数学建模实验报告

目录 .................................................................................................................................................. 1 一、Matlab 基本操作与微积分计算 . (4)

（一）实验目的 ....................................................................................................................... 5 （二）实验学时 .. (5)

1.1 求下列函数的导数. ................................................................................................... 5 1.2 求下列参数方程所确定的函数或隐函数的导数. (5)

1.3 设cos x y e x =,求(4)y . ............................................................................................ 6 1.4 求下列多元隐函数的偏导数

,z z

x y

????. (6)

1.5 证明函数u =,a b

为常数)满足拉普拉斯方程: (7)

1.6 计算下列积分. (7)

1.7求?+++t

x x x 142321, 并对结果求导.............................................................................. 8 1.8 计算二重积分 ............................................................................................................ 8 1.9 计算

y x dx y x L

-++)()(2222,其中L 为

0,11≤≤--=x x y 沿x 增大

方向。 (9)

二、 M 文件、函数作图与数据拟合 (9)

（一）实验目的 ....................................................................................................................... 9 （二）实验学时 . (10)

2.1画出x y sec =在],0[π之间的图象. (10)

2.2在同一坐标系中画出23,,y y x y y x y x ====的图象. (10)

2.3画出2

()(1)(1)f x x x =-++的图象,并根据图象特点指出函数()f x 的奇偶性......................................................................................................................................... 11 2.5已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) ...................... 12 2.6利用教材P11页表2数据（美国人口数据，单位：百万）拟合人口指数增长模型，并检验，分析所建立的数学模型(rt e x t x 0)(=). ................................................ 13 2.7利用教材P29页表2数据（一盘录像带的实测数据）拟合录像带计数器的时间与计数的数学模型，并检验，分析所得数学模型(bt at n +=2

). (13)

三、线性规划模型 (14)

（一）实验目的 (14)

（二）实验学时 (14)

3.1 用Matlab/Lingo求解教材4.1中两个线性规划问题。 (14)

3.2 某厂生产甲乙两种口味的饮料, (15)

3.3 某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件 (17)

3.4 某部门在今后5年内考虑给下列项目投资， (18)

四、非线性规划模型 (19)

（一）实验目的 (19)

（二）实验学时 (19)

4.1 炼油厂将A、B、C三种原料加工成甲乙丙三种汽油。 (19)

五、常微分方程与级数 (21)

（一）实验目的 (21)

（二）实验学时 (21)

5.1 求(1)-(4)题微分方程的通解 (21)

5.2 求解下列初值问题 (22)

5.3 给出函数

()sin2cos

x x

f x e x x

=+在点0

x=的7阶taylor展开式以及在x=1

处的5阶taylor展开式． (22)

5.4用软件求解5.1传染病模中的相关模型。 (23)

六、矩阵运算与层次分析模型 (24)

（一）实验目的 (24)

（二）实验课时 (24)

6.1 计算 (24)

6.2 设

310

121

342

=- ?

102

111

211

=- ?

,求满足关系32

A X B

-=的X． (25)

6.3 求下列矩阵的秩． (25)

6.4 求下列矩阵的行列式，如可逆，试用不同的方法求其逆矩阵． (26)

6.5设X

111

210

111

??=

113

432

125

??求X． (27)

6.6 解下列线性方程组． (27)

6.7 （选择旅游地）某人就景色（C1），费用（C2） (27)

6.8设一容积为V(单位：m3)的大湖受到某种物质的污染， (32)

七、插值与拟合 (33)

（一）实验目的 (33)

（二）实验课时 (33)

7.1在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度T和压力P下的导热系数K． (33)

7.2弹簧在力F的作用下伸长x，一定范围内服从胡克定律 (34)

八、概率统计、回归分析模型 (36)

（一）实验目的 (36)

（二）实验课时 (36)

8.1 某校60名学生的一次考试成绩如下: (36)

8.2 汽油价格 (38)

8.3根据牙膏销售量与销售差价、广告费用等数据（见下表）,建立数学模型 (39)

九、计算机模拟 (42)

（一）实验目的 (42)

（二）实验课时 (42)

9.1.当天生产的产品必须售出，否则就会变质 (42)

9.2.某报童以每份0.03元的价格买进报纸，以0.05元的价格出售． (43)

一、Matlab基本操作与微积分计算

（一）实验目的

1.学习matlab的求导命令与求导法.

2.通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法.

3.学习并掌握用matlab求不定积分、定积分、二重积分、曲线积分的方法.

4.学习matlab命令sum、symsum与int.

（二）实验学时

1.1 求下列函数的导数.

