四川省成都市高新区2015届高三9月月考数学(理)试题 Word版含答案

年高2015届成都高新区学月统一检测

数学（理）

（考试时间：9月4日下午2：00—4：00 总分：150分）

第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）

10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中,只

,R i 是虚数单位，若2ni +与m i -互为共轭复数，则

2

m ni +=（） i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ {12},{|14},x x B x x -<=≤≤则=B A

2x 项的系数为

q 的等比数列，则“{}n a 为递增数列”是“1>q ”的 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3sin 2x 的图象向左平移

2

π

个单位长度，所得图象对应的函数 ,]44ππ上单调递减 (B) 在区间[,]44ππ

-上单调递增

,]22ππ上单调递减 (D) 在区间[,]22

ππ

-上单调递增

x 的值为1，则输出的n 的值为

(B) 8π- (C) 82π

-

(D)84π-

8.已知222,0()1

,0

x tx t x f x x t x x ?-+≤?

=?++>??

，若)0(f 是)(x f 的最小值，则t 的取值范围为 (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2]

9. 为了研究某药物的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为

（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）18

10. 当[2,1]x ∈-时，不等式3

2

43mx x x ≥--恒成立，则实数m 的取值范围是 (A) 9[6,]8

-- (B) [6,2]-- (C) [5,3]-- (D)[4,3]--

年高2015届成都高新区学月统一检测

数学（理）

（考试时间：9月4日下午2：00—4：00 总分：150分）

第Ⅱ卷（非选择题，共 100分）

5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

100的样本进行调查.已知一、二、三、四班的学生人：5：6，则应从一班学生中抽取____ ___名学生.

}

{

n

a中，5

,1

4

2

=

=a

a,则}

{

n

a的前5项和

5

S= .

60,4,

A b a

=?==则ABC

?的面积等于_______ __.

10人参加演讲比赛，每班至少1人，共有种不同的选法.

)1,0(到实数集R的映射过程：区间()

0,1中的实数m对应数上的1；将线段AB围成一个圆，使两端点B

A,恰好重合，如图2；再将这个

y轴上，点A的坐标为()

0,1，如图3.图3中与x轴交于点()

,0

N n，则m的象就是n，记作()

f m n

=.

下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)

=的解是x=

1

2

；②

1

1

4

f

??

=

?

??

；

④()

f x在定义域上单调递增；

1

,0

2

??

?

??

对称．

6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

12分）已知函数()2

cos sin

34

f x x x x

π

??

=?++

?

??

，x R

∈.

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ??

-????

上的最大值和最小值.

17．（本题满分12分）某中学社团部志愿者协会共有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自动漫社，其余7名同学来自摄影社、话剧社等其他互不相同的七个社团. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区参加志愿活动（每位同学被选到的可能性相同）.

（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同社团的概率；

（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.

分）

义在[1,1]- 上的奇函数，当[1,0]x ?时，函数解析式为

)b R .

()f x 在[0,1]上的解析式； [0,1]上的最值． 12分）

P A B C D -中，PA ^底面A B C D ，AD AB ^， //AB DC ，

2=，1AB =，点E 为棱PC 的中点.

DC ^；

PC 上一点，满足BF AC ^， P -的余弦值.

20．（本小题满分13分）

已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）令n b =,4)1(1

1

+--n n n a a n

求数列}{n b 的前n 项和n T 。

21.（本小题满分14分）

已知函数()x

f x e kx =-（k 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的

切线斜率为1-.

（Ⅰ）求k 的值及函数()x f 的极值； （Ⅱ）证明：当0>x 时，x

e x <2

；

（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有x

ce x <2

.

