锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义
一．基础题 1.在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AC =2BC ，则sin A 的值是______.
2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝3，则sinA ＝ _ ，cosA ＝ _ ，sinB ＝ _ ，cosB ＝ _ ，tanB ＝ _ .
3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），点B （0，-4），则cos ∠OAB=______.
4.如图，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D. 若AC =7，AB =4，则sin C 的值为______.
5.如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则cos ∠AED=________.
6.在△ABC 中，∠C =90°，cos A =35
，那么tan A 等于________. 7.如图,Rt △ABC 中,∠A =90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD :CD =3:2，则tan B =___.
8.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A <∠B ,CM 是斜边AB 的中线,将△ACM 沿直线CM 折叠,点A 落在点D 处,如果CD 恰好与AB 垂直,则∠A =___°.
9.(2012?湖北模拟)如图,测量河宽AB (假设河的两岸平行),在C 点测得
∠ACB =30°,D 点测得∠ADB =60°,又CD =60m ,则河宽AB 为________.
10.一座楼梯的示意图如图所示,BC 是铅垂线,CA 是水平线,BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA =4米,楼梯宽度1米,则地毯面积至少需要___
11．如图,在建筑平台CD 的顶部C 处,测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°,测得大树AB 的底部B 的俯角为30°,已知平台CD 的高度为5m ,则大树的高度为___m (结果保留根号)
11.如图,斜12.坡AC的坡度(坡高比水平距离)为1:3，AC=10米。坡顶有一旗
杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米。旗杆BC的高度是___.
13.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度
AC=1 200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为______.
.
14.如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接AE，则sin∠AED=___.
二．中档题
15.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=
∠ABC=105°.
(1)若AD=2，求AB；
(2)若AB+CD=23+2，求AB.
16.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE.求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的正切值.
17.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A. B. C. D都在这些小正方
形的顶点上，AB、CD相交于点P. 求：
(1)AB的长
(2)画图：在网格中小正方形的顶点上找一点Q,连接AQ、BQ,使得△ABQ∽△CDB，
并直接写出△ABQ的面积；
(3)tan∠APD的值是______.
18.如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2,l2,l3之间的距离为3,则AC的长是( )
19.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为多少海里/小时。
20.如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小红在斜
坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A. C. E在同一直线上。
(1)求斜坡CD的高度DE；
(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)
21.在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF ∥MN ,小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向,然后沿河岸走了30米,到达B 处,测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD =10米。请根据这些数据求出河的宽度为多少米.(结果保留根号)
22．某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC 的坡度为1:1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,
使新坡面的坡度为1: 3.
(1)求新坡面的坡角a ；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除?请说明理由。
三．综合题如图，
23.如图：BD 为O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE =2，ED =4.
(1)求证：△ABE ∽△ABD ；
(2)求tan∠ADB 的值；
(3)延长BC 至F ,连接FD ,使△BDF 的面积等于8 3，求∠EDF 。
24.如图,已知在Rt △ABC 中,∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH =2CH .
(1)求cos B 的值；
(2)如果CH =25 5，求BE 的值。
25.如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上。
(1)求证：△ABF ∽△DFE ；
(2)若sin∠DFE =13，求tan∠EBC 的值。
26.如图，在△ABC 中，∠C =90゜，∠A =15゜。
(1)求AC ：BC 的值；
(2)求sin A 的值。
27.在圆O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA =PC
(1)如图1,求证：OP ∥BC
(2)如图2,DE 切圆O 于点C ,DE ∥AB ，求tan∠A 的值
28.如图，AB 为⊙O 的直径，CE⊥AD 于E ，连BE ，
．
（1）求证：CE 为⊙O 的切线；
（2）若AE=6，⊙O 的半径为5，求tan∠BEC 的值．
初中数学《锐角三角函数的应用》教案
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