(1)

(2)

sin ln

y x x x

(3)

ln()

y x

（1）

>> syms x;

>> y=( sqrt(x)+1).*(1/sqrt(x)-1);

>> diff(y)

ans =

(1/x^(1/2) - 1)/(2*x^(1/2)) - (x^(1/2) + 1)/(2*x^(3/2)) （2）

>> syms x;

>> y=x.*sin(x).*log(x);

>> diff(y)

ans =

sin(x) + log(x)*sin(x) + x*cos(x)*log(x)

（3）

>> syms a x;

>> y=log(x+sqrt(x.^2+ a.^2));

>> diff(y)

ans =

(x/(a^2 + x^2)^(1/2) + 1)/(x + (a^2 + x^2)^(1/2)) 1.2 求下列参数方程所确定的函数或隐函数的导数.

(1)

x t

y t

?(2)

ln(1)

x t

y t arctgt

?=+

(3)

arctg

(4)

y x

x y

=（1）

>> syms t;

>> x=t.^4; >> y=4*t;

>> diff(y)/diff(x) ans =

1/t^3 （2）

>> syms t;

>> x=log(1+t.^2); >> y=t-atan(t); >> diff(y)/diff(x)

ans =

-((t^2 + 1)*(1/(t^2 + 1) - 1))/(2*t)

（3）

>> syms y x;

>> f(x)=atan(y/x)-log(sqrt(x^2+y^2)); >> jacobian(f(x),[x,y])

ans =

[ - x/(x^2 + y^2) - y/(x^2*(y^2/x^2 + 1)), 1/(x*(y^2/x^2 + 1)) - y/(x^2 + y^2)]

（4）

>> syms x y; >> f(x)=x^y-y^x;

>> jacobian(f(x),[x,y])

ans =

[ x^(y - 1)*y - y^x*log(y), x^y*log(x) - x*y^(x - 1)]

1.3 设cos x y e x =,求(4)y .

>> syms x;

>> y=exp(x)*cos(x); >> diff(y,x,4)

ans =

-4*exp(x)*cos(x)

1.4 求下列多元隐函数的偏导数

,z z x y

????. (1)222cos cos cos 1x y z ++= (2)z e xyz =

（1）

>> syms x y z;

>> f(x)=cos(x)^2+cos(y)^2+cos(z)^2-1; >> a=[diff(f(x),x),diff(f(x),y),diff(f(x),z)]; >> dz_dx=a(1)/a(3)

d z_dx =

(cos(x)*sin(x))/(cos(z)*sin(z))

>> dz_dy=a(2)/a(3)

dz_dy =

(cos(y)*sin(y))/(cos(z)*sin(z)) a =

[ -2*cos(x)*sin(x), -2*cos(y)*sin(y), -2*cos(z)*sin(z)] （2）

>> syms x y z;

>> f(x)=exp(z)-x*y*z;

>> a=[diff(f(x),x),diff(f(x),y),diff(f(x),z)]; >> dz_dx=a(1)/a(3)

dz_dx =

-(y*z)/(exp(z) - x*y)

>> dz_dy=a(2)/a(3)

dz_dy =

-(x*z)/(exp(z) - x*y)

1.5

证明函数u =,a b

为常数)满足拉普拉斯方程:

22220u u

x y ??+=?? （提示:对结果用simplify 化简）

syms x y a b

du_dx=diff(log(sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)),x,2); du_dy=diff(log(sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)),y,2); simplify(du_dx+du_dy)

ans = 0

1.6 计算下列积分.

(1)

（2）

++3

21)12(x x dx (3)

sin x

dx x

（1）

>> syms x;

>> syms a real;

>> y=sin(2*x)/(sqrt(1+sin(x).^2)); >> int(y,x) ans =

2*(sin(x)^2 + 1)^(1/2) （2）

>> syms x;

>> y=1/(2*(x^2)+1)*(sqrt(1+x^2)); >> int(y,0,(1/sqrt(3))) ans =

pi/4 + asinh(3^(1/2)/3)/2 - atan(((2*2^(1/2))/5 + 3^(1/2)/5)/(2^(1/2)/5 +

3^(1/2)/10))/2

（3）

>> syms x;

>> y=x/(sin(x))^2; >> int(y,pi/4,pi/3) ans =

pi/4 + log((2^(1/2)*3^(1/2))/2) - (pi*3^(1/2))/9

1.7求?+++t

x x x x 14

21, 并对结果求导

>> syms x; >> syms t real;

>> y=(1+x^2+x^3)/(x^2+x^4); >> a=int(y,1,t) a =

log(t^2 + 1)/2 - log(2)/2 - 1/t + 1

>> diff(a)

ans =

t/(t^2 + 1) + 1/t^2

1.8 计算二重积分

(1)

221

()x y x y dxdy

+≤+??

