圆柱圆锥+解决问题的策略

圆柱与圆锥

一、圆柱

1.圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。

圆柱也可以由长方形卷曲而得到。（两种方式：1.以长方形的长为底面周长，宽为高;2.以长方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。）

2．圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的。

3. 圆柱的切割：a.横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2πR2

b.竖切（过直径）：切面是长方形（如果h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱

的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4Rh

4. 圆柱的侧面展开图：a 沿着高展开,展开图形是长方形，如果h=2πR，展开图形为正方形。

b. 不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形。

c.无论如何展开都得不到梯形

5：圆柱的相关计算公式：

a.底面积：S底=πR2

b.底面周长：C=πd=2πR

c.侧面积：S侧=2πRh

d.表面积：S=2S底+S侧 =2πR2+2πRh e 体积： V=πR2 h

考试常见题型：

a 已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长

b已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积

c已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积

d已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，

e已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积

以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。

二．圆锥

1. 圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。

圆锥也可以由扇形卷曲而得到。

2．圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高

3.圆柱的切割： a.横切：切面是圆

b.竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，

表面积增加两个等腰三角形的面积，即S增=2Rh

4：圆锥的相关计算公式

a.底面积：S底=πR2

b.底面周长：C=πd=2πR c 体积： V=πR2 h/3

考试常见题型：

a 已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长

b已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积

c已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积

以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。

三、圆柱和圆锥的关系

1.圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。

2.圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高时圆柱的3倍。

3.圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积（注意：是底面积而不是底面半径）是圆柱的3倍。

4.圆柱与圆锥等底等高，体积相差2/3SH。

题型总结

1、直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积还是底面积以及体积

半径变化导致底面周长，侧面积，底面积，体积的变化。

两个圆柱（或两个圆锥）半径，底面积，底面周长，侧面积，表面积，体积之比。

2、圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题（正方体，长方体与圆柱圆锥之间）

3、横截面的问题

4、浸水体积问题（水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度）

容积是圆柱或长方体，正方体。

5、等体积转换问题：一圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的问题，注意不要乘以1/3.

切割、拼接表面积增加、减少问题。

例：一个圆柱高15分米，底面积是3.14平方分米，把它截成两个同样的小圆柱后，表面积比原来增加了（）平方分米。

1、沿直径切，增加的是（长是圆柱的高，宽是圆柱的直径）这样的长方形。

例：一个圆柱沿底面的一条直径纵切后，可以得到一个边长6厘米的正方形截面，这个圆柱的体积是（）

2、切的次数变化，切一次增加两个面

例：一个长是120厘米的圆柱，把它截成9个小圆柱所得的表面积总和，比截成6个小圆柱所得的表面积总和多180平方厘米，原来的圆柱的体积是多少？

3、扩展到正方体、长方体。

例1：把一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积至少增加( )平方厘米，至多增加( )平方厘米。

例2：一个长2米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加2.4平方分米，这根钢材原来的体积是( )

2、高增加减少，表面积增加减少问题。

例：有一个圆柱体，如果把高增加2厘米后，表面积增加了50.24平方厘米，原圆柱体的底面积是（）解析：根据题目条件可先求出底面周长，然后再求半径，最后可以求出底面积。

变形题目：一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的体积是（）

3、把一个直径是2分米的圆柱体的底面分成许多相等的扇形，然后沿直径把圆柱切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面比原来圆柱体表面积增加7平方分米，这个长方体的体积是（）立方分米。

4、实际问题求表面积

例：一根2米长的通风管，横截面是直径为2分米的圆，制作这个通风管至少需要铁皮多少平方分米？注：没有底面

归纳：无底面：通风管、烟囱、教学楼里的支撑柱、出水管有一个底面：鱼缸、厨师帽

提高题：一个钢管，长30厘米，内直径8厘米，外直径10厘米，求它的表面积。

5、难点题：表面积最大，做一个圆柱省料问题

例1、用一个长是8厘米，宽是6厘米，高是4厘米的长方体做一个圆柱体，这个圆柱体的侧面积最大是多少？如果让圆柱的表面积最大，那么最大是多少？

例2、用宽4米，长8.28米的厚铁皮做一个带盖的油桶，要求尽量少浪费材料又要把油桶做大些并把油桶涂上漆，计算油桶油漆

圆柱、圆锥的体积

1、比例关系

例：一个圆柱体和一个圆锥体的底面半径相等，它们的高的比是5：6，它们的体积比是（）

2、圆柱、圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；

圆柱、圆锥等体积等高时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍；

圆柱、圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的3倍。

例：1、一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱和圆锥的体积相差6立方厘米，圆柱的体积是（）立方厘米；圆锥的体积是（）立方厘米。

