第三节误差传播定律
第三节误差传播定律
§5-3 误差传播定律
在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。
误差传播定律：
说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。
间接观测量:
在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,
则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～。
例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。
间接观测量的误差：
由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。
一、误差传播定律?
设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即
式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:
式中为函数Z分别对各变量 xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。
求任意函数中误差的方法和步骤如下：
列出独立观测量的函数式：
求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得
求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：
表5-2 常用函数的中误差公式
二、应用举例
【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为 d=23.4 mm，其中误差md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差 mD 。
解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例
尺分母。
两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。
【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。
解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得
两点的高差结果可写为1.258 m±0.004 m。
【例 5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=±0.05 m，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差
mα=±3′，求水平距离D及其中误差mD
解: 1）首先列出函数式
2）水平距离
这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，
3）先求出各偏导值如下
4）写成中误差形式：
5）得结果：D=243.30 m±0.06 m。
【例5-5】
图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为m读=±2 mm，假定视距平均长度为50 m，若以3倍中误差为容许误差，试求在测段长度为L km的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。
解:1)每站观测高差为：h=a-b
2)每站观测高差的中误差：
因视距平均长度为50 m，则每公里可观测10个测站，L公里共观测10L个测站，L公里高差之和为：
L(km)高差和的中误差为：
往返高差的较差（即高差闭合差）为：
高差闭合差的中误差为：
以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：
在第二章中，取 (5-3-41.4)作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i角误差等）。
三、注意事项
应用误差传播定律应注意以下两点：
1．要正确列出函数式
例：用长30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为ml =±5 mm，求全长D及其中误差mD。
1）函数式D=10l=10×30=300 m
按倍数函数式求全长中误差，将得出
2）实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为
用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为
按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。
2．在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。
如有函数式：z=y1+2y2=1 (a)
而：y1=3x;y2=2x+2 (b)
若已知x的中误差为mx，求Z的中误差mz。
1）直接用公式计算,由（a）式得：
由（b）式得：
代入（c）式得
（上面所得的结果是错误）
上面的结果为什么是错误的？
因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。
正确的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。
数值计算中误差的传播规律
数值计算方法 实 验 报 告 实验序号：实验一 实验名称：数值计算中误差的传播规律 实验人： 专业年级： 教学班： 学号： 实验时间：
实验一 数值计算中误差的传播规律 一、实验目的 １．观察并初步分析数值计算中误差的传播； ２．观察有效数字与误差传播的关系． 二、实验内容 1．使用MATLAB 的help 命令学习MATLAB 命令digits 和vpa 的用途和使用格式； 2．在4位浮点数下解二次方程01622=++x x ； 3．计算下列５个函数在点2=x 处的近似值 （1）60)1(-=x y ， （2）61) 1(1+=x y ， （3）32)23(x y -=， （4）3 3)23(1x y +=， （5）x y 70994-=． 三、实验步骤 本次实验包含三个相对独立的内容． 1．在内容１中，请解释两个命令的格式和作用； 在matlab 中采用help 语句得到：
1、digits用于规定运算精度，比如： digits(20); 这个语句就规定了运算精度是20位有效数字。但并不是规定了就可以使用，因为实际编程中，我们可能有些运算需要控制精度，而有些不需要控制。vpa就用于解决这个问题，凡是用需要控制精度的，我们都对运算表达式使用vpa函数。 例如： digits(5); a=vpa(sqrt(2)); 这样a的值就是1.4142，而不是准确的1.4142135623730950488016887242097 又如： digits(11); a=vpa(2/3+4/7+5/9); b=2/3+4/7+5/9; a的结果为1.7936507936，b的结果为1.793650793650794......也就是说，计算a的值的时候，先对2/3，4 /7，5/9这三个运算都控制了精度，又对三个数相加的运算控制了精度。而b的值是真实值，对它取11位有效数字的话，结果为1.7936507937，与a不同，就是说vpa 并不是先把表达式的值用matlab本身的精度求出来，再取有效数字，而是每运算一次都控制精度。 2．求解方程时，分别使用求根公式和韦达定理两种方法，并比较其有效数字和相对误差； 用求根公式解得：x1=-0.015,x2=-62.00 用韦达定理解得：x11=-0.016,x22=-62.00 x22=x2,x11=1/x22
第三节误差传播定律
第三节误差传播定律 §5-3 误差传播定律 在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。 误差传播定律： 说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。 间接观测量: 在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的, 则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～。 例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。 间接观测量的误差： 由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。 一、误差传播定律? 设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即 式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:
