高二文科1105班导数单元过关测试卷(含答案)

高二文科1105选修1-1第三章《导数》单元过关测试题 2013年元月3日

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

满足题目要求的. 1．0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．非充分非必要条件 2．设曲线1

1

x y x +=

-在点(32)，

处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A.2 B.

12 C.1

2

- D.2- 3．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是

A ．

B ．

C ．

D ． （ ）

4．函数)()0(1)6

sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπ

ω的最大值为3，则曲线f (x )的一条对称轴是（ ）

A.9

π

=

x B.6

π

=

x C.3

π

=

x D.2

π

=

x

5．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行

驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和．那么对于图中给定的01t t 和，

下列判断中一定正确的是 （ ） A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面

B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面

C. 在0t 时刻，两车的位置相同

D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面

6．函数b x b x a ax x f +-+-+=)3(48)1()(23的图象关于原点对称，则f (x ) （ ）

A.在[34,34-]上为增函数

B.在[34,34-]上非单调函数

C.在[),34+∞上为增函数，（]34,-∞-上为减函数

D.在（34,-∞-]为增函数，在[),34+∞上也为增函数

7．a 、b 为实数且b －a=2，若多项式函数f(x)在区间(a ，b)上的导数f ‘(x)满足f ′(x)＜0，

则一定成立的关系式是 （ ）

a

b a b a

o

x o x y b a

o x y o

x

y

b

A. f(a)＜f(b)

B. f(a+1)＞f(b －

21) C. f(a+1)＞f(b －1) D. f(a+1)＞f(b －2

3) 8．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如

图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 （ ）

A. 1个

B.2个

C.3个

D.4个 9. 若2

1()ln(2)2

f x x b x =-

++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范 围是 A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-

10 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有 （ ）

A (0)(2)2(1)f f f +<

B (0)(2)2(1)f f f +≤

C (0)(2)2(1)f f f +≥

D (0)(2)2(1)f f f +> 请将选择题你认为正确的答案填入下列表格内 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，

11．若函数2()1

x a

f x x +=+在1x =处取极值，则a =

12．若函数3

21()(1)53

f x x f x x '=

-++，则(1)f '＝___________ 13．已知二次函数0)0(),()(2>''++=f x f c bx ax x f 的导数为，对于任意实数x ，

有)

0()

1(,0)(f f x f '≥则

的最小值为___________. 15．

14.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则

1299a a a +++ 的值为

.

15.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ??

??+??

的前n 项和的公式是 .

16．x '

a

b

x

y

)

(f y =O

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（12分）已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．(I)求函数)(x f y =的解析式；(II)求函数)(x f y =的单调区间．

17．（12分）某厂生产某种产品x 件的总成本是()3

2120075

c x x =+万元，已知产品单价的平方与产品的件数x 成反比，生产100件这样的产品单价是50万元．(I)将总利润表示成x 的函数；

(II)产量定为多少时，总利润最大？

18（12分）已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程； （2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.

19．（13分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点．

（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23

[∈x 的最大值和最小值．

20．（13分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在2

3

x =-与1x =时都取得极值（1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围

21．(13分)设函数()()1ln 2++=x b x x f .（Ⅰ）若对定义域内的任意x ，都有()()1f x f ≥成立，求实数b 的值；（Ⅱ）若函数()x f 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；

（Ⅲ）若1-=b ，试证明不等式

3

3311312111n k f n

k +???+++

?

??∑=对于任意的*n N ∈都成立．.

选修1—1第三章《导数》单元过关测试题参

考答案及评分细则

一.选择题 1．B

()

32

1221

1,','|,2,21.1212x D x y y y a a x x x =+=

=+=-=--==----【解析选】

【说明】本小题主要考查导数的几何意义.

3．【解析】观察曲线上切线斜率的变化情况即可．选项A 中曲线上切线斜率由小变大． 选A

【说明】本小题主要考查导数导数的几何意义. 4．【解析】()cos()36

f x w wx w π

'=?+

?= 可知9

x π

=

为()y f x =一条对称轴 选A

【说明】本小题主要考查导数的运算.

5．【解析】速度曲线与时间轴围成的面积为位移．选A 【说明】本小题主要考查定积分在物理中的应用.

6．【解析】0)48(3)(,

483)(.0,1)()(23>-='?-=∴==?-=-x x f x x x f b a x f x f

34-x ∴)(x f 在（34,-∞-]为增函数，在[),34+∞上也为增函数选D

7．【解析】b b a a <-<+<2

1

1,又 在区间(a ，b )上 f ′(x )＜0,∴ f (x )在区间(a ，b )上是减函数, ∴ f (a +1)＞f (b －

2

1

) 选B 8．【解析】A 9．【解析】

222221()0

2

20,2()2,()11

x x b

x f x x x x b b x x g x x x g x b --+'>-=≤+--+≤≤+=+>-≤-当时，即于是令可得故 选C 【说明】本小题主要考查导数在函数单调性中的应用. 10．【解析】C

二.填空题11．【解析】22

23(),(1)0,3(1)4

x x a a

f x f a x +--''====+则有 填：3 【说明】本小题主要考查导数的运算.

12．【解析】2()2(1)1,

(1)12(1)12(1)3

f x x f f f f ''=-+''=-+'=

则， 填：2

3

【说明】本小题主要考查导数的运算.