2014年高2015届成都高新区学月统一检测

数学（理）标准答案与评分细则

一、选择题：1-5：DAADA 6-10 BBDCB 部分解答：

7. 解析：选B 。由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2， ∴几何体的体积V=23

﹣2××π×12

×2=8﹣π． 8.解析：选D 。 解法一：排除法。

当a=0时，结论成立，排除C ；

当a=-1时，f(0)不是最小值，排除A 、B ，选D 。 解法二：直接法。

由于当0x >时，1

()f x x a x

=+

+在1x =时取得最小值为2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-递减，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，所以22,02a a a ≤+∴≤≤，

选D 。

10. 解析：选B 。

当x=0时，不等式ax 3﹣x 2

+4x+3≥0对任意a ∈R 恒成立；

当0＜x≤1时，ax 3﹣x 2

+4x+3≥0可化为a≥

，

令f （x ）=，则f′（x ）==﹣（*），

当0＜x≤1时，f′（x ）＞0，f （x ）在（0，1]上单调递增，

f （x ）max =f （1）=﹣6，∴a≥﹣6； 当﹣2≤x＜0时，ax 3

﹣x 2

+4x+3≥0可化为a≤

，

由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当﹣1＜x ＜0时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增，

f （x ）min =f （﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；

综上所述，实数a 的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a 的取值范围是[﹣6，﹣2]．

二、填空题：11. 20 12. 15 13.①④⑤ 部分解答：

14.解析：84 。共分三类：

第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 1

7种；

第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 2

7种； 第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 3

7种， 故共有C 1

7＋A 2

7＋C 3

7＝84(种)． 15. 解析：

①0)(=x f 则2

1=x ，正确；

②当4

1=m 时，∠ACM=2

π,此时1-=n 故1)4

1(-=f ，不对；

③)(x f 的定义域为)1,0(不关于原点对称，是非奇非偶函数；

④显然随着m 的增大,n 也增大;所以()f x 在定义域上单调递增 ，正确； ⑤ 又整个过程是对称的,所以正确。 三、解答题：

16.解：（Ⅰ）由已知，有

()21cos sin 2f x x x x x 骣

÷?÷=诅+-+

÷?÷?桫

21

sin cos 224

x x x =

?+分

)1sin 21cos24x x =

-++

1

sin 24

x x =

-1sin 223x p 骣÷?=-÷?

÷

?桫. ....... ....... ....... ....... 4分 所以，()f x 的最小正周期22

T p

p =

=. ..................................6分 （Ⅱ）因为()f x 在区间,412p p

轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌

上是增函数. ...8分

根据图像的对称性知其最小与最大值分别为：1

122f p 骣÷?-

=-÷?÷?桫，144

f p 骣÷?=÷?÷?桫. 所以，函数()f x 在闭区间,44

p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为1

2-. ..........12分

17．解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自互不相同的社团”为事件A ，则

()12

03

3737310

4960

C C C C P A C ? =

=

. 所以，选出的3名同学来自互不相同社团的概率为

49

60

. ..................... 6分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.()346

3

10

k k C C P x k C -×==()0,1,2,3k =. 所以，随机变量X 的分布列是

.................................. 10分 随机变量X 的数学期望()1131

6

1236

210

30

5

0E X ?

=+??

. .........12分 18.解：(Ⅰ)∵f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，且f (x )在x ＝0处有意义，

∴f (0)＝0，即f (0)＝＝1－b ＝0.

∴b ＝1. ............. 3分 设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]．

∴f (－x )＝14－x －12

－x ＝4x －2x

.

又∵f (－x )＝－f (x )

∴－f (x )＝4x －2x

.

∴f (x )＝2x －4x

.

所以，()f x 在[0,1] [上的解析式为f (x )＝2x －4x

.................... 6分

(Ⅱ)当x ∈[0,1]，f (x )＝2x －4x ＝2x －(2x )2

，

∴设t ＝2x (t >0)，则f (t )＝t －t 2

. ∵x ∈[0,1]，∴t ∈[1,2]．

当t ＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.

当t=0时，取最小值为-2.

所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2. .................... 12分 19.解:

解法一：坐标法。

依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），.........................2分 可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P .由E 为棱PC

的中点，得()1,1,1E .

（Ⅰ）向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ?. 所

以，

BE DC ^. ................................................5分

（Ⅱ）向量()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =. 由点F 在棱PC 上，设CF CP l =，01l

＃.