锐角三角函数--讲义资料
锐角三角函数 讲义 一、基础知识点: 1.定义: 如图在△ABC 中，∠C 为直角, 我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；c a A =sin 把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ;c b A =cos 把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tan A ;b a A =tan 2、三角函数值 (1）特殊角的三角函数值 角度 三角函数 0° 30° ４5° ６０° 90° s ｉｎA 0 12 22 32 １ cosA １ 32 2 2 12 0 ｔanA 3 1 3 不存在 (２）锐角三角函数值的变化：（1)当α为锐角时，各三角函数值均为正数,且0
角形的基本类型如下表： 已知条件 解法 一条边和一个锐角 斜边ｃ和 锐角Ａ 2 90,sin ,cos ,sin cos B A a c A b c A S c A A ο=-=== 直角边a 和 锐角A 90,,,tan sin a a B A b c A A ο=-== 两条边 两条直角 边a 和b 22c a b = +,1 ,90,2 A B A S ab ο =-= 直角边ａ和 斜边c 2 2 ,sin ,,90a b c a A A B A c ο=-==- 备注:a 、ｂ、c 为三角形的三边;A 、B 、C 为三角形的三个内角、S 为三角形的面积 三、典型例题： 1． 锐角三角函数的相关概念 例1、如图１，在RT △A ＢＣ中，∠C=９0°,si ｎA ＝5 3 ,则tanB 的值为（?） A ．34? B.54 ?C ．45 ??D ．4 3 例5 例2、如图,⊙O 是△A ＢC 的外接圆,A Ｄ是⊙Ｏ的直径,若⊙O 的半径是2 3 ，AC=２,则ｓinB 的值是（ ) Ａ.32?? B.23???C ．43 ??D ．3 4? 例3：已知在Rt ABC △中,∠C 为直角，A Ｃ = ４cm ，ＢＣ = 3cm ，sin ∠A ＝ ． 例4：在Rt ABC △中,90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则 tan A = ． 例5:如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝9０°,ＡB =5,AC ＝２，则cos Ａ的值是( ) A.错误! B.错误! C.错误! D ．错误! A C B 图1 A B C D O 例2
初三数学锐角三角函数通用版
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c b A A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BC AC 60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝ 1 2 AC ，tan ∠DBC 可求。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BC AC =， ∴AC ＝3BC 。 又D 是AC 中点， ∴DC ＝ 12AC ＝32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知3 2 ACD sin = ∠，那么=AB BC ______。 分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝ 2 3 ，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。 解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD ＝∠B 。 又sin ∠ACD ＝sinB ＝ 23 ， 可设AC ＝2，AB ＝3， ∴BC ＝32522-=。
2018春人教版数学九年级下册281《锐角三角函数》同步测试
锐角三角函数 28、1_锐角三角函数_ 第1课时正弦[见B本P78] i\_园础达标 1 ?如图28-1-b 在△遊中，ZC=90°, AB=5,BC=3,则sinJ 的值是（C ） R 图28-1-1 A、错误！ B、错误！ C、错误！ D、错误！ 2。把△「磁三边的「长度都扩大为原来的3倍，则锐角月的正弦函数值（A ） A o不变B.缩小为原来的错误！ Co扩大为原来的3倍D。不能确定 3.如图28-1-2,在Rt△磁中，ZC=90^ , AB=2BC,则sin5的值为（C ） 图28-1-2 A、错误！ B、错误！ C、错误！D o 1 3 4?在Rt△磁中，Zr=90°9AC=9, sin5=-则（ A ） □ A.15 B. 12 C.9 Do 6 【解析】曲=错误!=错误! = 15,选A、 5O如图28— 1一3所示，△磁的顶点是正方形网格的格点，则sinJ的值为（B ） 图28-1-3 A、错误！ B、错误！ C、错误！ D、错误！ 6.如图28-1-4,角a的顶点为0,它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点尸（3, 4）, 则sin"的值是（D ）
图28-1-4 A、错误！ B、错误！ C、错误！ D、错误！ 【解析】.\sin6r=错误!、故选D、 7.△丽Q中，ZC=90Q , sinJ=错误!，则sin^=_错误! 【解析】由sinJ=错误!可得错误二错误!,故可设BC=2a,AB=5a,r Fh勾股定理求得错误怙，再由正弦定义求得sin5=错误匸错误!=错误!、 8、如图图28-1-5,在0。中，过直径初延长线上的点C作00的一条切线，切点为D,若 AC=79AB=49则sinC的值为—错误!—? 图28-1-5 9.Rt AJ5C中，若Z(7=90° ,a=15, b=8,求sinE+sin万、 解：由勾股泄理有c=错误!=错误! = 17, 于是$:1山=错谋!, sin4错课!， 所以sinJ+sin5=错误! +错误!=错误!、 10?如图28-1-6所示，△磁中，ZC=90° ,sinJ=错误\,AC=2.求曲，必的长。解：VsinJ=错误!，???错误!=错误!，:?AB=3BC、 9：AC+BC=A^. ：.2Z+BC=(3B^)\ :?BC=错谋!，:.AB=错诧、 11、在Rt△遊中，Z*90°,若J5=4,sinJ=错误!，则斜边上的高等于(B ) A、错误！ B、错误！ C、错误！ D、错误！ 12o如图28-1-7,在菱形肋G?中，％丄于伐DE=￡ cm, sinE=错课!，则菱形個力的而积是_60_cm\ 图28-1-7 【解析】在Rt△宓中,sinJ=错误!， :.AD=错误!=错误! = 10 (cm), :.AB=AD=10 cm,
完整九年级数学锐角三角函数学生讲义.docx
锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题 . 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A 所对的边的邻边，∠ B 所对的边 AC记为 b，叫做∠ B 的对边，也是∠叫做斜边．BC记为 a，叫做∠ A 的对边，也叫做∠B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c， B c a A b C 锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA ，即sin A A的对边 a ； 斜边c 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA，即cos A A的邻边 b ； 斜边c 锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA ，即tan A A的对边 a . A的邻边b 同理 sin B B的对边b ； cos B B的邻边 a ； tan B B的对边 b ． 斜边c斜边c B的邻边a 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条
，， ，不能理解成sin 与∠ A，cos 与∠ A， tan 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略∠ A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角( 如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠ AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
【苏教版】初中数学九年级知识点总结 28锐角三角函数 一、知识框架 二、知识点、概念总结 １.Ｒｔ△ABC中 (１）∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sinA= ＼f(∠A的对边，斜边) (2）∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA= 错误! (３）∠Ａ的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tanA= 错误! (4)∠Ａ的邻边与对边的比值是∠Ａ的余切,记作cｏta= 错误! 2.特殊值的三角函数: a sina cosa ｔana cota 30°1 2 错误!错误!错误! ４5°错误!错误! 1 １ ６0°错误!1 2 3 错误! 3.互余角的三角函数间的关系 siｎ(90°－α)=cosα, cos(９0°-α)=sinα,
ｔaｎ(9０°-α）＝coｔα, coｔ(90°-α)＝ｔａnα.４. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin2(α)＋cos2(α）=1 tan2（α)+1=sｅc2(α） coｔ2（α)＋1=cｓc2（α) 积的关系： sinα=ｔanα·coｓα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·ｓｅｃα cotα=ｃｏｓα·cｓcα ｓecα＝tanα·cscα csｃα=secα·cotα 倒数关系： ｔanα·coｔα=1 sinα·cｓcα＝1 coｓα·secα＝1 5.三角函数值 （1)特殊角三角函数值 (2）0°～90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。 （3)锐角三角函数值的变化情况 (i）锐角三角函数值都是正值 （ｉi)当角度在0°~9０°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小）而增大(或减小） 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小（或增大） 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) （iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， ０≤sｉnα≤1, 1≥cosＡ≥０, 当角度在0°<∠A<90°间变化时，
《281锐角三角函数_正弦》教学设计
《28.1锐角三角函数正弦》教学设计 紫阳县汉王镇初级中学----郭昌林 一、教材简析：本章的主要内容是让学生初步掌握三角函数的概念和用边角关系解直角三角形的方法。锐角三角函数概念是本章的难点，也是学习本章的关键，难点在于锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间的对应关系。学生学习这一内容有一定的难度，需要借助实际问题来引入三角函数这一概念，并能使学生掌握运用三角函数的知识来解决实际问题的能力。同时注重培养学生的计算能力。 二、教学方法： （一）、运用类比教学，结合已学的基础知识，如一次函数、二次函数等知识内容，让学生理解三角函数的概念含义。 （二）、运用数形结合，借助直角三角形的性质，将实际问题抽象成具体的、学生容易接受的数学问题，运用三角函数和几何图形中的边角关系，使实际问题以图形形式直观形象地呈现，从而达到解决问题和提高学生计算能力目的。 （三）、运用转化对象，将抽象的数学应用问题转化为数学模型，把学生难懂的问题转化为易于接受的简单的问题加以解决。 三、教学目标 （一）、知识目标 1、通过对实际问题的探究，使学生能正确理解三角函数定义及正弦函数的概念。 2、理解在直角三角形中，当锐角度数一定时，这个角的对边与斜边的比值是固定的值。 （二）、能力目标 1、使学生能正确理解正弦函数定义，并能根据正弦函数定义正确进行相关计算。 2、结合对正弦函数定义的探究，培养学生由特殊到一般的演绎推理、分析、归纳的综合学习能力。 （三）、情感与态度目标 引导学生积极主动探究数学问题，培养学生学会思考，掌握归纳数学规律的方法。 四、教学重难点 （一）、重点：正确理解正弦函数的概念，会根据边长求出正弦值，或根据正弦值及一边长，求另一边的长等应用题。 （二）、难点：引导学生比较、分析并得出：在直角三角形中，任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定的事实。 五、教学设计 教学内容教师活动学生活动设计意图一、情景导入 大家知道我们汉王中学教学楼有多高 吗？（运用多媒体演示） 教师提出问题，引导学生思考。 学生通过 观看多媒体 的演示，思考 老师提出的 问题。 问题的提出， 目的在于引出新 课和引起学生思 考。 激发学生兴趣 和求知欲望。 A M B N
锐角三角函数超经典讲义
锐角三角函数 知识点一：锐角三角函数 1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin 。 3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos 。 4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan 。 sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=5 4 ，则AC ：BC ：AB=（ ） A 、3：4：5 B 、5：3：4 C 、4：3：5 D 、3：5：4 2、已知锐角α，cosα= 3 5 ，sinα=_______，tanα=_______。 3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB= = ______。 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则BC 等于_______。 5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ） A 、ncosB B 、1 n cosB C 、cos n B D 、不变 考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三
