折叠问题专题

§《折叠问题》

一．引入

如图正三棱锥BCD A -中，F E ,分别为棱AD AC ,上的点，

若040=∠BAC ，2=AB ，求BEF ?周长的最小值.

学生面对此题，会无从入手，

有的人可能会设n AF m AE ==,，

进而得BEF ?的周长表达式：

022020240cos 240cos 4440cos 44mn n m n n m m -++-++-+

但往下就束手无策了。

如果能利用侧面展开图进行思考，则“豁然开朗”！空间问题平面化！

利用两点之间线段最短，知BEF ?的周长的最小值等于'

BB 的长， 通过解三角形，得32'=BB .

二．典型例题

例1 (2017·孝义质检)如图(1)，在五边形ABCDE 中， ED ＝EA ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，∠EDC ＝150°.如图(2)，将△EAD 沿AD 折到△P AD 的位置，得到四棱锥P －ABCD .点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .

(1)求证：平面P AD ⊥平面ABCD ；

(2)若四棱锥P －ABCD 的体积为23，求四面体BCDM 的体积．

(1)证明 取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，如图所示，则MN ∥CD ，MN ＝12

CD .

又AB ∥CD ，AB ＝12

CD ，∴MN ∥AB 且MN ＝AB ， ∴四边形ABMN 为平行四边形，∴AN ∥BM ，

又BM ⊥平面PCD ，

∴AN ⊥平面PCD ，

∴AN ⊥PD ，AN ⊥CD .

由ED ＝EA ，即PD ＝P A 及N 为PD 的中点，可得△P AD 为等边三角形，

∴∠PDA ＝60°，又∠EDC ＝150°，

∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AD ，

又AN ∩AD ＝A ，AN ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，

∴CD ⊥平面P AD ，又∵CD ?平面ABCD ，

∴平面P AD ⊥平面ABCD .

(2)解 设四棱锥P －ABCD 的高为h ，四边形ABCD 的面积为S ，则V P －ABCD ＝13

hS ＝23， 又S △BCD ＝23S ，四面体BCDM 的高为h 2

. ∴V BCDM ＝13×h 2×S △BCD ＝16×23

hS ＝16×23×63＝233

， ∴四面体BCDM 的体积为233

. 例 2 (2017届四川省成都市九校模拟)如图，在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC, AB ⊥BC, BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点， 将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE, AC, DE, 得到如图所示的空间几何体．

(1)求证：AB ⊥平面ADC ；

(2)若AD ＝1，AB ＝2，求点B 到平面ADE 的距离．

(1)证明 因为平面ABD ⊥平面BCD ，

平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，

又BD ⊥DC ，DC ?平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD .

因为AB ?平面ABD ，所以DC ⊥AB .

又AD ⊥AB ，DC ∩AD ＝D ，AD ，DC ?平面ADC ，

所以AB ⊥平面ADC .

(2)解 因为AB ＝2，AD ＝1，所以BD ＝ 3.

依题意△ABD ∽△DCB ，

所以AB AD ＝CD BD ，即21＝CD 3. 所以CD ＝ 6.

故BC ＝3.

由于AB ⊥平面ADC ，AB ⊥AC ，E 为BC 的中点， 所以AE ＝BC 2＝32

. 同理DE ＝BC 2＝32

. 所以S △ADE ＝12×1×2221232

2=??

? ??-??? ?? 因为DC ⊥平面ABD ，

所以V A —BCD ＝13CD ·S △ABD ＝33

. 设点B 到平面ADE 的距离为d ，

则13d ·S △ADE ＝V B —ADE ＝V A —BDE ＝12V A —BCD ＝36

， 所以d ＝62，即点B 到平面ADE 的距离为62. 三．当堂演练

如图(1)，在正△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且BE ＝AF ＝2CF .点P 为边BC 上的点，将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使平面A 1EF ⊥平面BEFC ，连接A 1B ，A 1P ，EP ，如图(2)所示．

(1)求证：A 1E ⊥FP ；

(2)若BP ＝BE ，点K 为棱A 1F 的中点，则在平面A 1FP 上是否存在过点K 的直线与平面A 1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

(1)证明 在正△ABC 中，取BE 的中点D ，连接DF ，如图所示．

因为BE ＝AF ＝2CF ，所以AF ＝AD ，AE ＝DE ，而∠A ＝60°，所以△ADF

为正三角形．又AE ＝DE ，所以EF ⊥AD .

所以在题图(2)中A 1E ⊥EF ，

BE ⊥EF .

故∠A 1EB 为二面角A 1—EF —B 的一个平面角．

因为平面A 1EF ⊥平面BEFC ，

所以∠A 1EB ＝90°，即A 1E ⊥EB .

因为EF ∩EB ＝E ，EF ，EB ?平面BEFC ，

所以A 1E ⊥平面BEFC .

因为FP ?平面BEFC ，所以A 1E ⊥FP .

(2)解 在平面A 1FP 上存在过点K 的直线与平面A 1BE 平行．

理由如下：

如题图(1)，在正△ABC 中，因为BP ＝BE ，BE ＝AF ，

所以BP ＝AF ，所以FP ∥AB ，所以FP ∥BE .

如图所示，取A 1P 的中点M ，连接MK ，

因为点K 为棱A 1F 的中点，所以MK ∥FP .

因为FP ∥BE ，所以MK ∥BE .

因为MK ?平面A 1BE ，BE ?平面A 1BE ，

所以MK ∥平面A 1BE .

故在平面A 1FP 上存在过点K 的直线MK 与平面A 1BE 平行．

评注: 以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式．

四．作业

《步步高二轮专题强化》第123页10，14题

思维提升：（2017西城一模）在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ===，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则1B P PQ +的最小值为（ ）

（A B C ）3

2（D ）2

分析：第一步：当点Q 在线段AC 上时，PQ P B +1才有可能达到最小。

第二步：

把PQ P B ,1两条线段转移到一个平面去，即把三角形11C AB 沿1AC 翻折到三角形1AMC 的位置，使三角形1AMC 与三角形1ACC 共面，则PQ MP PQ P B +=+1.

第三步：点M 到直线AC 的距离，就是

PQ MP PQ P B +=+1的最小值，经过计算等于2

3.