故()12,22,2BF BC CF BC CP l l l l =+=+=--. 由BF AC ^，得0BF AC

?，

因此，()()2122220l l -+-=，解得3

4

l =. ...........................7分 即113,,222BF 骣÷

?=-÷?÷

?

桫. 设()1,,n x y z =为平面FAB 的法向量，则110,

0,n AB n BF

ì???í????即0,1130.2

22x x y z ì=??

?í?-++=??? 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量. ..................9分 取平面ABP 的法向量()20,1,0n =，则

121211

cos ,10

10

n n n n n n ×=

=

=-

×. 易知，二面角F AB P --是锐角，所以其余弦值为

10

. ................12分 解法二：几何法。

（Ⅰ）如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM .

由于,E M 分别为,PC PD 的中点， 故//EM DC ，且1

2

EM DC =

，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM .

因为PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而CD DA ^，从

而CD ^平面PAD ，因为AM ì平面PAD ，于是CD AM ^，又//BE AM ，所以

BE CD ^. ....................................................5分

（Ⅱ）如图，在PAC D 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H . 因为PA ^底面ABCD ，故FH ^底面ABCD ，

从而FH AC ^.又BF AC ^，得AC ^平面FHB ，因此AC BH ^. 在底面ABCD 内，可得3CH HA =，

3CF FP =.在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP =.

由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面. 由AB PA ^，AB AD ^，得AB ^平面PAD ，故AB AG ^.

所以PAG D为二面角F AB P --的平面角. ..........................9分

在PAG D 中，2PA =，142

PG PD =

=

，45APG ?，

由余弦定理可得2

AG =

，

在三角形PAG 中，由余弦定理得os 0

c 1PAG

?.

所以，二面角F AB P --............................12分 20.解：（Ⅰ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===

4122421,,S S S S S S =∴成等比

解得12,11-=∴=n a a n ...................................... 5分 （Ⅱ）)1

21

121()1(4)

1(111

++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ........................7分

11111

(1)()()33557

1111()()23212121n n T n n n n =+-+++-

++-+---

+当为偶数时，

1

221211+=+-

=∴n n

n T n .......................10分 11111

(1)()()33557

1111()()23212121n n T n n n n =+-+++-

-+++---

+当为奇数时，

1

22

21211++=++

=∴n n n T n ???????+++=∴为奇数为偶数n n n n n n

T n ,1

222,1

22 ................... 13分

21.解:（Ⅰ）由()x

f x e kx =-，得'()x

f x e k =-.

又'(0)11f k =-=-,得2k =. ............................ 2分 所以()2,'()2x

x

f x e x f x e =-=-.

令'()0f x =,得ln 2x =.当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减;当ln 2x >时,

'()0,()f x f x >单调递增. 所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为

ln2(ln 2)2ln 22ln 40,f e =-=->()f x 无极大值. ......... 5分

（Ⅱ）令2()x g x e x =-,则'()2x

g x e x =-. 由（I ）得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>, 故()g x 在R 上单调递增,又(0)10g =>,

因此,当0x >时, ()(0)0g x g >>,即2x

x e <. ................9分

（Ⅲ）①若1c ≥,则x x e ce ≤.又由（II ）知，当0x >时, 2x

x e <.

所以当0x >时, 2

x

x ce <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2

2

x cx <.........11分 ②若01c <<,令1

1k c

=

>,要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立.而要使2x e kx >成立，则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立. 令()2ln ln h x x x k =--,则22'()1x h x x x

-=-

=. 所以当2x >时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增. 取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.

又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+. 易知ln ,ln 2,50k k k k >>>.所以0()0h x >.即存在016

x c

=

,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <.

综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2

x

x ce <. .....14分

解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）同解法一（Ⅲ）对任意给定的正数c ，取

o x =

由（Ⅱ）知，当x>0时，2

x

e x >，所以2

2

2

2

()()2

2

x

x x

x x e e e =?>，当o x x >时，

2

22241()()()222x

x x x e x c c

>>=

因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2x

x ce <.