(2)

2222()x y x

x y dxdy

+≤+??

(3) ??

xydxdy

,其中D是由直线

y与抛物线6

y所围成的闭区域。

(4) ??

dxdy

sin

,其中D是由直线

和曲线

y3y

x=所围成闭区域。

（1）

>> syms x

>> syms y

>> int(int((x+y),y,-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2)),x,-1,1)

ans =

（2）

>> syms x;

>> syms y;

>> int(int((x^2+y^2),y,-sqrt(x-x^2),sqrt(x-x^2)),x,0,1)

ans =

(3*pi)/32

（3）

syms x y

int(int(x*y,y,-sqrt(2*x+6),sqrt(2*x+6)),x,-3,-1)

+int(int(x*y,y,x-1,sqrt(2*x+6)),x,-1,36

(4)

syms x y

int(int(sin(x/y),y,x^(1/3),x),x,1,2)+int(int(sin(x/y),y,x^(1/3),2),x,2,8)

(3*cos(1))/2 + sin(1)/2 - sin(4)/2

1.9 计算

(

)

,其中L为

1≤

≤

沿x增大方向。

syms x

int(2*x^2,0,1)+int(2*x^2-8*x+8,1,2)

4/3

二、M文件、函数作图与数据拟合

（一）实验目的

1学习matlab自定义函数.

2加深理解罗必塔法则、极值、最值、单调性.

3学习matlab函数绘图命令(二维、三维图形，散点图). 学会使用matlab帮助系统。

4掌握matlab 基本数据拟合命令，用数据拟合解决一些实际问题.

（二）实验学时

2.1画出x y sec =在],0[π之间的图象.

>> x=0:pi; >> y=sec(x);

>> ezplot('sec(x)')

2.2在同一坐标系中画出233,,,,y x y x y x y x y x =

===的图象.

x=1:0.01:100;y1=x.^(1/2);hold on; >> y3=x.^(1/3); >> y4=x.^3; >> y5=x; >> y2=x.^2;

>> plot(x,y1,'r',x,y2,'b',x,y3,'g',x,y4,'c',x,y5,'y')

2.3画出

()(1)(1)

f x x x

=-++的图象,并根据图象特点指出函数()

f x的奇偶性

x=-10:1:10;

>> y=(1-x).^(2/3)+(1+x).^(2/3);

>>plot(x,y);

2.4已知热敏电阻数据：

求6000C时的电阻R。(设R=at+b,a,b为待定系数)

解：

>> syms t;

x=[20.5,32.7,51.0,73.0,95.7];

y=[765,826,873,942,1032];

A=polyfit(x,y,1)

a=[t;1];

R=A*a

b=[600;1];

R_600=A*b

A =

3.3987 702.0968

R =

(1913320152740319*t)/562949953421312 + 3087854411876483/4398046511104

R_600 =

2.7413e+03

2.5已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)

求血药浓度随时间的变化规律c(t). (提示：t 与y=ln(c(t))呈线性关系)

解：

syms t;

format long;

x=[0.25,0.5,1,1.5,2,3,4,6,8];

y=[19.21,18.15,15.36,14.10,12.89,9.32,7.45,5.24,3.01];

f=log(y);

A=polyfit(x,f,1)

a=[t;1];

R=A*a;

c_t=exp(R)

>>A =

-0.234718197179491 2.994276199298933

c_t =

exp(3371255293851755/1125899906842624-(4228307141418513*t)/18014398509481984)

2.6利用教材P11页表2数据（美国人口数据，单位：百万）拟合人口指数增长模型，并检验，分析所建立的数学模型(rt e x t x 0)(=).

syms t;

format long; x=1790:10:2000;

y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,1

79.3,204.0,226.5,251.4,281.4];

f=log(y);

B=polyfit(x,f,4) a=[t^4;t^3;t^2;t;1]; R=B*a; x_t=B*a

z=polyval(B,x); plot(x,f,'k+',x,z,'r') err=norm(z-f,2) >>B =

1.0e+004 *

0.000000000000292 -0.000000002205327 0.000006241457716

-0.007836484321485 3.682281541453110

x_t =

(3527067531156703*t^4)/1208925819614629174706176 - (1627243798949389*t^3)/73786976294838206464 + (8994888525520685*t^2)/144115188075855872 - (689304450588591*t)/8796093022208 + 632611151808223/17179869184

err =

0.103749826591387

2.7利用教材P29页表2数据（一盘录像带的实测数据）拟合录像带计数器的时间与计数的

数学模型，并检验，分析所得数学模型(

bt at n +=2

三、线性规划模型

（一）实验目的

1、了解线性规划的基本内容;

2、掌握用数学软件(Matlab/Lingo)求解线性规划问题;

（二）实验学时

3.1 用Matlab/Lingo 求解教材

4.1中两个线性规划问题。（1）

121212112max 7264..50

1284803100,0

z x x s t x x x x x x x =++≤+≤≤≥

（2）

1234561526

152656153546

123456max 2416443233..

