大一高数复习资料

高等数学（本科少学时类

型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）

(){}

,|U a x x a δδ=-<

(){},|0U a x x a δδ=<-<

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞

=

【证明示例】N -ε语言

1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=????

2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞

→lim

第三节 函数的极限

○0x x →时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0

lim

【证明示例】δε-语言

1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =

2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim

○∞→x 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞

→lim

【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =

2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞

→lim

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★）

函数()x f 无穷小?()0lim =x f

函数()x f 无穷大?()∞=x f lim

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大 【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →?????（或∞→x ）

1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U

内是有界的；

（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞

→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →?=????

（()()lim 0x f x g x →∞

?=????）

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算

设：()()?????+?++=+?++=--n

n n m

m m b x b x b x q a x a x a x p 1

101

10 则有()()???????∞=∞→0

lim

b a x q x p x m n m n m n >=< ()()()

()000

lim 0

0x x f x g x f x g x →??

??

=∞

?????

()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00

lim 0

x x f x g x →=（不定型）时，通常分

子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值233

lim 9

x x x →--

【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原

式()()23333311

lim lim lim 93336

x x x x x x x x x →→→--====-+-+

其中3x =为函数()23

9

x f x x -=-的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解：()()00

23

3323311

lim

lim lim 926

9x L x x x x x x x '→→→'

--===-'

- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那

么，()()00lim lim x x x x f x f x ??→→??=????????

【题型示例】求值：9

3

lim

2

3

--→x x x

【求解示例】3

6

x →==

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→x

x

x

∵??

?

??∈?2,

0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→x x x 0

000lim1

1lim

lim 1sin sin lim x x x x x x x x x →→→→===??

???

（特别地，000

sin()

lim

1x x x x x x →-=-）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：e x x

x =??

?

??+∞

→11lim

（一般地，()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =????????

，其中

()0lim >x f ）

【题型示例】求值：1

1232lim +∞→??

? ??++x x x x

【求解示例】

()()

21

1

1

212

1212

2121

1221

22121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞

+→∞

?++++??+++→∞

+→∞++→∞+++??

??

?

?==+ ? ? ?+++??

??

??

???

???

??=+=+ ? ???

++??

?????

??

???=+

???+????

解：()()12lim 121

21212

121

22lim 121x x x x x x x x x e

e e e

+→∞???+??

+??+→∞+→∞??

?+??

+??

+??

?

+?

?

====

第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）

○等价无穷小（★★）

1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U

U U U U U U e +- 2．U U cos 1~2

12

-

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：()()x

x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】

()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+?+=++?+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为

第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）

()()()00

0lim lim x x x x f x f x f x -

+→→==

○间断点的分类（P67）（★）

??

?∞?

???

?）无穷间断点（极限为

第二类间断点可去间断点（相等）

跳越间断点（不等）

限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数()?

??+=x a e x f x 2 ，00

≥

择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？

【求解示例】

1．∵()()()2010000f e e e f a a f a -

-?++?===?

?=+=??

=??

2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+

-→→0lim lim 0

∴e a =

第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）

【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ?=--在闭区间[],a b 上连续；

2．∵()()0a b ???<（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξ?，即()()0f

g C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分

第一节 导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）

【题型示例】已知函数()???++=b

ax e x f x 1 ，00

>≤x x 在0

=x 处可导，求a ，b

【求解示例】

1．∵()()0

010f e f a -+'?==??'=??，()()()00001120012f e e f b f e -

-+?=+=+=??=?

?

=+=??

2．由函数可导定义()()()()

()001

0002

f f a f f f b -+-+

''===???====?? ∴1,2a b ==

【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ????处的切线与法线方程） 【求解示例】

1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()

()1

y f a x a f a -=-

-' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则

○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+

3．函数商的求导法则（定理三）：2

u u v uv v v '

''

-??= ???

第三节 反函数和复合函数的求导法则

○反函数的求导法则（★）

【题型示例】求函数()x f 1-的导数

【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()

1

1

f

x f x -'

??=

??' ○复合函数的求导法则（★★★）

【题型示例】设(

ln y e =，求y '

【求解示例】

(

22

arcsi y e

x a e e e '

'=

'

?

?

' ?+=

???

? =

??

=

解：? ?

第四节 高阶导数 ○()

()()

()1n n f

x f

x -'??=??（或()()11n n n n d y d y dx dx --'??=????

）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1

111y x x

-'=

=++， ()()()12

111y x x --'??''=+=-?+??

， ()()()()()23

11121y x x --'??'''=-?+=-?-?+??

……

()1(1)(1)(1)n n n y n x --=-?-?+！

第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程y

e x y +=所给定的曲线C ：

()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程

【求解示例】由y

e x y +=两边对x 求导 即()y

y x e '

''=+化简得1y

y e

y ''=+?

∴e

e y -=-=

'11

111 ∴切线方程：()e x e

y +--=

-111

1

法线方程：()()e x e y +---=-111

○参数方程型函数的求导

【题型示例】设参数方程()()

??

?==t y t x γ?，求22

dx y

d

【求解示例】1.()()t t dx dy ?γ''=

2.()22dy d y dx dx

t ?'??

