经检验x=1时原方程不成立，

所以此方程无解．

【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及解分式方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及注意解分式方程要验根，此题难度不大．

18．解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．

．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】分别解每一个不等式，根据口诀确定两不等式解集得公共部分即可．

【解答】解：解不等式得：x＞5，

解不等式1﹣3（x+1）≥6﹣x，得：x≤﹣4，

故不等式组无解，

将不等式解集表示在数轴上如下图所示：

．

【点评】本题主要考查解不等式组得能力，严格遵循解不等式的基本步骤是解不等式的基本素质．

19．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．

【考点】一元二次方程的解．

【专题】整体思想．

【分析】把x=m代入方程中得到关于m的一元二次方程，由方程分别表示出m2﹣m和m2﹣2，分别代入所求的式子中即可求出值．

【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，

∴m2﹣m﹣2=0，

∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，

∴原式=

=

=2×2=4．

【点评】此题考查学生理解一元二次方程解的意义，掌握整体代入的数学思想，是一道综合题．

20．已知：菱形ABCD的对角线AC=6m，周长是20m，求另一条对角线BD的长及菱形的面积．

【考点】菱形的性质．

【专题】数形结合．

【分析】根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知AB，AO 根据勾股定理即可求得BO的值，根据对角线长即可计算菱形ABCD的面积．

【解答】解：菱形周长为20，则AB=5，

菱形对角线互相垂直平分，

∴AO=3，

∴BO==4，

∴BD=2BO=8，

故菱形ABCD的面积为×6×8=24．

综上可得另一条对角线BD的长为8，菱形的面积为24．

【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，注意菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求BO的值是解题的关键．

21．求证：无论k取何值时，方程x2﹣（k+3）x+2k﹣1=0都有两个不相等的实数根．

【考点】根的判别式．

【分析】表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根．

【解答】证明：△=（k+3）2﹣4（2k﹣1）=k2+6k+9﹣8k+4=k2﹣2k+13=（k﹣1）2+12，

∵（k﹣1）2≥0，

∴（k﹣1）2+12＞0，

则无论k取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．

【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

22．如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC上有点P使△PAD和△PBC 相似，求PD的值．

【考点】相似三角形的判定．

【专题】计算题．

【分析】设PD为x，则PC=7﹣x，由于∠D=∠C，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等

的两个三角形相似，当=时，△DAP∽△CBP，即=；当=时，△DAP∽△CPB，

即=，然后分别解方程求出x即可．

【解答】解：设PD为x，则PC=7﹣x，

∵∠D=∠C，

∴当=时，△DAP∽△CBP，即=，解得x=；

当=时，△DAP∽△CPB，即=，解得x1=，x2=，

所以DP的长为或或．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．

23．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：

（1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有16 家．请将折线统计图补充完整；

（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率．

【考点】折线统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

【专题】图表型．

【分析】（1）根据3月份有4家，占25%，可求出某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有的家数，再求出1月份的家数，进而将折线统计图补充完整；

（2）设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业，根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙2家企业恰好被抽到的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：（1）根据统计图可知，3月份有4家，占25%，

所以某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有：4÷25%=16（家），

1月份有：16﹣2﹣4﹣3﹣2=5（家）．

折线统计图补充如下：

（2）设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业．画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，甲、乙2家企业恰好被抽到的有2种，

∴所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率为： =．

【点评】本题考查了折线统计图、扇形统计图和列表法与树状图法，解决本题的关键是从两种统计图中整理出解题的有关信息，在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，证出∠ABE=∠CDF，由ASA即可得出△ABE≌△CDF；

（2）由全等三角形的性质得出AE=CF，得出DE=BF，证明四边形EBFD是平行四边形，再由对角线互相垂直即可得出四边形EBFD是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠ADC，

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）解：四边形EBFD是菱形；理由如下：

由（1）得：△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∴DE=BF，

又∵DE∥BF，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵BD⊥EF，

∴四边形EBFD是菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

25．某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的市场调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出1辆．该4S店要想平均每周的销售利润为90万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？这时每周进多少量辆最为适宜？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】销售问题．

【分析】销售利润=一辆汽车的利润×销售数量，一辆汽车的利润=售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每辆的盈利×销售的辆数=90万元，即求出x 的值即可求出汽车定价，进而求出每周进汽车数量．

【解答】解：设每辆汽车降价x万元，根据题意得：

（25﹣x﹣15）（8+2x）=90，

解得x1=1，x2=5，

当x=1时，总成本为15×（8+2×1）=150（万元），

当x=5时，总成本为15×（8+2×5）=270（万元），

则每辆汽车的定价应为：25﹣1=24（万元），这时每周进150÷15=10量辆最为适宜．

答：每辆汽车的定价应为24万元，这时每周进10量辆最为适宜．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数=90万元是解决问题的关键．

26．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？

【考点】相似三角形的判定．

【专题】综合题；动点型．

【分析】此题要根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出分式方程求解．

【解答】解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）

∵∠C=∠C=90°，

∴当或时，两三角形相似．当时，，∴x=；（4分）

（2）当时，，∴x=．（5分）

所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）

【点评】本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．

600；bjy；caicl；HJJ；