2、一个圆柱形容器与一个圆锥形的容器底面积相等，将圆锥形容器装满水后全部倒入空圆柱形容器内，这时水深6厘米，圆锥形容器的高是（）厘米。

等体积变换

例：一个底面半径8厘米，高20厘米的圆柱形铁块，现在要把它铸成一个底面与圆柱相同的圆锥。这个圆锥的高是（）厘米

4、上升（下降）的水的体积=浸没物体的体积

例：在一个圆柱体容器中，放入一个半径是10cm的圆钢，若把它全部浸没在水里，水面就上升0.8cm，若让它露出水面3cm，水面就下降0.3cm，求这段圆钢的体积。

解决问题的策略

1、有些应用题涉及两三种物品的数量计算，解答这种应用题，可根据它们的组合关系，用一种物品替换另外的物品，使数量关系单一化，这样的思考方法，通常叫做替换法（也叫代替法）。

2、假设法就是依据题目中的已知条件或结论作出某种设想，然后按已知条件进行推算，再根据数量上的矛盾作出适当的调整，得出正确答案。

3、一共有几种并列的情况可能发生，其中一种发生的可能性就是几分之一。

4、在有几种不同的数量组成的一种整体中，其中的一种发生的可能性是这种情况的数量占总数量的几分之几。

例1鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只。问鸡与兔各有多少只？ 假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100 = 200（只），这时兔的脚是0，鸡脚比兔脚多200只。而实际上鸡脚比兔脚多80只。因此鸡脚与兔脚的差比已知多了200 – 80 = 120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡，每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只，那么，鸡脚与兔脚的差数增加2 + 4 = 6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6 = 20（只），有鸡100–20 = 80（只）。

例2刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？（1）假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10 = 60（人）。 （2）假设后的总人数比实际人数多了60 - （41 + 1）= 18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。 （3）一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2 = 9（条）小船当成大船。 小船： [ 6×10 - （41 + 1）]÷（6 - 4）= 18÷2= 9（条）

例3甲、乙、丙三个工人共生产110个零件，甲生产的零件数是乙的2倍，丙比乙多生产10个，三个工人各生产零件多少个？ 要求三个工人各生产多少个零件，先要弄清楚三人生产零件数之间的关系。根据“甲生产的零件数是乙的2倍”，可用“乙生产的个数×2”代替甲；根据“丙比乙多生产10个” ，可用“乙生产的个数 + 10”代替丙。这样“三个工人共生产110个”就等于“乙生产的个数×2 +乙生产的个数 +（乙生产的个数 + 10）”。于是可以求出乙生产了多少个，然后再求其余两人生产的个数。乙生产的个数：（110 - 10）÷（2 + 1 + 1）= 25（个）甲生产的个数：25 × 2 = 50（个）丙生产的个数：25 + 10 = 35（个） 例4小红和小林正在玩游戏，用抛硬币的方法决定谁先玩，这种方法公平吗？为什么？ 要看出现各种情况的可能性，如果可能性相同，那么这种方法就公平。

抛硬币落下来的结果可能正面朝上，也有可能反面朝上。正面朝上和反面朝上的可能性各占

2

1

，所以这个游戏是公平的。

例5一个口袋里装了4支红铅笔、6支蓝铅笔，从这个口袋里任意摸出一支铅笔，摸到红铅笔的可能性是几分之几？摸到红铅笔的可能性 = 红铅笔的支数 ÷ 铅笔的总支数，要先求出铅笔的总支数4÷（6 + 4） =

5

2 例6有一次游戏，小华和小明拿出1、2、3、4的卡片各2张，每人每次从中任取2张，和是偶数算小华胜，和是奇数算小明胜，小华获胜的可能性是几分之几？小明呢？

算出两数和的所有可能性，看看里面偶数有多少个，奇数有多少个，分别算出各占几分之几。

用列表的方法算出一共可以出现的和： 第1次 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 第2次 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 和

2

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3

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例7粮店有大米20袋，面粉50袋，共重2250千克，已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，那么一袋大米重多少千克？

可以根据 “1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等”，设法把50袋面粉的重量用大米的重量替换（50÷2 = 25，50袋面粉的重量相当于25袋大米的重量），这样本题就只剩下大米一种数量，可以顺利求出1袋大米的重量了。2250÷（20 + 50÷2）= 50（千克）

例8抛10000次硬币，前9999次中有5000次正面朝上，4999次反面朝下，那么第10000次 （ ）。

①反面向上的可能性大一些 ②一定是反面向上 ③正面向上和反面向上的可能性各占

2

1 对于这一题而言，10000次是一个具有欺骗性的条件。对于每一次抛硬币的可能性，不管它是第几次，正面向上和反面向上的可能性各占

2

1。