锐角三角函数及应用
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
九年级——锐角三角函数
锐角三角函数 【正弦、余弦与正切的概念】 【基础练习】 【例1】（2012?营口）在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则sinA的值为（） A ． 4 5 B． 3 5 C ． 3 4 D． 4 3 【例2】（2012?遂宁）在△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=5，则cosB的值是（） A． 4 5 B． 3 5 C． 3 4 D． 4 3 【例3】（2012?青海）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（） A． 4 5 B． 3 5 C． 3 4 D． 4 3 【例4】（2012?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 2 3，则BC的长为（）A．4 B．5C． 1813 13 D． 1213 13
【例5】（2012?哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（） A ． 2 3 B． 3 5 C． 3 4 D. 3 4 【例6】如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（） A． 3 4 B． 4 3 C． 4 5 D． 3 5 【例7】在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确 【例8】在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 2 3，则tanB等于（） A． 3 5 B． 5 3 C． 2 5 5D． 5 2 【例9】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．【例10】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．
锐角三角函数及其应用真题练习
锐角三角函数及其应用 命题点1 直角三角形的边角关系 1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是() A. 3 5B. 3 4C. 4 5D. 4 3 第1题图第3题图 2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4 5,AC＝6 cm.则BC的长度为() A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________． 4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝ 30°,tan∠BAC＝23 3,CD＝3,则AC＝________． 第4题图 命题点2 锐角三角函数的实际应用 5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα
第5题图第6题图第7题图 6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为() A. 1 1－sinα B. 1 1＋sinα C. 1 1－cosα D. 1 1＋cosα 7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米． 8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)． 第8题图 9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否
§281锐角三角函数(四)
数学导学案（8） §28.1锐角三角函数（四） 课型：新课 主备：陆明和 审稿： 领导签字： 班级： 学生姓名： 【学习目标】1.进一步理解锐角三角函数的定义，并记住它们的符号； 2.理解锐角的三角函数值的范围，以及随角度的变化情况，互余角的三角函数关系； 3.熟练进行 30°、 45°、60°角三角函数的计算。 【学习重点】目标1、2、3。 【学习难点】目标1、2、3。 【学习过程】 一、 独立看书87~76P 完 二、 完成下列预习作业： 1.在正方形网格中，∠AOB 如图放置， 则cos ∠AOB 的值为（ ）。 A. 55 B. 552 C. 2 1 D. 2 2. 如图，在△ABC 中, ∠C= 90°, C D ⊥AB 于点D ， AC =32,AB=23, 则tan ∠BCD 的值为（ ） A. 2 B. 22 C. 36 D. 3 3. 3. 在Rt △ABC 中, ∠C= 90°, BC ∶AC= 3∶4, 则cosA = . 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90°, AB =10cm ，sinA = 5 4 ,则BC= 。 5.计算： ?? ? -45tan 30 cos 60 sin 的值是 。 小组评价： 组长签字： 三、 师生合作探究，解决问题 探究一 如图，在等腰梯形ABCD 中,A D ∥BC, ∠DBC= 45°,翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E 。若AD=2,BC=8, 求(1)BE 的长， (2) ∠CDE 的正切值。 探究二 求适合下列各式的锐角α （1）2sin α－1= 0 （2）12 1 cos 2=+α ※探究三 如图，在△ABC 中，AB= 15，BC= 14,ABC S 三角形 =84. (1) 求tanC 的值； (2) 求sinA 的值。 B A C
初中锐角三角函数专题
第1页 目录 课题：锐角三角函数课件 ........................................................................................................................................ 1 解直角三角形应用题 ................................................................................................................................................ 5 解直角三角形的方法技巧 ...................................................................................................................................... 10 锐角三角函数考点 .................................................................................................................................................. 