2.9 函数与方程—讲义

2.9 函数与方程

一．【目标要求】

①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性.

二．【基础知识】

1．函数零点的概念：

对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

2．函数零点与方程根的关系：

方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有点?函数)(x f y =有零点

3．函数零点的存在性定理：

如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有

0)()(

这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

注：若()0()0f x f x ><或恒成立，则没有零点。

三．【技巧平台】

1.对函数零点的理解及补充

（1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。 （2）变号零点与不变号零点

①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(

(),a b 内有零点的充分不必要条件。

（3）一般结论：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根。从图像上看，函数)

(x f y =的零点，就是它图像与x 轴交点的横坐标。

（4）更一般的结论：函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函

数()y f x =与()y g x =的图像交点的横坐标。

2.函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法

1) 代数法：函数)(x f y =的零点()0f x ?=的根

2) 几何法：有些不容易直接求出的函数)(x f y =的零点或方程0)(=x f 的根，可利用)(x f y = 的图像和性质找出零点。画 3) 注意二次函数的零点个数问题

0?>?)(x f y =有2个零点()0f x ?=有两个不等实根 0?=?)(x f y =有1个零点()0f x ?=有两个相等实根 0?

对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定

4) 对于函数()()()F x f x g x =-的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。

5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。 6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。

3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。

为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a 化为正数，

（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >???

?

0a

（2）2

0ax bx c ++>的解集为R 00

00

a a

b

c >==????

?

?<>??或 2

0a x b x

c ++<的解集为R 00

00a a b c >==?????

?<

或 （3）对于二次函数在区间[],a b 上的最值问题，参照第1.5（1）和1.5（2）节

3.构造函数解不等式恒成立的问题

（1）含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。 （2）()m f x >恒成立[]max ()m f x ?≥，()m f x <恒成立[]min ()m f x ?≤（注意等号是否成立） （3）()m f x >有解[]min ()m f x ?>，()m f x <有解[]max ()m f x ?≤ （4）()0f x ≥在区间[],a b 上恒成立[]min ()f x ?在[],a b 上大于0

四．【例题精讲】

考点一、函数的零点

例1.判断函数23

2()143

f x x x x =++-

在区间[]1,1-上零点的个数，

例2.若函数()f x ax b =+有一个零点为2，那么2()g x bx ax =-的零点是 。

例3.设3()f x x bx c =++在[]1,1-上的增函数，且11022f f ????

-

?< ? ?????

，则方程()0f x =在区间[]1,1-内有 个实数根。

【举一反三】

1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点.

（1）[]2()318,1,8f x x x x =--∈ （2）3()1,[1,2]f x x x x =--∈- （3）()[]2()log 2,1,3f x x x x =+-∈ （4）()1

(),0,1f x x x x

=-∈

考点二：二次函数的零点

例4.是否存在这样的实数a ，使函数2

()(32)1f x x a x a =+-+-在区间[]

1,3-上与x 轴恒有一

个零点，且只有一个零点，若存在，求出范围，若不存在，说明理由。

考点三、方程的根与函数的零点

例5.已知二次函数2

()f x ax bx c =++

（1）若(1)0a b c f >>=且，试证明()f x 必有两个零点；

（2）若对1212,x x R x x ∈<且,12()()f x f x ≠,方程121

()[()()]2

f x f x f x =+有两个不等实根，证明必有一个实根属于()12,x x

【举一反三】

2. 12x x 与分别是实系数方程20ax bx c ++=和2

0ax bx c -++=的一个根，且

1212,0,0x x x x ≠≠≠，求证：方程202

a

x bx c ++=的一个根介于12x x 与之间。

【练习】 1. 函数(1)ln ()3

x x

f x x -=

-的零点有 个。

2. ()f x 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间()0,6内解的个数是 。

3. 已知函数()45f x x x =--，则当方程()f x a =有三个根时，实数a 的取值范围是 。

4. 函数3

2

1()252

f x x x x λ=-

-+-在区间[]1,2-上有三个零点，求λ的取值范围。 5. 设01a a >≠且，函数2

()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的解集为 。

6. 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2b

x a

=-

对称，据此可推测，对任意的非零实数,,,,,a b c m n p 关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集不可能是下列表达式中的哪一个 。

①{}1,2 ②{}1,4 ③{}1,2,3,4 ④{}1,4,16,64

7. 若函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 。 8. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，若方程

()(0)f x m m =>在区间

[]

8,8-上有四个不同的根

1234

,,,x x x x ，则

1234x x x x +++=

。 9. 已知函数21()log ,,()()()03x

f x x a b c f a f b f c ??

=-<

，实数d 是函数()f x 的一个

零点，给出下列四个命题：①d a < ②a b > ③d c < ④d c > 其中可能成立的是 。

10. 设函数()||f x x x bx c =++，则下列命题中说法正确的是

①当0b >时，函数()f x 在R 上是单调增函数 ②当0b <时，函数()f x 在R 上有最小值 ③函数()f x 的图像关于点()0,c 对称 ④方程()0f x =可能有三个实数根

11.

在平面直角坐标系中，设直线2m y +和圆2

2

2

x y n +=相切，其中,m n N *

∈，

0||1m n <-≤，若函数1()x f x m n +=-的零点0(,1),x k k k Z ∈+∈，则k = 。

12.

方程2

10x -=

的解可视为函数y x =1y x

=

的图像交点的横坐

标，若方程4

40x ax +-=的各个实根12,,,,(4)k x x x k ???≤所对应的点4,(1,2,)i i

x i k x ??

=??? ??

?

均在直线y x =同侧，则实数a 的取值范围是 。 13. 方程2

240x

x +-=的实数解的个数是 。

14. 设定义域为R 的函数lg 1,1()0

1x x f x x ?-≠?=?

=??，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7 个 不同实数解的充要条件是 。

15. 若关于x

的方程10kx +有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 。 16. 若函数2

()lg 22f x x a x =-+在区间()1,2内有且公有一个零点，则实数a 取值范围是 。