2016年3月2016届高三第二次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(正式考试版)

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2016年第二次全国大联考【新课标I 卷】

理科数学试卷

考试时间：120分钟；满分150分

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合{

}

2

60,A x x x x =--<∈R ，{}

||3,B y y x x A ==-∈，则A B 等于（ ） A ．{

}

03x x << B ．{}10x x -<<

C ．{}20x x -<<

D ．{}

33x x -<<

2．命题p ：0x ?∈R ，不等式00cos 10x

x e +-<成立，则p 的否定为（ ）

A ．0x ?∈R ，不等式0

0cos 10x x e +-≥成立 B ．x ?∈R ，不等式cos 10x

x e +-<成立 C ．x ?∈R ，不等式cos 10x

x e +-≥成立 D ．x ?∈R ，不等式cos 10x

x e +->成立

3．在复平面内复数)0z b =>则复数z bi -在复平面上对应的点在

（ ）

A

．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九 章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈 一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8

尺，高1丈1尺， 问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ）

A ．1998立方尺

B ．2012立方尺

C ．2112立方尺

D ．2324立方尺 5．cos54cos 66cos 6?+?-

?=（ ） A ．0 B ．

13 C ．1

2

D ．1 6．已知双曲线22

221(0)x y a b a b

=>>－与两条平行直线1l ：y x a =+与2l ：y x a =-相交所得

的平行四边形的面积为2

6b ，则双曲线的离心率为（ ）

A B ．

3

C D ．2 7．如图，已知在等腰梯形ABCD 中，AB CD ，45BAD ∠=?，,,E F G 分别是,,AB BC CD

的中点，若EF 在AG ||AB

CD

=

（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

8．如图所示，函数()sin()(0,||2

f x x π

ω?ω?=+><

离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线

231

122

y x x =-++上，则()f x ＝（ ）

A ．1()sin(63f x x π=+

B ．1()sin()23

f x x π=+

C ．()sin()2

3f x x π

π=+ D ．()sin()26

f x x ππ

=+

第7题图

第8题图

第9题图 9．某程序框图如图所示，若输出4

3

S =

，则判断框中M 为（ ） A ．7k <？ B ．6k ≤？ C ．8k ≤？ D ．8k <？

10．已知5

()a bx -的展开式中第4项的系数与含4

x 的系数分别为80-与80，则5

()a bx -展开式 所有项系数之和为（ ）

A ．1-

B ．1

C ．32

D ．64

11．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的

三视图，其体积为

169π ） A ． B ． C ．4 D 12．已知关于x 的方程2

2ln 20x a x ax --

=

有唯一解，则实数a 的 值为（ ） A ．1 B ．

12 C ．13 D ．1

4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知函数3

()()x

x a f x e x e

=+

为偶函数，则实数a =___________． 14．已知F 是抛物线24y x =的焦点，过该抛物线上一点M 作准线的垂线，垂足为N ，若

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4

||3

MF =，则NMF ∠=___________．

15．已知实数x 、y 满足0

0220

y x y x y ≥??

+≤??++≤?

，则213log (

12y z x -=+-的取值范围是___________． 16．如图，已知点D 在ABC ?的BC 边上，且90DAC ∠=?，

cos C =

，6AB =，BD =，则s i n A D B A D ∠=__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且1(3)6

n n n S a a =+．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设1

(1)(2)

n n n b a a =-+，12n n T b b b =+++ ，求证：16n T <．

18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱） 中，11,2BC CC AC ===，=90

ABC ∠?． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A B C ；

（2）设D 为AC 的中点，求平面1ABC 与平面1C D B 所成锐角的 余弦值．

19．（本题满分12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性， 是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开 展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20,30）

，[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80] 后得到如图所示的频率分布直图．问：

（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数； （2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的值； （3）若从年龄在[20,40）中的广场舞者中任取2名，求 这两名广场舞者年龄在[30,40）中的人数x 的分布列及 其数学期望．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点到直线0x y -+=的

距离为5 （1）求椭圆C 的方程；

（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得过Q 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足22

11

QA QB

+ 为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）已知函数2()

21(f x ax bx e =++为自然对数的底数)． （1）若2

1

=

a ，求函数()()x F x f x e =的单调区间； （2）若a e

b 2

1--=，方程(

)x f x e =在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（本小题满分10分）选讲4-1：几何证明选讲

如图，过圆O 外一点P 作圆的切线PC ，切点为C ，割线PAB 、割线PEF 分别交圆O 于A 与

B 、E 与F ．已知PB 的垂直平分线DE 与圆O 相切．

（1）求证：DE BF ；

（2）若PC =1DE =，求PB 的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 的极坐

标方程为6cos 2sin ρθ

θ

=+

，直线l 的参数方程为12x y ?=??=??（t 为参数）．

（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；

（2）设点(1,2)Q ，直线错误！未找到引用源。与曲线错误！未找到引用源。交于,A B ，求

||||QA QB 错误！未找到引用源。的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+． （1）若2a =，解不等式()3f x ≤；

（2）若存在实数a ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．

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