2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高一(上)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高

一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分共计60分）．

1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）

A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}

【考点】并集及其运算．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，

根据集合的并集可求解答案．

【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，

∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，

∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，

故选：A

【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．

2．下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A．y=x﹣1与y=B．y=与y=

C．y=4lgx与y=2lgx2D．y=lgx﹣2与y=lg

【考点】判断两个函数是否为同一函数．

【专题】阅读型．

【分析】分别求出四组函数的定义域、对应法则、值域；据函数的三要素：定义域、对应法则、值域都相同时为同一个函数选出答案．

【解答】解：∵y=x﹣1与y==|x﹣1|的对应法则不同，

故不是同一函数；

y=（x≥1）与y=（x＞1）的定义域不同，

∴它们不是同一函数；

又y=4lgx（x＞0）与y=2lgx2（x≠0）的定义域不同，因此它们也不是同一函数，

而y=lgx﹣2（x＞0）与y=lg=lgx﹣2（x＞0）有相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数．

故选D

【点评】本题考查函数的三要素：定义域、对应法则、值域；并利用三要素判断两个函数是否是一个函数，

3．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（）

A．y=log2|x| B．y=x3+x C．y=3x D．y=x﹣3

【考点】奇函数；函数单调性的性质．

【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】A：y=log2|x|是偶函数

B：y=x+x3既是奇函数又是增函数．

C：y=3x非奇非偶函数

D：y=x﹣3是奇函数，但是在（0，+∞），（﹣∞，0）递减函数，从而可判断

【解答】解：A：y=log2|x|是偶函数

B：y=x+x3既是奇函数又是增函数．

C：y=3x非奇非偶函数

D：y=x﹣3是奇函数，但是在（0，+∞），（﹣∞，0）递减函数

故选B．

【点评】本题主要考察了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，属于基础试题

4．已知函数f（x）=，那么f（5）的值为（）

A．32 B．16 C．8 D．64

【考点】函数的值．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据自变量所属于的范围代入相应的解析式求出值．

【解答】解：∵f（x）=，

∴f（5）=f（4）=f（3）=23=8

故选C．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．

5．函数y=a x﹣2+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（）

A．（0，1） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，3）

【考点】指数函数的单调性与特殊点．

【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】根据指数函数的性质，指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点的坐标．【解答】解：由指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点

而要得到函数y=a x﹣2+2，（a＞0，a≠1）的图象，

可将指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象向右平移两个单位，再向上平移两个单位．

则（0，1）点平移后得到（2，3）点

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=a x﹣2+2（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．

6．函数的定义域为（）

A．（2，3） B．（2，4） C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．

【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．

【解答】解：∵函数，

∴，

解得2＜x≤4，且x≠3；

∴函数f（x）的定义域为（2，3）∪（3，4]．

故选：C．

【点评】本题考查了利用函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．

7．函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

【考点】函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）＜0，f（3）＞0，可得函数f（x）在区间（2，3）上有唯一的零点．

【解答】解：由于函数f（x）=lnx+x3﹣9在（0，+∞）上是增函数，

f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0，故函数f（x）=lnx+x3﹣9在区间（2，3）上有唯一的零点，

故选：C．

【点评】本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题．

8．已知f（x）为奇函数，当x∈[1，4]时，f（x）=x2﹣4x+5．那么当﹣4≤x≤﹣1时，f（x）的最大值为（）

A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．5

【考点】二次函数在闭区间上的最值．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据已知条件能够求出f（x）在[﹣4，﹣1]上的函数解析式，通过对二次函数f（x）配方即可求出f（x）在[﹣4，﹣1]上的最大值．

【解答】解：设x∈[﹣4，﹣1]，则﹣x∈[1，4]；

∴f（﹣x）=x2+4x+5=﹣f（x）；

∴f（x）=﹣x2﹣4x﹣5=﹣（x+2）2﹣1；

∴x=﹣2时，当﹣4≤x≤﹣1，f（x）的最大值为﹣1．

故选C．

【点评】考查奇函数的定义，以及求函数解析式的方法，以及二次函数的最值．

9．已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）

A．1 B．4 C． D．或4

【考点】对数的运算性质．

【分析】根据对数的运算法则，2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），可知：x2+4y2﹣4xy=xy，即可得答案．

【解答】解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），

∴x2+4y2﹣4xy=xy

∴（x﹣y）（x﹣4y）=0

∴x=y（舍）或x=4y

∴=4

故选B．

【点评】本题主要考查对数的运算性质．

10．已知f（x）=ax3+bx﹣3其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于（）A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2

【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】常规题型；函数思想；函数的性质及应用．

【分析】利用函数的奇偶性求解函数值即可．

【解答】解：f（x）=ax3+bx﹣3其中a，b为常数，f（﹣2）=2，

﹣8a﹣2b﹣3=2，

可得8a+2b=﹣5．

则f（2）=8a+2b﹣3=﹣5﹣3=﹣8．

故选：A．

【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，是基础题．

11．函数的图象的大致形状是（）

A． B．

C．D．

【考点】函数的图象．

【专题】数形结合．

【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．

【解答】解：∵y==

当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意

故选C．

【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．

12．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如max{2，﹣3}=2，max{﹣4，﹣2}=﹣2，则max{x2+x﹣2，2x}的最小值是（）