15 锐角三角函数 课后检测 . (18) 课题：锐角三角函数课件 【引题】 例题1：操作与探究 （1）度量下列一组直角三角形30度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？ （2）度量下列一组直角三角形45度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？ （3）猜想：当∠A 取其它一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比值是否定值？为什么？ （4）用同样的方法探讨∠A 的邻边与斜边、∠A 的对边与邻边的比有什么规律？为什么？ 45? 45? 45? C 2 B 2 A 2 A 1 B 1 C 1B ★【归纳与总结】 三角函数的定义：如图，在RtΔABC 中,∠C=90°， 例题2：如图：利用特殊直角三角形求特殊角的三角函数。 （1）已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，求30°角、60°角的三角函数，并填出表格。 （2）已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，求45°角的三角函数，并填出表格。 （3）分析上面特殊角的三角函数，你能从表格中发现什么规律？ A C B 45? 60? C B A 30?
寒假辅导(元6)(第2课)281锐角三角函数doc
第2课 28．1锐角三角函数（3）——特殊角三角函数值 姓名___________ 一、回顾与思考：一个直角三角形中， 一个锐角正弦是怎么定义的？ ；一个锐角余弦是怎么定义的？ ； 一个锐角正切是怎么定义的？ ；一个锐角余切是怎么定义的？ 二、思考与回答： 两块三角尺中有几个不同的锐角？ 是多少度？ 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值、正切和余切值码？． 例3：求下列各式的值． 1、cos 260°+sin 260°． 2、cos 45sin 45? ? －tan45°． 3、（09荆门）计算：104cos30sin 60(2)2008)-??+-- 4、（09义乌）计算：2 (2)tan 452cos 60-+-。 。 5、（09湖州）计算：()0 2cos602009π--+° 6、（11北京）计算：101()2cos30(22 --?-π) 7、（11广东）计算：20245sin 18)12011(-?+- 例4：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，，A 的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a ． 四、巩固练习： 〈一〉、选择题． 1、已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3 5 ，AB=15，则AC 的长是（ ）． A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2、点M （-sin60°，con60°）关于x 轴对称的点的坐标是 A. 3 12） B. （3-12-） C. （3-12） D. （12 -，3- 3、计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 B 32 D ．1 4、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3 2 ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 5、已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC 3，?则∠CAB 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．以上都不对 6、若（ 3 tanA-3）2 +│2cosB- 3 │=0，则△ABC （ ）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形 C ．是含有60°的任意三角形 D ．是顶角为钝角的等腰三角形 〈二〉、填空题． 7、（10红河自治州）计算：12+2sin60°= ． 8、计算：（10年济宁市)084sin 45(3)4?+-π+-的值是_______． 9、已知，等腰△ABC?的腰长为4 3 ，?底为30?°，?则底边上的高为______，?周长为______． 10、在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 5 2 ，则cosA=________． 11、计算： ()32 08160cot 33+--o －=________． 12、(11河源市)计算：0 11 3( ()33 2011) o π--+--__________ 五、中考链接： 〈一〉、选择题： 1、在△ABC 中，C=90°，AB=2，AC=1，则sinB 的值是（ ）
2020-2021学年九年级中考专题复习：锐角三角函数及其应用(含答案)
2020-2021中考专题复习：锐角三角函数及其应用 一、选择题 1. （2020·玉林）sin 45°的值是（ ） A ．12 B ．2 C ．2 D ．1 2. (2019?天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3. 在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4 5，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( ) A . 6 cm B . 7 cm C . 8 cm D . 9 cm 4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则房屋顶上弦杆AB 的长为( ) A.95sin α m B.95cos α m C.59sin α m D.59cos α m 5. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在 同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于 A ．asinx+bsinx B ．acosx+bcosx C ．asinx+bcosx D ．acosx+bsinx
6. （2020?湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上， 矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB ＝a ，BC ＝b ，∠DAO ＝x ，则点C 到x 轴的距离等于（ ） A ．a cos x +b sin x B ．a cos x +b cos x C ．a sin x +b cos x D ．a sin x +b sin x 7. 如图，以 O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵ 上一点(不与A ，B 重合)， 连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α) 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ， 若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( ) A . 12 B . 22 C . 32 D . 33 二、填空题 9. 【题目】 （2020·攀枝花）sin60?= . 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝ 15 8 ，则AB ＝________． 11. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的 高度AD 是__________米(结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
