浙江大学偏微分方程12-13试卷

2012-2013冬学期偏微分方程期终测试卷考试形式为闭卷，可以带笔，时间120分钟，满分100分

一、（20分）用行波法求解下题：

x

t t xe t

u , u x

u t u x u t x u t u 2 0044320022222=??==??+??+?????????==二、（15分）用延拓法求解以下半无界弦振动问题：

1

0 0002002222=??==>>=?????===t t x t u

, x u t

u t , x x

u t u 三、（25分）

（1）求解方程的解()x ω：

100202202222=??=><<=?????==x x x

ω , ω , t x x

ωt ω（2）根据上一问答案，用分离变量法求下列非齐次边界条件方程的解：0100202020202222=???==??=><<=?????====t t x x t

u , x u x

u , u , t x x

u

t

u

四、（20分）对于以下偏微分方程，试确定βρ ,满足的关系使得()t,x u 满足()0 lim =+∞→t,x u t 成立。

ρ

πx u ρ , u u ρ , t x βu x

u t u t ρx x sin 0

000000022=>==><<=??????===五、（20分）利用Fourier 变换相关知识求解下列各问：

（1）试直接写出[]λ

a e ?1-F 的表达式：（2）已知以下偏微分方程的解为()()()ξ

ξξd f y x G y x u ; , ,∫+∞∞?=

试求()ξx,y ; G 。()()0,lim , 0 , 022x 02222==>+∞<<∞?=??+??+∞

→+=y x u x f u y x y

u x u y

y

2012-2013冬学期偏微分方程期末参考答案说明：

本题目完全回忆而得……难度要略低于上一年的考题，而更是比2009-2010简单很多，不过优点在于题型比较新颖，有的题目变化很多，解题时容易想当然。

有的方法可能与常规方法有很大区别，不保证一定会给分，但是常规方法有时过于繁琐，偶尔简化一下也可以。

一、（20分）

()t,x u =()t

x e t x t ?+2方法一：直接化成标准型，得到21-dt dx ±=，于是有?

??=+= x - t ηt x ξ3，带入求解得0 =ξξηu -u （注意这个不是很容易解！），之后积分求解，得到答案。

方法二：方法一虽然常规，但比较繁琐，这里提供一种简单方法。首先方程用待定系数法化齐次，即令()()x t v e x t u bt ax ,,?=+，代入，合并同类项，使方程只剩22222 , , t v t x v x v ???????这三项，可知a=1，b=-1。于是原方程化为

x t

v , v x v t x v t v t t 2 00320022222=??==?????????==，其中依然有???=+= x - t ηt x ξ3成立。再用行波法，此时有0=ξηu 成立，故()()()t x G t x F x t v 3,++?=，带入求解即可。一般来说，所有考的行波法的题都可以用这种方法化简。就是不知道给不给分了。

二、（15分）

()???>>+>>++=

x t t xt t x t t x x t u 0 20,22方法：令()()t x t v x t u +=,,，之后奇延拓即可。

三、（25分）

（1）()x x x 52+?=ω（注意这问其实是个常微分方程，要说明的是这种一次性化齐次的方法应该掌握，书上有）

u(t,x)

（2）()()()()x n t n n n x x x t u n n ππππ412sin 412cos 1241212455,212+?+???

????+?????????+???=∑∞

+=方法：令()()()x x t v x t u ω+=,,，则原方程可以化简为0500020000202222=???==??=><<=?????====t t x x t

v , x v x

v , v , t x x

v t v （我没有更简单的方法，只能分离变量求解）

四、（20分）

???>

022ρπρβ方法一：直接分离变量，此处略，比较繁琐方法二：待定形式解：根据题中关系式，令()ρ

πx t T u(t,x)sin ?=，代入，边界条件直接满足，

为满足初值条件，有以下常微分方程成立：()()()?????==??????????????????+ 1002T t T dt t dT βρπ，代入解得()t βρπe t T 22????????=——，可知（这个解的唯一性可以用本征值理论来说明，有点繁琐，这里不细写了，考试的时候这种解法相当快，一道大题3-5分钟就能写出答案，但是要求解不能是级数形式的）

五、（20分）

（1）[]2212x a a e F λ

a -?=?（不证了，书上有）

（2）()()

222ξξ??=x y y x,y ; G 方法：对x 进行F 变换，得到()()0,lim , 0 , 0-220222==>+∞<<∞?=∧+∞→+∧=∧∧∧

y u f u

y u dy

u d y y λλλλλ，之后可知y y e c e

c u λλ21+=?∧，根据条件，2c =0，()y e f u λλ?∧∧?=，根据卷积定理逆变换可得答案。