A．B．﹣2 C．D．4

【考点】函数的最值及其几何意义．

【专题】新定义；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】设f（x）=max{x2+x﹣2，2x}，由定义讨论当x2+x﹣2≥2x，当x2+x﹣2＜2x，求得f（x），运用二次函数和一次函数的单调性，可得最小值．

【解答】解：设f（x）=max{x2+x﹣2，2x}，

当x2+x﹣2≥2x，即x≥2或x≤﹣1时，f（x）=x2+x﹣2，

由于对称轴x=﹣，可得f（x）在x≥2递增，可得f（x）≥f（2）=4，

f（x）在x≤﹣1递减，可得f（x）≥f（﹣1）=﹣2；

当x2+x﹣2＜2x，即﹣1＜x＜2时，f（x）=2x，

可得f（x）在﹣1＜x＜2递增，即有﹣2＜f（x）＜4，

综上可得，f（x）的值域为[﹣2，+∞），

即有f（x）=max{x2+x﹣2，2x}的最小值为﹣2．

故选B．

【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查二次不等式的解法，考查二次函数和一次函数的最值的求法，属于中档题．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共计20分）．

13．幂函数f（x）的图象过点，则=2．

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．

【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可．

【解答】解：设幂函数为：f（x）=x a，

幂函数f（x）的图象过点，

可得=2a．解得a=

则==2．

故答案为：2．

【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．

14．如果定义在区间[2﹣a，5]上的函数f（x）为奇函数，则a=7．

【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．

【分析】利用函数的奇偶性的定义域的对称性，列出方程求解即可．

【解答】解：定义在区间[2﹣a，5]上的函数f（x）为奇函数，

可得a﹣2=5，解得a=7．

故答案为：7．

【点评】本题考查函数的解析式的定义的应用，是基础题．

15．函数y=x2﹣3x﹣4的定义域是[﹣1，m]，值域是[﹣，0]，则m的取值范围是

．

【考点】二次函数的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】y=x2﹣3x﹣4的图象是开口朝上，且以x=为对称的抛物线，故当x=时，函数取最

小值﹣，又由f（﹣1）=f（4）=0，可得当函数y=x2﹣3x﹣4的定义域是[﹣1，m]，值域是[﹣，0]时，实数m的范围．

【解答】解：∵y=x2﹣3x﹣4的图象是开口朝上，且以x=为对称的抛物线，

∴当x=时，函数取最小值﹣，

又∵f（﹣1）=f（4）=0，

∴当函数y=x2﹣3x﹣4的定义域是[﹣1，m]，值域是[﹣，0]时，m∈，

∴m的取值范围是，

故答案为：．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．

16．下列各式：

（1）；

（2）已知，则；

（3）函数y=2x的图象与函数y=﹣2﹣x的图象关于原点对称；

（4）函数f（x）=的定义域是R，则m的取值范围是0＜m≤4；

（5）已知函数f（x）=x2+（2﹣m）x+m2+12为偶函数，则m的值是2．

其中正确的有（3）（5）．（把你认为正确的序号全部写上）

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明．

【分析】根据指数的运算性质，化简式子，可判断（1）；根据对数函数的性质，求出a的范围，可判断（2）；根据函数图象的对称变换，可判断（3）；求出满足条件的m的范围，可判断（4）；根据偶函数的定义，可判断（5）．

【解答】解：（1），故错误；

（2）已知，则，或a＞1，故错误；

（3）函数y=2x的图象与函数y=﹣2﹣x的图象关于原点对称，故正确；

（4）函数f（x）=的定义域是R，则m的取值范围是0≤m≤4，故错误；（5）已知函数f（x）=x2+（2﹣m）x+m2+12为偶函数，则f（﹣x）=f（x），

即x2﹣（2﹣m）x+m2+12=x2+（2﹣m）x+m2+12，解得：m=2，故正确．

故正确的命题有：（3）（5），

故答案为：（3）（5）

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数的运算性质，对数函数的性质，图象的对称变换，函数的定义域，函数的奇偶性等知识点，难度中档．

三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共计70分）

17．设全集为R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，

1）求：A∪B，?R（A∩B）；

2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．

【考点】子集与交集、并集运算的转换．

【专题】计算题；集合．

【分析】（1）由A与B，求出两集合的交集，并集，以及交集的补集即可；

（2）B∪C=C，则B?C，即可求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x≥2}，全集为R，

∴A∪B={x|x≥﹣1}，A∩B={x|2≤x＜3}，C R（A∩B）={x|x＜2或x≥3}；

（2）C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣}，

∵B∪C=C，

∴B?C，

∴﹣＜2，

∴a＞﹣4．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x+1

（1）求f（x）的解析式；

（2）解关于x的不等式f（x）≤．

【考点】指、对数不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）首先，当x=0时，f（0）=0，然后，设x＜0，则﹣x＞0，然后，借助于函数为奇函数，进行求解即可．

