专题4：导数及其应用理

专题4：导数及其应用（理）

【考点梳理】1、基本函数、复合函数求导，函数导数的几何意义。2、利用导数研究曲线的切线、单调性、函数的极值与最值；3、定积分与微积分基本定理 【自测回扣】

1、函数()()3

21f x x =-的极值点为（ ）

（A ）2

1

=

x （B ）2=x （C ）3=x （D ）无 2、已知函数3

()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= ．

3、若函数bx x y +-=3

3

4有三个单调区间，则b 的取值范围是________．

4、若dx x x n ?+=20

)sin 4cos 2(π

则二项式n x

x )2(-

展开式中的常数项为

【典型例题】

例1、已知函数3

()31,0f x x ax a =--≠

()I 求()f x 的单调区间；

()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线m y =与)(x f y =

的图象有三个不同的交点，

求m 的取值范围。

例2、（理）已知函数1

()ln(1)(1)

n

f x a x x =

+--，其中*x ∈N ，a 为常数． （Ⅰ）当2n =时，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2n ≥时，有()1f x x -≤．

例3、设函数2

()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠. (I)当1

2

b >

时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (II)求函数()f x 的极值点;

(III)证明对任意的正整数n ,不等式2

3111

ln(1)n n n

+>-都成立.

【专题练习】 1、曲线12

e x y =在点2

(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） （A ）

2

9e 2

（B ）2

e

（C ）2

2e

（D ）42

e

2、已知0>a ，函数ax x x f -=3)(在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

3、某物体作2

)1(2t s -=的直线运动，则s t 8.0=时的瞬时速度为 ( ) （A ）－0．8 （B ）－4 （C ）－4．8 （D ）4 4、已知函数2

3

4

104)(x x x x f +-=，则方程0)(=x f 在区间［1，2］上的根有（ ） （A ）3个 （B ）2个

（C ）1个 （D ）0个

5、已知函数()2,()ln x

f x x

g x x x =+=+，()1

h x x =的零点分别为12,x x ，3

x 则12,x x ，3x 的大小关系是（ ）

（A ）123x x x << （B ）213x x x << （C ）132x x x << （D ）

321x x x << 6、设函数2

()(0)f x ax c a =+≠，若1

()()

f xd x f x =?

，001x ≤≤，则0x 的值为( )

（A ）2 （B ）

22 （C ） 33 （D ）2

3

7、已知曲线3

4

313+=x y ，则过点P(2,4)的切线方程为_______

8、若方程k x x =-2

3

2

在()1,1-∈x 内有解，则实数k 的取值范围______.

9、已知函数()bx ax x x f ++=2

3

1)若函数()x f y =在2=x 处有极值6-,求()x f y =的单调递减区间; 2)若()x f y =的导数()x f '对[]1,1-∈x 都有()2≤'x f ,求

1

-a b

的取值范围.

10、已知函数x

x

x g kx x f ln )(,)(=

= （Ⅰ）求函数x

x

x g ln )(=

的单调区间； （Ⅱ）若不等式)()(x g x f ≥在区间),0(+∞上恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）求证：

e n

n 21

ln 33ln 22ln 4

44<+???++

专题4参考答案

【自测回扣】

1、D

2、32

3、0>b

4、240

例1、解析：（1）'

2

2

()333(),f x x a x a =-=-

当0a <时，对x R ∈，有'

()0,f x > 当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞

当0a >时，由'

()0f x >解得x

由'

()0f x <解得x <<

当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；()f x 的单调减区间为

(。

（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值， 所以'

2

(1)3(1)30, 1.f a a -=?--=∴= 所以3

'

2

()31,()33,f x x x f x x =--=- 由'

()0f x =解得121,1x x =-=

由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=， 在1x =处取得极小值(1)3f =-

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，

(3)171f =>，

结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-

例2、解析：（Ⅰ）解：由已知得函数()f x 的定义域为{}|1x x >，当2n =时，

2

1

()ln(1)(1)f x a x x =

+--，

所以2

3

2(1)()(1)a x f x x --'=-．

（1）当0a >时，由()0f x '=得111x =+

>，211x =-<，此时123

()()

()(1)

a x x x x f x x ---'=

-． 当1(1)x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1()x x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增．

（2）当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 无极值． 综上所述，2n =时，

当0a >时，()f x 在1x =+211ln 2a f a ???