???=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节 函数的微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ?'=

第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ?∈， 使得()()cos sin 0f

f ξξξξ'+=成立

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ?=

显然函数()x ?在闭区间[]0,π上连续，在开区间

()0,π上可导；

2．又∵()()00sin00f ?==

()()sin 0f ?πππ== 即()()00??π==

3．∴由罗尔定理知

()0,ξπ?∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立

○拉格朗日中值定理（★）

【题型示例】证明不等式：当1x >时，x

e e x >?

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ?>，

显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间

()1,x 上可导，并且()x f x e '=；

2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ?∈使得等式

()11x e e x e

ξ

-=-成立， 又∵1

e e ξ>，∴()11

1x e e x e e x e ->-=?-，

化简得x e e x >?，即证得：当1x >时，x

e e x >? 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对

0x ?>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区

间()0,π上可导，并且()1

1f x x

'=

+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ?∈使得等式

()()()1

ln 1ln 1001x x ξ

+-+=

-+成立， 化简得()1

ln 11x x ξ

+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()1

11f ξξ

'=

<+，∴()ln 11x x x +时，x

e e x >?

第二节 罗比达法则

○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆

等价无穷小的替换（以简化运算）

2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（

0,0∞

∞

）且满足条件， 则进行运算：()()()

()

lim lim

x a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）

B ．☆

不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0?∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0

lim ln x x x α

→?

【求解示例】 ()10

00

020

1ln ln lim ln lim

lim

lim

111

lim 0

x x L x x x x x

x x x x x

x

x

x a ααα

α

ααα∞∞

-'→→→→→'

?===?'??- ???

=-=解： （一般地，()0

lim ln 0x x x β

α

→?=，其中,R αβ∈）

⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：01

1lim sin x x x →??-

??

?

【求解示例】 200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--??????-== ? ? ???

?????解：

()()()()00

0002

sin 1cos 1cos sin lim

lim lim lim 022

2L x x L x x x x x x x

x x x ''→→→→'

'---====='

' ⑶0

0型（对数求极限法）

【题型示例】求值：0

lim x

x x →

【求解示例】

()()0000

lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim

111

lim lim 0lim lim 11x x x x x L x y

y x x x x x y x y x x x x

x x

x y x

x x x y e e e x

→∞

∞

'→→→→→→→====

'→=='?? ???

==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞

型（对数求极限法）

【题型示例】求值：()10

lim cos sin x

x x x →+

【求解示例】

()()

()

()()

1

000

000lim ln ln 10

ln cos sin cos sin ,ln ,

ln cos sin ln 0lim ln lim

ln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x x

x x L x x y

y x x x x y x x y x

x x y x y x

x x x x x x x y e e e e

→→→'→→→→+=+=

+→='+??--??====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得

⑸0

∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：tan 01lim x

x x →??

???

【求解示例】

()()tan 00

20002

22

0011,ln tan ln ,

1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim lim lim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li x

x x x L x x x L x y y x x x y x y x x x x x x x x x x x x x →→∞

∞

'→→→'→→??

??

==? ?

???

??

??

??→=? ???

????'=-=-=-??'??- ? ?????'==='解：令两边取对数得对求时的极限，0

0lim ln ln 00

2sin cos m 0,1

lim =lim 1

x x y

y x x x x

y e e e →→→→?====从而可得 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）

00001∞??∞-∞??→←???∞←???∞?∞?∞

(1)(2)(3)

⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）

⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）

第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】

1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导

∴()2

61812f x x x '=-+

2．令()()()6

120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==

4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2

【题型示例】证明：当0x >时，1x

e x >+ 【证明示例】

1．（构建辅助函数）设()1x x e x ?=--，（0x >）

2．()10x

x e ?'=->，（0x >）

∴()()00x ??>=

3．既证：当0x >时，1x

e x >+

【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】

1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ?=+-，（0x >）

2．()1

101x x

?'=

-<+，（0x >） ∴()()00x ??<=

3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<

○连续函数凹凸性（★★★）

【题型示例】试讨论函数2

3

13y x x =+-的单调性、极值、

凹凸性及拐点

【证明示例】

1．()()2

36326661y x x x x y x x '?=-+=--?

?''=-+=--??

2．令()()320

610

y x x y x '=--=???''=--=??解得：120,21x x x ==??=?

4．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)

单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；

⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，

为()01f =，

极大值在2x =时取到，为()25f =；

⑶函数23

13y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，

在区间(1,2),(2,)+∞上凸； ⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3

第五节 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系（★★★）

⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ?的某个邻域()M U x D ?，使得对()M x U x ?∈

，都适合不等式()()M f x f x <，

我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ????处有极大值()M f x ；

令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈

则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：

()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；

⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ?的某个邻域

()m U x D ?，使得对()m x U x ?∈

，都适合不等

式

()()m f x f x >，

我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ????处有极小值

()m f x ；

令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈

则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：

()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f

b =；

【题型示例】求函数()3

3f x x x =-在[]1,3-上的最值

【求解示例】

1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+

2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= 4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘（不作要求）

第七节 曲率（不作要求）

第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：

假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或

()()dF x f x dx =?成立，则称()F x 为()f x 的一

个原函数

⑵原函数存在定理：（★★）

如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）

在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项

C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，

即表示为：()()f x dx F x C =+?

（

?

称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称

为积分表达式，x 则称为积分变量）

○基本积分表（★★★）

○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）

()()()()1

2

1

2

k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+?

?????? 第二节 换元积分法

○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ?'=的逆向应用）

()()()()f x x dx f x d x ????'?=??

?????????????