式中为函数Z分别对各变量 xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。 求任意函数中误差的方法和步骤如下： 列出独立观测量的函数式： 求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得 求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式： 表5-2 常用函数的中误差公式 二、应用举例 【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为 d=23.4 mm，其中误差md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差 mD 。 解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例
尺分母。 两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。 【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。 解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得 两点的高差结果可写为1.258 m±0.004 m。 【例 5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=±0.05 m，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差 mα=±3′，求水平距离D及其中误差mD 解: 1）首先列出函数式 2）水平距离 这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分， 3）先求出各偏导值如下
第五章 误差传播定律
第五章误差传播定律
第五章误差传播定律 5.1误差的来源和分类（板书） 经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。在我们的每一次观测中，都包含多种误差存在，因此这一章我们来学习测量中误差的特点及其规律。 一、定义： 观测值与真值之间的差值，记为： = ? Li X i- x为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。Li为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。i?为观测误差，即真误差。 二、误差的来源 1、测量仪器 一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差，如水
准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。水准尺刻划不均匀使得读数不准确。又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。 2、观测者 是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。 3、外界条件 测量工作都是在一定的外界环境下进行的。例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。 上述三项合称为观测条件 a.等精度观测：在若干次观测中，观测条件相同 b.不等精度观测 测量误差的分类 根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
4、测量误差基本知识
四、测量误差基本知识 1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？ 2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？ 3、何谓标准差、中误差和极限误差？ 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。 表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差?=α+β+γ-180?，其结果如下：?1=+3"，?2=-5"，?3=+6"，?4=+1"，?5=-3"，?6=-4"，?7=+3"，?8=+7"，?9=-8"；求此三角形闭合差的中误差m?以及三角形内角的测角中误差mβ。 图4-1 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20"，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差mγ。 15
16 7、量得某一圆形地物直径为64.780m ，求其圆周的长S 。设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =±25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m = m = m = m =±25mm ；按 S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ?2a +3a ?4a ）/2计算面积，求周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 10．误差传播定律应用 （1）（1）已知m a =m c =m ，h=a -b ，求h m 。 （2）已知a m =m =±6"，β=a -c ，求βm 。 （3）已知a m =b m =m ，S=100(a -b) ，求s m 。 （4）已知D=( ) h S -，s m =±5mm ，h m =±5mm ，求D m 。 （5）如图4-2，已知x a m =±40 mm ，y a m =±30 mm ； S=30.00m ，β=30? 15'10"，s m =±5.0mm ，βm =±6"。求P 点坐标的中误差x p m 、y p m 、M （M=m m + ）。
误差传播定律
误差传播定律 设有形如12(,,,,,)i n Z f x x x x = 的函数，其中12,,,n x x x 为可以直接观测的未知量，Z 为不便于直接观测的未知量。 设(12)i x i n =、、、 的独立观测值为i l ，其相应的真误差为i x ? 。由于 i x ?的存在，使得函数12(,, ,, ,)i n Z f x x x x =也产生相应的真误差Z ? 。 将12(,,,,,)i n Z f x x x x =取全微分，得到： 1212 i n i n f f f f dZ dx dx dx dx x x x x ????= +++++???? (1.1) 因为误差i x ? 以及Z ? 都很小，所以在上式中，可以近似用i x ? 以及 Z ?代替来i dx 以及dZ ，于是有： 1212 i n i n f f f f Z x x x x x x x x ?????= ?+?++?++????? (1.2) 上式中i f x ?? 为函数f 对各个自变量的偏导数(12)i n =、、、。 将i i x l = 带入各偏导数中，即为确定的常数，设( )i i x l i i f f x =?=? ，则 1212 i n i n f f f f Z x x x x x x x x ?????= ?+?++?++ ????? (1.3)可以写成： 1122i i n n Z f x f x f x f x ?=?+?++?+ +? (1.4) 为了求得函数与观测值之间的中误差的关系式，设对各i x 进行了k 次观测，则可以写出k 个类似于(1.5)的关系式：
误差传播定律计算及注意事项