+=+ ? ???； 当0a ≤时，()f x 无极值．

（Ⅱ）证法一：因为1a =，所以1

()ln(1)(1)n

f x x x =+--． 当n 为偶数时，令1

()1ln(1)(1)

n

g x x x x =-----， 则11

12()10

(1)11(1)n n n x n

g x x x x x ++-'=+-=+>----（2x ≥）．所以当[)2x ∈+∞，时，()g x 单调递增，又(2)0g =，因此1

()1ln(1)(2)0(1)

n

g x x x g x =----=-≥恒成立，所以()1f x x -≤成立． 当n 为奇数时，

要证()1f x x -≤，由于1

0(1)

n

x <-，所以只需证ln(1)1x x --≤，令()1ln(1)h x x x =---，则12

()1011

x h x x x -'=-=--≥（2x ≥）

，所以当[)2x ∈+∞，时，()1ln(1)h x x x =---单调递增，又(2)10h =>，所以当2x ≥时，恒有()0h x >，即ln(1)1x x -<-命题成立．

综上所述，结论成立．

证法二：当1a =时，1

()ln(1)(1)

n

f x x x =+--． 当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有

1

1(1)n

x -≤， 故只需证明1ln(1)1x x +--≤．

令

()1(1ln(1))2ln(1)

h x x x x x =--+-=---，

[)

2x ∈+∞，，则

12

()111

x h x x x -'=-

=

--， 当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增，因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1l n

(1)x x +--≤成立．故当2x ≥时，有1

ln(1)1(1)n

x x x +---≤．即()1f x x -≤．

点评：本题考查幂函数的导数、对数函数的导数、函数的单调性与极值的关系等基础知识，考查分类讨论、化归转化等数学思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查考生分析问题解决问题的能力。本题第一问，是一个中规中矩的常规试题，只要考生基本功扎实，解决起来困难不大；第二问就需要考生有较高的分析问题解决问题的能力了，利用导数证明不等式的基本思路是通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，在证明过程中，还要进行不等式的放缩（这也体现了山东对考查《不等式选讲》的力度），如果考生缺乏这样的思想意识，不能自觉地朝这个方向思考，要顺利地完成这一问的解答是不可能的。本题能有效地区分不同思维层次的考生，是一道设计十分优秀的试题。

易错指导：第一问中把导数求错，或是不对参数a 进行讨论是出错的主要原因；第二问中不知道构造函数，或是构造函数后解决问题的思维混乱，不知道用函数的单调性和端点值确立不等关系等是考生失分的主要原因。

例3、解：(I) 函数2

()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.

222'()211

b x x b

f x x x x ++=+=++，

令2

()22g x x x b =++，则()g x 在1,2??-

+∞ ???上递增，在11,2?

?-- ??

?上递减，

min 11()()22g x g b =-=-+. 当12b >时，min 1

()02g x b =-+>，

2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立.'()0,f x ∴>

即当1

2

b >

时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。 （II ）分以下几种情形讨论：

（1）由（I ）知当1

2

b >

时函数()f x 无极值点. （2）当12b =时，2

12()2'()1

x f x x +=+，

11,2x ??∴∈-- ???时，'()0,f x > 1,2x ??

∈-+∞ ???

时，'()0,f x >

1

2

b ∴=

时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 （3）当12b <时，解'

()0f x =得两个不同解

1x =

2x =

当0b <时，11x =

<-，21x =>-，

()()121,,1,,x x ∴?-+∞∈-+∞

此时()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点212

x -=.

当1

02

b <<

时，()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0 ，'()f x 在12(,)x x 上小于0 ，

此时()f x 有一个极大值点1x =

2x =

综上可知，0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点212

x -=

；

1

02

b <<

时，()f x 有一个极大值点112x -=和一个极小值点

212x -=

；1

2

b ≥时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点

（III ） 当1b =-时，2

()ln(1).f x x x =-+ 令3

3

2

()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++

则32

'

3(1)()1

x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，

()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.