（2）根据（1）中函数的解析式，分当x＞0时，当x=0时和当x＜0时三种情况，讨论不等式f（x）≤成立的x的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以，当x=0时，f（0）=0，

设x＜0，则﹣x＞0，

∴f（﹣x）=2﹣x+1，

∵f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣2﹣x+1，

∴，

（2）当x＞0时，2x+1＞2恒成立，不满足不等式f（x）≤．

当x=0时，f（x）=0，满足不等式f（x）≤．

当x＜0时，﹣2﹣x+1＜﹣2恒成立，满足不等式f（x）≤．

综上所述，不等式f（x）≤的解集为：（﹣∞，0]

【点评】本题重点考查了函数的奇偶性与函数的解析式相结合知识点，涉及到指数的运算性质，属于中档题，难度中等．

19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，如图为函数f（x）的部分图象．

（1）请你补全它的图象；

（2）求f（x）在R上的表达式；

（3）写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．

【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．

【分析】（1）由函数的对称性补全它的图象；

（2）设f（x））=a（x﹣0）（x﹣2），从而求出函数解析式，由奇函数解对称区间上的解析式；

（3）由图象写出函数的单调区间．

【解答】解：（1）

（2）当x≥0时，设f（x）=a（x﹣0）（x﹣2），

把A点（1，﹣1）代入，解得a=1，

∴f （x ）=x 2﹣2x ，（x ≥0）， 当x ＜0时，

∵f （x ）为R 上的奇函数，

∴f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣[（﹣x ）2﹣2（﹣x ）]=﹣x 2﹣2x ，

∴

；

（3）由图知，f （x ）在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上单调递增，f （x ）在（﹣1，1）上单调递减．

【点评】本题考查了函数的解析式的求法，图象的作法及单调区间的写法，属于基础题．

20．已知函数f （x ）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且满足f （2）=1，f （xy ）=f （x ）+f （y ）

（1）求f （1），f （4）的值．

（2）如果f （x ）﹣f （x ﹣3）＜2，求x 的取值范围． 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】（1）令x=y=1，可求出f （1），令x=y=2，结合条件，可求出f （4）； （2）将2换成f （4），结合条件得到f （x ）＜f （4x ﹣12），再由单调性，即可求出x 的取值范围，注意定义域．

【解答】解：（1）∵f （xy ）=f （x ）+f （y ），∴令x=y=1，则f （1）=2f （1），即f （1）=0，

令x=y=2，则f （4）=2f （2）=2．

（2）f （x ）﹣f （x ﹣3）＜2即f （x ）＜f （x ﹣3）+2， 即f （x ）＜f （x ﹣3）+f （4），即f （x ）＜f （4x ﹣12）， ∵函数f （x ）为定义域在（0，+∞）上的增函数，

∴即

∴x ＞4，

故x 的取值范围是（4，+∞）．

【点评】本题主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数值的常用方法：赋值法，属于基础题．

21．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资关系如图（1）所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）．

（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．问怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

【考点】函数模型的选择与应用．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）对于A，当0≤x≤2时，因为图象过（2，0.5）和原点，当x＞2时，图象过（2，

0.5）和（3，1），可得函数的解析式；对于B，易知．

（2）设投入B产品x万元，则投入A产品（18﹣x）万元，利润为y万元．分16≤x≤18时，0≤x＜16时两种情况求出函数的最大值，比较后可得答案．

【解答】解：（1）对于A，当0≤x≤2时，因为图象过（2，0.5），所以，…2分

当x＞2时，令y=kx+b，因图象过（2，0.5）和（3，1），得，

解得，故；…4分

对于B，易知．…5分

（2）设投入B产品x万元，则投入A产品（18﹣x）万元，利润为y万元．

若16≤x≤18时，则0≤18﹣x≤2，则投入A产品的利润为，投入B产品的利润

为，则y=+，令，，

则，此时当t=4，即x=16时，y max=9万元；…8分

当0≤x＜16时，2＜18﹣x≤18，则投入A产品的利润为，投入B产品的利

润为，则y=+﹣，令，t∈[0，4），

则，当t=2时，即x=4时，y max=10.5万元；…11分

由10.5＞9，

综上，投入A产品14万元，B产品4万元时，总利润最大值为10.5万元．…12分．

【点评】本题考查的知识点是函数的选择与应用，函数的最值，难度不大，属于基础题．

22．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；

（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

【考点】二次函数的性质．

【专题】计算题．

【分析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可（2）只需保证对称轴落在区间内部即可

（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可

【解答】解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）

∴对称轴为x=1

又最小值为1

设f（x）=a（x﹣1）2+1

又f（0）=3

∴a=2

∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3

（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1

∴

（3）由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立

化简得m＜x2﹣3x+1

设g（x）=x2﹣3x+1

则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减

∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）=﹣1

∴m＜﹣1

【点评】本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化．属简单题