2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.文) (2)

绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学(必修1+选修Ⅰ)

本试卷第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至9页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考生注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) S=4ΠR2

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径

P(A+B)=P(A)+P(B) S=4ΠR2

P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式

ΠR3

如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么V=4

3

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

P n(k)=C k n P k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)

一、选择题

(1)函数y

（A）｛x|x≤1｝(B) ｛x|x≥1｝

（C）｛x|x≥1或x≤0｝(D) ｛x|0≤x≤1｝

(2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是

(3)(1+

2

x )5的展开式中x 2

的系数 (A)10

(B)5 (C)

5

2 (D)1

(4)曲线y =x 3

－2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 (A)30°

(B)45°

(C)60°

(D)12°

(5)在△ABC 中，AB ＝c ,AC =b .若点D 满足BC =2DC ,则AD ＝ (A)

c b 3

132+ (B)

b c 3

2

35- (C)

c b 3

1

32- (D)

c b 3

2

31+ (6)y =(sin x －cos x )2

－1是

(A)最小正周期为2π的偶像函数

(B)最小正周期为2π的奇函数

(C)最小正周期为π的偶函数

(D)最小正周期为π的奇函数

(7)已知等比数列｛a n ｝满足a 1＋a 2＝3，a 2+ a 3＝6,则a 1＝ (A)64

(B)81

(C)128

(D)243

(8)若函数y ＝f (x )的图像与函数y =1n 1+x 的图像关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝ (A)2

2e

-x

(B) x

2e

(C) 1

2e

+x

(D) 2

2e

+x

(9)为得到函数y =cos(x +

3

π

)的图像，只需将函数y =sin x 的图像 (A)向左平移6π个长度单位 (B)向右平移6π

个长度单位

(C)向左平移65π 个长度单位 (D)向右平移65π

个长度单位

(10)若直线b

y

a x +＝1与图122=+y x 有公共点，则

(A)122≤+b a (B) 12

2≥+b a (C)11122≤+b a (D) 11122≥+b

a

(11)已知三棱柱ABC －111C B A 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则A 1B 与底面ABC 所成角的正弦值等于

(A)

3

1

(B)

3

2 (C)

3

3 (D)

3

2 (12)将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、第列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有 (A)6种 (B)12种 (C)24种 (D)48种

2008年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修1）

第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在．试题卷上作答无效

．．．．．．．．。

3.本卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

（注意：在试

．．题卷上作答无效

．．．．．．．）

（13）若x,y满足约束条件则z＝2x-y的最大值为.

（14）已知抛物线y=ax2-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.

（15）在△ABC中，∠A＝90°，tan B＝3

4

.若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的

离心率e＝.

（16）已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）

（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．）

设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a cos B＝3，b sin A＝4.

（Ⅰ）求边长a；

（Ⅱ）若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.

（18）（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．）

四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝

2，CD AB=AC.

(1)证明：AD⊥CE;

(2)设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小.

（19）（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．） 在数列｛n a ｝中，1a =1,a n+1=2a n +2n . (Ⅰ)设b n =

1

2

n

n a -.证明：数列｛b n ｝是等差数列； (Ⅱ)求数列｛a n ｝的前n 项和S n .

（20）（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止. 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率.

（21）（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知函数f (x)=x 3+a x 2+x+1,a ∈R. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）设函数f(x)在区间（-

21

,33

-）内是减函数，求α的取值范围.

（22）（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1,l 2,经过右焦点F 垂直于l 1

的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点.已知|OA |、|AB |、|OB |成等差数列，且BF 与FA 同向.

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

2008年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案

一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．A 8．A 9．C 10．D 11．B 12．B

二、13．9 14．

12 15．12 16三、17．解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：

3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B

B b A A b B b ==== 又通过cos 3a B =知：cos 0B >，

则3cos 5B =，4

sin 5

B =，

则5a =．

（2）由1

sin 2

S ac B =，得到5c =．

由222

cos 2a c b B ac

+-=，

解得：b =

最后10l =+

18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ， AB AC =， ∴AF BC ⊥，

又面ABC ⊥面BCDE ， ∴AF ⊥面BCDE ， ∴AF CE ⊥．

tan tan CED FDC ∠=∠=

∴90OED ODE ∠+∠=，

90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥， CE ∴⊥面ADF ，

CE AD ∴⊥．

（2）在面ACD 内过C 点做AD 的垂线，垂足为G ． CG AD ⊥，CE AD ⊥，

AD ∴⊥面CEG ， EG AD ∴⊥，

则CGE ∠即为所求二面角．

23AC CD CG AD =

=

，DG =，

3

EG =，

CE =

则222cos 210CG GE CE CGE CG GE +-∠==-

，

πarccos 10CGE ?∴∠=- ??

．

19．解：（1）122n n n a a +=+，

11

122n n

n n a a +-=+， 11n n b b +=+，

则n b 为等差数列，11b =，

n b n =，12n n a n -=．

（2）01211222(1)22n n n S n n --=++

+-+

12121222(1)22n n n S n n -=++

+-+

两式相减，得

01121222221n n n n n S n n -=---

=-+．

20．解：设1A 、2A 分别表示依方案甲需化验1次、2次。 B 表示依方案乙需化验3次；

A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。 依题意知2A 与

B 独立，且12A A A B =+

12144212123155531112

(),(),()555

A C C P A P A P

B

C A C C ======

12121127

()()()()()55525

P A P A A B P A P A P B =+=+=

+?= ∴ 8

()1()0.7225

P A P A =-=

= 21．解：（1）32()1f x x ax x =+++ 求导：2()321f x x ax '=++ 当2

3a

≤时，

0?≤，()0f x '≥

()f x 在R 上递增

当2

3

a >，()0f x '=求得两根为x

=

即()

f x 在?-∞ ??

递增，?

?递减，

?

+∞????

递增 （2）2

3313a ?---?

?-，且2

3a >

解得：7

4

a ≥

22．解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+

由勾股定理可得：2

2

2

()()m d m m d -+=+

得：

14d m =

，tan b AOF a ∠=，4

tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==

由倍角公式∴2

2

431b

a b a =??- ???，解得12b a =

则离心率

2e =

．

（2）过F 直线方程为()

a

y x c b =--

与双曲线方程22

221x y a b -=联立

将2a b =

，c =

代入，化简有22

152104x b +=

124x =-=

将数值代入，有

4=解得3b =

最后求得双曲线方程为：22

1

369x y -=．

点评：本次高考题目难度适中，第12道选择题是2007年北京市海淀区第二次模拟考试题，新东方在2008年寒假强化班教材的220页33题选用此题进行过详细讲解，在2008年春季冲刺班教材30页33题也选用此题，新东方的老师曾在多种场合下对此题做过多次讲解．第19道计算题也是一个非常典型的题型，在2007年12月31日，新东方在石家庄的讲座上曾经讲过这类问题的解法，在2008年的讲课中也多次提过此题型是重点．其他的题型也都很固定，没有出现偏题怪题，应该说，本次高考题的难度，区分度都非常恰当．