5034

4()2()224801000.80.75,,,,,0

z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--+++≤+++++≤+≤==≥

解： (1)

format long; c=[-72 -64];

A=[1 1;12 8;3 0]; b=[50;480;100]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0]; vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

Optimization terminated.

x =

19.999999996748322

30.000000003205681

fval =

-3.359999999971043e+003

(2)

c=[-24 -16 -44 -32 3 3];

A=[4 2 0 0 6 4;1 0 0 0 1 0];

b=[480;100];

Aeq=[0 0 1 0 -0.8 0;0 0 0 1 0 -0.75];

beq=[0;0];

vlb=[0;0;0;0;0;0];

vub=[ ];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

Optimization terminated.

x =

1.0e+002 *

0.000000000000067

2.399999999999335

0.000000000000014

0.000000000000157

0.000000000000017

0.000000000000210

fval =

-3.839999999999591e+003

3.2 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:

1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.

2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.

max

10+

s.t.

150

≥

≤

解：

format long;

c=[-10 -9];

A=[6 5;10 20;1 0];

b=[60;150;8];

Aeq=[];

beq=[];

vlb=[0;0];

vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) Optimization terminated.

x =

6.428571428446904

4.285714285701694

fval =

-1.028571428557843e+002

甲：6

乙：4

总获利：96

（1）

max

10+

s.t.

150

≥

≤

c=[-10 -9];

A=[6 5;10 20;1 0];

b=[61;150;8];

Aeq=[];

beq=[];

vlb=[0;0];

vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) Optimization terminated.

x =

6.714285714165383

4.142857142846659

fval =

-1.044285714272738e+002

甲：6

乙：4

总获利：96-0.8=95.2

（2)

max

11+

s.t.

150

≥

≤

c=[-11 -9];

A=[6 5;10 20;1 0]; b=[60;150;8]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0]; vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

Optimization terminated. x =

7.999999999630490 2.400000000370391

fval =

-1.095999999992689e+002 甲：8 乙：2

总获利：106

所以改变生产计划。

3.3 某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？

min

6543218121110913x x x x x x z +++++=

s.t

,,,,,500

6004009003.12.15.08001.14.0654321635241654321≥≥+≥+≥+≤++≤++x x x x x x x x x x x x x x x x x x

解：

c=[13 9 10 11 12 8];

A=[0.4 1.1 1 0 0 0;0 0 0 0.5 1.2 1.3;-1 0 0 -1 0 0;0 -1 0 0 -1 0;0 0 -1 0 0 -1]; b=[800;900;-400;-600;-500];

beq=[];

vlb=[0;0;0;0;0;0];

vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

Optimization terminated.

x =

0.0000

600.0000

0.0000

400.0000

0.0000

500.0000

fval =

1.3800e+004

分配车床的加工任务如下：

3.4 某部门在今后5年内考虑给下列项目投资，已知：

项目A：从第一年到第四年初投资，并于次年底回收本例115%；

项目B：从第三年初投资，到第五年底回收本利125%，投资额不超过4万元。

项目C：从第二年初投资，到第五年底回收本利140%，投资额不超过3万元。

项目D：五年内每年初购公债，于本年底归还本利，年利为6%。

该本部门现有资金10万元，问应如何确定每年各项目投资额，使到第五年底，部门拥有资金的总额最大。

解：

c=[-1.3225 -1.25 -1.4 -1.33822558];

A=[1 1 1 1;0 1 0 0;0 0 1 0];

b=[10;4;3];

Aeq=[];

beq=[];

vlb=[0;0;0;0];

vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

Optimization terminated.

x =

0.0000

3.0000

7.0000

fval =

-13.5676

四、非线性规划模型

（一）实验目的

1、直观了解非线性规划的基本内容。

2、掌握用数学软件求解优化问题。

（二）实验学时

4.1 炼油厂将A、B、C三种原料加工成甲乙丙三种汽油。一桶原油加工成汽油的费用为4元，每天至多能加工汽油14，000桶。原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由表4-15给出。问如何安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大？