13．解析】2040,2(1),()2,(0)0

(1)21112(0)22a b ac b ac

f a b c f x ax b f b f a b c a c a c ac

f b b ac ac

>-≤≤''=++=+=>++++==+≥+≥+='由题意知，且即则

填：2

【说明】本小题主要考查导数的运算以及基本不等式.

14．【解析】1

12399(1),1,

-1=(+1)(-1)0,1

lg lg ,

1

12399...lg lg lg ...lg

234100

123991lg ...lg 2

234100100

n x n n n

y n x k y n y n x n

y x x n n a x n a a a a =''

=+==+===

+==+++++=++++=????==-切线方程为令得填：2-

15．122n +- ()()/

112

22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，

令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以

21

n n

a n =+，则数列1n a n ??

??+??

的前n 项和()1

2122

212n

n n

S +-==--

三.解答题

16．（本小题满分12分）

【解析】（I ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f

.23)(2c bx x x f ++='

由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知

.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即 32623 3.1210

b c b c b c b c b c -+=-=-??∴==-??-+-+=-=??即解得

故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f …………………………(6分)

22()363

3(21)

28283223(12)(12)II f x x x x x x x x x '=--=--????-+=-- ??? ???????????=---+????

（）令()0f x '= 解得 .21,2121+=-=x x

故(

32()332,12f x x x x ?=--+-∞-?在上是增函数，在12,12-+????上是减函数，

在)

12,++∞??

上是增函数．…………………………………………………… (12分)

【说明】本题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识，以及考查运用数学知识分析问题和解决

问题的能力.

17．（本小题满分12分）【解析】（I ）设产品单价为z 万元，总利润为y 万元，

由题意知，2z 与y 成反比，

即2k

z x

=

当100x =时，50z = 于是有2

250,500100

k

k =

= 从而知22

500500

,z z x x

==

33()

50021200752

5001200,(6)

75y zx c x x x x x x x N *=-??=

-+ ???

=-+-∈??????则 分

x

(,12)-∞- 12-

(12,12)

-+

12+ (12,)++∞

()f x ' +

0 -

0 +

()f x

↗

极大值

↘

极小值

↗

（II ）根据(I)，()

5

522522502525x y x x x

??-????'=-

+=-有 令0y '=，得25x = x

[)125，

25

()25,+∞

y '

＋ 0 ＿ y

↗

极大值

↘

由上表知，当25x =时，y 有最大值．

故产量定为25件时，总利润最大．………………… (12分)

【说明】本题主要考查导数的实际应用问题，以及考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 18．解（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分

∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分 （2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-

令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表

x

(,0)-∞ 0

(0,1)

1

(1,)+∞

()g x ' +

- 0

+

()g x

极大

极小

当0,()x g x =有极大值3;1,()m x g x +=有极小值2m +. ………………………10分 由()g x 的简图知，当且仅当(0)0

,(1)0

g g >??

即30,3220m m m +>?-<<-?+

时，

函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.

所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.…………12分

19．（本小题满分13分）

【解析】（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得

22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--

∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=

∴2(5)0a e +=，解得5a =- ………………（6分） （II ）由

()(2)(1)0x f x x x e '=--=

得12x x ==或

∴2

)2(e f =是()f x 在]3,2

3

[∈x 的最小值； 2347)23(e f =，3)3(e f =

∵)2

3()3(,0)74(4147)23()3(232

33f f e e e e e f f >>-=-=-

∴()f x 在]3,23

[∈x 的最大值是3)3(e f =． ………………（13分）

20．解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++

由'2124

()0393

f a b -=

-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-

'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：

x

2

(,)

3

-∞-

23-

2

(,1)3

- 1

(1,)+∞

'()f x

+

- 0

+

()f x ↑

极大值 ↓

极小值

↑

所以函数()f x 的递增区间是2(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3

-；

（2）3

2

1()2,[1,2]2

f x x x x c x =-

-+∈-，当23x =-时，222()327f c -=

+ x

(,1)-∞

1 (1,2)

2 (2,)+∞

()f x ' +

0 -

0 +

()f x

↗

极大值

↘

极小值

↗

为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或

21．（本小题满分13分） 【解析】（I ）函数()f x 的定义域为(1,)x ∈-+∞

由题意知，(1)f 为()f x 的最小值, 即(1)f 为()f x 的极小值．

()21

b f x x x '=+

+ 而(1)0f '= 即20,411

b

b +

==-+得………………………………………(4分) （II ）222()1

x x b

f x x ++'=+

当(1,)x ∈-+∞时，()0f x '≥恒成立，则()f x 单调． 令2()22g x x x b =++

只要()0g x ≥恒成立，就有()0f x '≥恒成立． 于是，函数()g x 的判别式

480,12

b ?=-≤≥

得b

故1,2b ??∈+∞????

………………………………………………… (8分) （Ⅲ）当1b =-时，2()ln(1)f x x x =-+

若3()f x x <在(]0,1上恒成立（*），

则3

3111f k k k

????

<= ? ?????

于是

()31

111

n

n k k f n N k k

*==??<∈ ???∑

∑， 即原不等式得证． 下证命题（*），即证

32()ln(1)0h x x x x =-++>在(]0,1上恒成立． ()2322

31()321

321

1311

h x x x x x x x x x x x '=-+

++-+=

++-=

+ 1()0

()0,1()(0)01()0

x h x h x h x h =x h x ????'≤≤≥≥≤>当0时，在上单调递增，即当0<时,∵∴

*命题()证毕……………………………………… (13分)

【说明】本题主要考查导数的综合应用问题，着力考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.