即当()0,x ∈+∞时，有3

2

ln(1)0,x x x -++>2

3

ln(1)x x x +>-，

对任意正整数n ，取1x n =

得23111ln(1)n n n

+>- 点评：函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来确

定函数的单调性是'

()0f x >是1

2

b >

和定义域()1,-+∞共同作用的结果；（II ）需要分类讨论，由（I ）可知分类的标准为11

,0,0.22

b b b ≥<<<（III ）构造新函数为证明不

等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据()f x 导函数的特点迅速判断'

()0f x >或'

()0f x <。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由'

()0f x =求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为 “极值点”. 【总结提高】从近几年的高考试题来看，导数在高考中的要求一般有三个层次，第一层

次是主要考查导数的定义、导数的几何意义、导数的物理意义、求导的公式和求导的法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、函数、解析几何等知识有机地结合在一起，设计综合试题。通过将新课程内容和传统内容相结合，可以加强能力考查的力度，加强试题的综合性，同时可以使试题具有比较广泛的实际意义。随着导数作为考试内容的考查力度逐年增大，导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。这种试题编排的调整和试题创新设计不仅优化试卷结构，同时体现了新课程试卷的要求和特点。

【专题练习】

1、B

2、D

3、A

4、D

5、A

6、C

7、02;044=+-=--y x y x

8、???

??

?-∈25,169k 9、解：（1）3

2

()f x x ax bx =++ 2

'()32f x x ax b ∴=++

∵在2=x 处有极值6-

'(2)1240(2)8426f a b f a b =++=?∴?=++=-?解得522

a b ?

=-???=-?

325

()22f x x x x ∴=-- 2'()3520f x x x =--=

得1

23

x x =-=或当x 变化时，',y y 变化如下

()f x ∴的单调增区间是1(,)3-∞-，(2,)+∞,单调减区间是1

(,2)3

-

141

(),(2)6

354y f y f =-=-==-极大极小 （2）'(1)322

'(1)322f a b f a b -=-+≤??=++≤?

210

210

a b a b --≥?∴?++≤? 不等式组确定的平面区域阴影部分如图所示 由

210210a b a b --=??

++=?得0

1a b =??=-?

(0,1)Q ∴-

x 1(,)3-∞- 13- 1(,2)3

- 2 (2,)+∞

y ' + 0

- 0 +

y 极大值

极小值

设1

b

z a =

-，则z 表示平面区域内的点(,)a b 与点(1,0)P 连线的斜率 …12’ 1PQ k = 由图可知12z z ≥≤-或

(,2][1,)1

b

a ∴

∈-∞-?+∞- …14’ 10、解：（Ⅰ） x

x

x g ln )(=，故其定义域为),0(+∞

∴2

ln -1)(x x x g

=‘

令)(x g ‘

>0,得e x <<0 令)(x g ‘<0,得e x >

故函数x

x

x g ln )(=

的单调递增区间为),0(e 单调递减区间为),(+∞e （Ⅱ） ,ln ,0x x kx x ≥>2ln x

x

k ≥∴

令2ln )(x

x

x h =

又3

ln 2-1)(x x x h =‘

令0)(=x h ‘

解得e x =

当x 在),0(+∞内变化时，)(x h ‘

，)(x h 变化如下表

由表知，当e x =时函数)(x h 有最大值，且最大值为e

21 所以，e

21≥

k （Ⅲ）由（Ⅱ）知

e 21

ln 2

≤x

x ∴)2(1

e 21ln 24

≥?≤x x x

x ∴

)13121(21ln 33ln 22ln 2

22444n e n n +???++<+???++ 又

n n n )1(1

3

2121113121222-+

???+?+?<+???++ 11

1)111()3121()211(<-=--+???+-+-=n n n

∴e n

e n n 21)13121(21ln 33ln 22ln 222444<+???++<+???++

即e n

n 21ln 33ln 22ln 444<+???++