九年级下册锐角三角函数专题讲义
1 九年级下册锐角三角函数专题讲义 一．知识框架 二．锐角三角函数 1.Rt △ABC 中: (1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边 斜边 (2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边 斜边 (3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 2.特殊角的三角函数: A sinA cosA tanA 30° 12 32 33 45° 22 22 1 60° 32 12 3
2基础训练： 例1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ） A ． sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ． 2sinA ＝sinA ′ D ． 不能确定 例2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 4 3 练习1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2 sin 3 A =，则边AC 的长是（ ） A B ．3 C ．4 3 D 练习2.如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值 25 24 7C B A 练习3.等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB 练习4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= 练习5.在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝ 4 ，c ＝2，则a ＝ 练习6.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（ ） Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．1
中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用
课题：锐角三角函数的实际应用 【基础知识回顾】 知识点1：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切） 技巧点拨： ①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边（谐音“正邪”) ③切——垂直的意思，只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思 余弦——分子是剩下的直角边（即邻边） 余切——分子是剩下的直角边（即邻边） 简记为：正弦——对比斜(或正比斜） 正切——对比邻 余弦——邻比斜 知识点2：常见的锐角三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 技巧点拨 sin α 2 1 2 2 2 3 分母都是2，分子分别是 √13 cos α 23 2 2 2 1 分母都是2，分子分别是 3√1 tan α 3 3 1 3 分母都是3，分子分别是 3、1、3 【新课知识讲解】 知识点3：解直角三角形 1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（三角形内角和） （3）边角之间的关系：（锐角三角函数） b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A ======== cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长等 例1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠α＝30°，∠β＝45°，求大桥AB 的长(结果保留根号)． 【分析】 第一步：确定相关直角三角形 本题中∠α、∠β分别在Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP 中（由平行线内错角相等转化已知角） 第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值 第三步：代入已知条件求值，并简答 【答案】 由题意得，ΔAOP 、ΔBOP 均为直角三角形， ∠PAO=∠α＝30°，∠PBO=∠β＝45°，PO=450m
《281锐角三角函数正弦》说课稿
《锐角三角函数——正弦》说课稿 这节课的内容是义务教育课程标准教材数学九年级下册锐角三角函数——正弦。我将从三个方面来就本节课的教学进行解说。 一、教材分析 （一）教材所处的地位及作用 本章是在学生已学了一次函数、反比例函数、二次函数以及相似形的基础上进行的，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系,这对学生来说是个全新的领域。一方面，这是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础. （二）学情分析 1、九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。 2、学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础,学生要得出锐角与比值之间的对应关系，这种对应关系不同于以前 学习的数值与数值之间的对应关系，因此对学生而言建立这种对应关系有一定困难。 （三）教学目标 1、理解锐角正弦的意义，了解锐角与锐角正弦值之间的一一对应关系，进一步体会函数的变化与对应的思想； 2、会根据锐角正弦的意义解决直角三角形中已知边长求锐角正弦，以及已知正弦值和一边长求其它边长的问题； 3、经历锐角正弦意义的探索过程，体会从特殊到一般的研究问题的思路和数形结合的思想方法； 4、经历由实际问题引发出对正弦函数讨论的过程，培养学生观察生活、发现问题、研究问题的能力。 （四）重点、难点 1、重点：锐角正弦的定义及应用； 2、难点：理解锐角正弦是锐角与边的比值之间的函数关系. 3、难点突破方法：由特殊角入手开展讨论，自然过度到一般角；从具体情境抽象出正弦的概念，并结合多个实例从不同角度深化理解。 二、教法及学法分析 本节课采用情境引导和探究发现教学法，通过适宜的问题情境引发新的认知冲突，建立知识间的联系。同时采用多媒体辅助教学，以直观生动地呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。 三、教学过程的设计分析 为了实现本节的教学目标，教学过程分为以下六个环节： （一）复习旧知，情境引入（二）合作探究，获得新知：（三）巩固训练，落实双基 （四）强化提高，培养能力（五）小结归纳，拓展深化（六）反馈练习，自主评价。