《平面与平面的位置关系》练习

《平面与平面的位置关系》练习

姓名__________ 班级__________ 学号__________

一、选择题：

1、下列命题中正确的是（）

A、垂直于同一平面的两平面平行

B、垂直于同一直线的两平面平行

C、与一直线成等角的两平面平行

D、平行于同一直线的两平面平行

2、两二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的平面（）

A、相等

B、互补

C、相等或互补

D、不确定

3、正四面体相邻两面所成二面角为α，则有（）

A、cosα=1/3

B、sinα=1/3

C、cosα= 3 /3

D、sinα= 3 /3

4、若有平面α与β，且α∩β= l, α⊥β，P∈α，P?l，则下列命题中的假命题为（）

A.过点P且垂直于α的直线平行于β

B.过点P且垂直于l的平面垂直于β

C.过点P且垂直于β的直线在α内

D.过点P且垂直于l的直线在α内

5、若P是直二面角α—CD—β的棱上一点PA、PB分别在α、β内，且∠APD=45?，∠BPD=45?，则∠APB的大小是（）

A、45?

B、60?

C、120?

D、不能确定

6、一长为a的线段夹在互相垂直的两平面间，它和这两平面所成角分别为30?和45?，由线段端点作两平面交线的垂线，则垂足间的距离为（）A、a/2 B、a/3 C、 2 a/2 D、 2 a/3

二、填空题：

1、夹在两平面间的三条平行线段相等，则这两平面的位置关系是_______

2、已知α//β,A、C∈α,B、D∈β，且AB?CD=S，若AS=8，BS=9，CD=34，则CS=___________

3、以正方形ABCD的对角线BD为棱折成直二面角，连结AC，则二面角A—CD—B的大小为________

4、?ABC中∠ACB=90?，PA⊥平面ABC，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC与平面PAC，平面ABC所成的二角的大小分别是______

三、解答题：

1、已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G（如图7-28），将此三角形沿DE折成二面角A′—DE—B。

（1）求证：平面A′GF⊥平面BCED；

（2）当二面角A′—DE—B为多大时，异面直线A′E与BD互相垂直？证明你的结论。

2、如图7-13，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点，

（1）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；

（2）求证：MN⊥平面PCD；

（3）当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围。

《平面与平面的位置关系》练习答案

一、选择题：

二、填空题：

三、解答题：

1、（1）∵△ABC 是正三角形，AF 是BC 边的中线，

∴AF ⊥BC 。

又D 、E 分别是AB 、AC 的中点，

∴DE ∥21

BC 。

∴AF ⊥DE ，又AF ∩DE=G ，

∴A ′G ⊥DE ，GF ⊥DE ，

∴DE ⊥平面A ′FG ，

又DE 平面BCED ，

∴平面A ′FG ⊥平面BCED 。

（2）∵A ′G ⊥DE ，GF ⊥DE ，

∴∠A ′GF 是二面角A ′—DE —B 的平面角。

∵平面A ′GF ∩平面BCED=AF ，

作A ′H ⊥AG 于H ，

∴A ′H ⊥平面BCED 。

假设A ′E ⊥BD ，连EH 并延长AD 于Q ，

则EQ ⊥AD 。

∵AG ⊥DE ，

∴H 是正三角形ADE 的重心，也是中心。

∵AD=DE=AE=2a

，

∴A ′G=AG=43

a,HG=31AG=123

a 。

在Rt △A ′HG 中，cos ∠A ′GH=

G A HG '=31

.

∵∠A ′GF =π-∠A ′GH,

∴cos ∠A ′GF= -31

，

∴∠A ′GF=arcos(-

31

)， 即当∠A ′GF=arcos(-31

)时，A ′E ⊥BD 。

2、解 （1）PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴PD ⊥CD 。

故∠PDA 是平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角。

在Rt △PAD 中，PA ⊥AD ，PA=AD ，∴∠PDA=45°。

（2）如图7-14，取PD 中点E ，连结AE ，EN ，又M ，N 分别是AB ，PC 的中点，

∴EN ∥21CD ∥21

AB ∴AMNE 是平行四边形

∴MN ∥AE 。

在等腰Rt △PAD 中，AE 是斜边的中线。

∴AE ⊥PD 。

又CD ⊥AD ，CD ⊥PD ∴CD ⊥平面PAD ，

∴CD ⊥AE ，

又PD ∩CD=D ，∴AE ⊥平面PCD 。

∴MN ⊥平面PCD 。

（3）∵AD ∥BC ，

所以∠PCB 为异面直线PC ，AD 所成的角。

由三垂线定理知PB ⊥BC ，设AB=x(x>0)。

∴tan ∠PCB=

a x a 22+=2)(1a x +。 又∵a x

∈（0，∞），∴tan ∠PCB ∈（1，+∞）。

又∠PCB 为锐角，∴∠PCB ∈（4π

，2π

），

即异面直线PC ，AD 所成的角的范围为（4π

，2π

）。