一般来说，作广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入一元广告费，可使该汽油日销售量增加10桶，且每天最多投入广告费800元，问：如何安排生产和广告计划使利润最大？

一．问题重述

已知某炼油厂原材料和产品的价格，辛烷值，含量及数量的约束条件，要求在一定的加工费用下求出如何购进原材料，如何分配原材料才能使这个工厂的利润最大。

(1)由上表给出，如何安排生产计划，使利润最大？

(2)投入广告后，如何安排生产和广告计划使利润最大？

二．符号说明

f(x)：未投入广告前的最大利润；

F(x)：投入广告后的最大利润；

M：卖出汽油获得的总收入；

N：买入原油需要的总费用；

P：原油加工成汽油的总费用；

Q：投入的总的广告费；

A1、A2、A3：分别是由A类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的桶数；B1、B2、B3：分别是由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的桶数；C1、C2、C3：分别是由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的桶数；X1、X2、X3：分别是投入到甲、乙、丙三种汽油上的广告费用。

三．建立模型及模型的求解

（1）未投入广告前

卖出汽油获得的总收入：M=70（A1+B1+C1）+60（A2+B2+C2）+50（A3+B3+C3）。

买入原油需要的总费用：N=45（A1+A2+A3）+35（B1+B2+B3）+25（C1+C2+C3）。原油加工成汽油的总费用：P=4（A1+A2+A3+ B1+B2+B3+ C1+C2+C3）。

约束条件：

1. 由题知每天至多能加工汽油14，000桶，故：

A1+A2+A3+B1+B2+B3+ C1+C2+C3<=14000。

2. 规定每天每种原油最多买入5000桶，故：

A1+A2+A3<=5000；

B1+B2+B3<=5000；

C1+C2+C3<=5000。

3. 关于需求量分为两种情况：(1)产量大于需求量；(2)产量等于需求量。对于第一种情况，约束条件为：

A1+B1+C1>3000；

A2+B2+C2>2000；

A3+B3+C3>1000。

对于第二种情况，约束条件为：

A1+B1+C1=3000；

A2+B2+C2=2000；

A3+B3+C3=1000。

4. 生产出三种汽油对辛烷值有如下要求：

12A1+6B1+8C1>=10(A1+B1+C1)；

12A2+6B2+8C2>=8(A2+B2+C2)；

12A3+6B3+8C3>=10(A3+B3+C3)。

5. 生产出三种汽油对硫含量有如下要求：

0.5A1+2B1+3C1<=A1+B1+C1；

0.5A2+2B2+3C2<= A2+B2+C2；

0.5A3+2B3+3C3<= A3+B3+C3。

目标函数：未投入广告前的最大利润=卖出汽油获得的总收入-买入原油需要的总费用-原油加工成汽油的总费用;

即f(x)=M-N-P=70（A1+B1+C1）+60（A2+B2+C2）+50（A3+B3+C3）-45（A1+A2+A3）+35（B1+B2+B3）+25（C1+C2+C3）-4（A1+A2+A3+ B1+B2+B3+ C1+C2+C3）= 21A1+11A2+A3+ 31B1+21B2+11B3+ 41C1+31C2+21C3

☉用lingo对模型求解,结果如下：

(1)投入广告前产量大于需求量时的最大利润为：142500。

此时每天的生产计划为：由A类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为3000、1333、666；由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为：1500、667、333；不由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油。

(2)投入广告前产量等于需求量时的最大利润为：110000。

此时每天的生产计划为：由A类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为2400、1600、800；不由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油；由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为600、400、200。

（2）投入广告后

投入的总的广告费：Q=X1+X2+X3。

此时约束条件3发生改变：

产量大于需求量时的约束条件为：

A1+B1+C1>3000+10X1；

A2+B2+C2>2000+10X2；

A3+B3+C3>1000+10X3。

产量等于需求量时的约束条件为：

A1+B1+C1=3000+10X1；

A2+B2+C2=2000+10X2；

A3+B3+C3=1000+10X3。

目标函数：投入广告后的最大利润=卖出汽油获得的总收入-买入原油需要的总费用-原油加工成汽油的总费用-投入的总的广告费;

即F(x)=M-N-P-Q=70（A1+B1+C1）+60（A2+B2+C2）+50（A3+B3+C3）-45（A1+A2+A3）+35（B1+B2+B3）+25（C1+C2+C3）-4（A1+A2+A3+ B1+B2+B3+ C1+C2+C3）