2018届高考数学二轮复习含有条件概率的随机变量问题学案含答案(全国通用)

专题69 含有条件概率的随机变量问题

考纲要求:

(1)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重复试验的模型及二项分

布,并能解决一些简单的实际问题.

(2)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的

均值、方差,并能解决一些实际问题.

(3)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

基础知识回顾:

一、条件概率及其性质

二、事件的相互独立

1．设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．

2．如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．

三、独立重复试验与二项分布

1．独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．

2．二项分布

在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

应用举例: 类型一条件概率

例1．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为

34，用满8 000小时不坏的概率为1

，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是( ) A.

34 B. 23 C. 12 D. 1

【答案】B

例2. 若()34P A =， ()1

| 2

P B A =，则()P A B ?等于( ) A. 23 B. 38 C. 13 D. 58

【答案】B

【解析】由条件概率公式可得： ()()()133

| 248

P A B P B A P A ?==?= 故答案选B .

例3. 现抛掷两枚骰子，记事件A 为“朝上的2个数之和为偶数”，事件B 为“朝上的2个数均为偶数”，则(|)P B A =（） A.

18 B. 14 C. 25 D. 1

【答案】D

点评：条件概率的求解方法

(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P AB

P A

.注意：事件A 与事件B 有时是相互独立事件，

有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．

(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n AB

n A

类型二相互独立事件的概率

例4【2016年高考北京理数】A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；

（1）试估计C 班的学生人数；

（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（3）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ ，表格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，

（结论不要求证明）【答案】（1）40；（2）3

；（3）10μμ<.

由题意可知，51)(=

i A P ，5,,2,1???=i ；8

)(=j C P ，8,,2,1???=j ， 40

8151)()()(=?=j i j i C P A P C A P ，5,,2,1???=i ,8,,2,1???=j .

设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，

3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A

因此

)

()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8

40115)()()()()()()(45352515342414=?

=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P

（3）根据平均数计算公式即可知，01μμ<. 点评：相互独立事件的求解方法

(1)当从意义上不易判定两事件是否相互独立时，可运用公式P(AB)＝P(A)P(B)计算判定．求相互独立事件同时发生的概率时，要搞清事件是否相互独立．若能把复杂事件分解为若干简单事件，同时注意运用对立事件可把问题简化．

(2)在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．若能把相关事件正确地表示出来，同时注意使用逆向思维方法，常常能使问题的解答变得简便．类型三独立重复试验与二项分布

例5【2017届辽宁省大连市3月模拟】为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：男生成绩：

女生成绩：

（Ⅰ）根据上述数据完成下列

列联表：