误差传播定律计算及注意事项 在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。误差传播定律： 说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。 间接观测量: 在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的, 则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～。 例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。 间接观测量的误差： 由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。 一、误差传播定律? 设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即 式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:
式中为函数Z分别对各变量xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。求任意函数中误差的方法和步骤如下： 列出独立观测量的函数式： 求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得 求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式： 表5-2 常用函数的中误差公式 二、应用举例 【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4 mm，其中误差md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差mD 。 解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。 两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。
线形函数的中误差传播定律5
第四节 误差传播定律 一 线形函数的中误差传播定律 设i x (i=1,2, …,n)是一组独立观测量，而Y 是i x 的的线性函 数，即： n n X a X a X a a Y ++++= 22110 （2-23） 式中 系数0a 和为i a 已知，且假定没有误差。 设ij x 是第i 个观测量的第j （(j=1,2, …,n)）个观测值，按式 (2-23)求出其对应的待求量计算值j y 为： nj n j j j x a x a x a a y +++=22110 （2-24） 将式(2-24)减去式(2-23)可得： nj n j j j a a a y ?+?+?=? 2211 （2-25） 式中 Y y y X x j j i ij ij -=?-=? 当i X 对各观测K 次时，式（2-25）将共有K 个。 分别将各式两边平方并对个式求其和，再除以观测次数K ，可得： k a a k a a k a a k a k a k a k n n n n n n n y y ][2] [2][2][][][][11313 1212 122222 1121 ??+??+??+??+??+??=??-- 由于ij ?是偶然误差，两个不相同的偶然误差的乘积仍为
偶然误差。因此，根据偶然误差的抵偿性可知，偶然误差的算术平均值随着观测次数K 的增加而趋近于零，故有： ) (0] [j i k j i ≠≈? ?， 于是得： k a k a k a k n n n y y ][][][][22222 1121 ??+??+??=?? 顾及中误差的定义公式，并设观测量i X 的中误差为 i m ，则上式又可写为： 2 222222121n n y m a m a m a m ++±= （2-26） 这就是观测值线性函数的中误差传播定律。 应该指出，倍数函数、和差函数都是线性函数的特 例，即是说： （1） 当n=1且0 a =0时，则式表示的就是倍数函数，即： aX Y = 显然，倍数函数的中误差传播定律为：x y am m ±=（2-27） 上式表示：观测值倍数的中误差等于观测值中误差的a 倍。 （2）当121±=====n i a a a a 且0a =0时，则是为和差函数，即：n X X X Y ±±=21 显然，和差函数的中误差传播定律为：2 2 22 1n y m m m m ++= （2-28） 上式表明：各观测值代数和的中误差等于各观测值中误差平方和的平方根。
第五章测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识 (一)基本要求 1.了解测量误差的概念、来源及其分类； 2.理解偶然误差的特性、衡量精度的指标； 3.掌握误差传播定律的应用、等精度直接观测值的最可靠值的计算方法； 4.了解不等精度直接观测平差最或然值的计算与精度评定的方法。 (二)重点与难点 1.重点：观测条件的含义、系统误差与偶然误差的含义以及偶然误差的特性，各种衡量精度的指标的含义与计算方法，误差传播定律的理解与应用。 重点概念：系统误差、偶然误差、真误差、中误差、误差传播定律、最或然值、改正数。 2.难点：中误差的含义与计算方法，误差传播定律的应用，等精度直接观测值的最可靠值的计算方法。 (三)教学内容 讲述内容：(2学时)：观测条件、等精度观测、真误差、最或然值、最或然、误差、中误差、相对误差、极限误差、算术平均值中误差等等概念。 自学内容：(2学时)系统误差、偶然误差、粗差概念及其性质；减小或消除系统误差的办法；能够举一系列实例；计算最或然值及误差，中误差的计算式推导及应用计算；比较相对误差；算术平均值中误差的计算；误差传播定律。 (四)复习思考题 1.何谓偶然误差？偶然误差由哪些统计特性？ 2.何谓等精度观测与不等精度观测？请举例说明。 3.衡量精度的指标有哪些？ 4.中误差的定义式和计算式？ 5.在ABC 中，已测出 ,40060,30040'±'=∠'±'=∠ B A 求C ∠的值及其中误差。 6.等精度观测某线段6次，观测值分别为146.435m ，146.448m ，146.424m ，146.446m ，146.450m ，146.437m ，试求该线段长度的最或然值及其中误差。 (五)例题选解 1.用测回法测水平角，盘左盘右角值相差1°是属于(D)A.系统误差B.偶然误差C.绝对误差D.粗差 2.水准测量中，高差h=a －b ，若m a ,m b ,m h 分别表示a 、b 、h 的中误差，而且m a =m b =m ，那么正确公式是(B)A.m h =m∕2B.m h =±2m C.m h =±m 2 D.m h =2m 3.设在三角形ABC 中直接观测了∠A 和∠B ，其中误差分别为m A =±3″，m B =±4″，则m C =(A) A.±5″B.±1″ C.±7″ D.±25″ 4.用名义长度为30米的钢尺量距，而该钢尺实际长度为30.004米，用此钢尺丈量AB
第五章 误差传播定律
第五章误差传播定律 5.1误差的来源和分类（板书） 经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。在我们的每一次观测中，都包含多种误差存在，因此这一章我们来学习测量中误差的特点及其规律。 一、定义： 观测值与真值之间的差值，记为： ? = X Li i- x为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。Li为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。i?为观测误差，即真误差。 二、误差的来源 1、测量仪器 一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差，如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。水准尺刻划不均匀使得读数不准确。又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。 2、观测者 是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。 3、外界条件 测量工作都是在一定的外界环境下进行的。例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。 上述三项合称为观测条件 a.等精度观测：在若干次观测中，观测条件相同 b.不等精度观测 测量误差的分类 根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。 1、系统误差 定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。