矩阵的秩及其应用

山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用

姓名杨敏娜

院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学

班级11510102

学号1151010240

指导教师王栋

答辩日期

成绩

矩阵的秩及其应用

内容摘要

矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。

论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。

本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。

【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何

The Rank of Matrix and the Application of the Rank of

Matrix

Abstract

The matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.

First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.

This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.

【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry

一、引言 (01)

二、矩阵的秩 (01)

(一)矩阵的秩的定义 (01)

(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)

（三）求抽象矩阵的秩 (02)

三、矩阵的秩的应用 (03)

(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)

(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)

(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)

(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)

(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)

四、小结 (09)

参考文献 (10)

致谢 (11)

矩阵的秩及其应用

学生姓名：杨敏娜指导老师：王栋

一、引言

矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。通过对矩阵的秩的探讨，能更好地理解矩阵的有关概念，同时对判别向量组之间的线性相关性，求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的基础解系有一定意义。分析矩阵的秩在线性空间方面的应用，能准确快速地判断空间中直线的位置关系。另外，在求解一些复杂行列式的值的过程中，将行列式问题转换成矩阵问题，大大简化了计算过程。

深刻地理解矩阵的秩将对今后线性代数方面的学习有很大的帮助。

二、矩阵的秩

(一)矩阵的秩的定义

介绍矩阵的秩，首先应该了解矩阵的k 阶子式，借助k 阶子式的定义，进一步来了解矩阵秩的概念。下面对k 阶子式进行简单介绍：

1.k 级子式[1]:

在一个n 阶行列式D 中任意选取k 行和k 列（k n ≤）。位于这些行和列的交点上的2k 个元素依照原来的序次构成一个k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式。

例如 : 11

8339

512104A ?? ?=

? ??

矩阵A 的第一、三行，第二、三列相交处的元素所构成的

二阶子式为183104D ??

= ???

。当然，矩阵的k 阶子式并不是唯一的。

显然,m n ?矩阵A 共有k k

m n C C 个k 阶子式。

2. 矩阵的秩[1] :

设()

ij m n

A a ?=有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式(如果存在的话)全为0 , 称

r 为矩阵A 的秩，记作()R A 或秩A 。

矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩，同理，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩等于矩阵的列秩，所以一般就统称为矩阵的秩。

(二)矩阵的秩的一般性质及求法

1.矩阵的秩的一些简单性质

我们通常规定零矩阵的秩即为0。

(1).如()R A r =，则A 中最少有一个r 阶子式0r D ≠，其余1r +阶子式全部为0，且更高阶子式为0,此中r 是A 中非零的子式的最高阶数。 (2).初等矩阵均满秩，任何矩阵乘满秩方阵，秩均不变的。

(3).n n ?矩阵的行列式为零的充分必要条件是，矩阵A 的秩小于n 。

(4).由行列式的性质知，()()

R A R A =。

(5).()()()}{,,0min ,R A m R A n R A m n <<<<。

(6).如果n n A ?，且

0A ≠，则()R A n =。反之，如()R A n =，则0A ≠

所以有，方阵A 可逆的充分必要条件是()R A n =。此时称矩阵A 是满秩的。 (7).A 可逆时，()()R AB R B =；B 可逆时，()()R AB R A =。 2.具体矩阵的秩的求法

(1).根据矩阵的秩的定义,求矩阵的非零阶子式的最高的阶数,即为矩阵的秩。 (2).应用等价矩阵有相同秩的结论,利用矩阵的初等变换，先将一般矩阵简化成阶梯形，那么矩阵的秩即为阶梯矩阵中非零的行数，在初等变换中，可以只进行初等行变换，也可以初等行变换或初等列变换混用来对它进行化简。例一：对如下的矩阵求它的秩

1211

4210A ?? ?=

? ?-?

求法一：由于012

11420210A ==≠-，而A 的最高阶数是三阶，所以 ()3R A =。

求法二：10

211

1401

2210002A ???? ?

=→ ? ? ? ?--?

对它进行初等变换以后, 最后的阶梯矩阵中，非零行数为3，所以该矩阵秩为3,即()3R A =。

注：以上的两种求矩阵秩的方法中，两者各有千秋，运用初等变换的方法求矩

阵的秩，一般适用于超过三阶的矩阵，比较快速方便。因为对于高阶子式来说，其k 级子式的个数较多，计算比较冗长且难度较大。而对于低阶的矩阵，求k 级子式更直接易理解。（三）、求抽象矩阵的秩

遇到抽象矩阵求秩，用上面的两种方法是不能解决问题的，所以，求抽象矩阵的秩，除了以上介绍矩阵的秩的相关性质外，还需补充一些有关矩阵的秩的有关结果。

结论一：设A 是秩为r 的m n ?矩阵，则A 可以表示成r 个秩是1的矩阵的和。

例二 : 证明0()()0A r r A r B B ??

=+ ???

。

证明设(),()R A r R B s ==,那么肯定有可逆的矩阵11,P Q 与可逆的矩阵22,P

Q ，使得 11

121112221200000

0r s E E P ABQ P AQ Q P P BQ Q P ----????==

? ?????

化简,A B 为等价标准形,故一定有可逆矩阵1

12200,0

0P Q P Q ????

? ?????

，使成立

1111222200000000000000

00000000r r E P Q P AQ A P Q P BQ B E ??

???????? ?

== ? ? ? ? ?

???????? ?

??，因为左乘及右乘和

原来矩阵的秩仍然相等，最终有00000000()()000000

00r r E A r r r s r A r B B E ??

??? ?

==+=+ ? ?

???

。

结论二：设A 是n 阶方阵（2n ≥），则有

当()R A n =，时，*

()R A n =

当()1R A n =-时，*

()1R A =

当()1R A n ≤-时，*

()0R A =

例题三：已知A 是3阶非奇异矩阵,那么**(())r A =?

解:从结论二得*****3,()3(())1,()20,()2r A r A r A r A ?=?

==??

所以*()1r A =或0,故**(())0r A =

结论三[3]：,A B 为n 阶方阵且0AB =时，()()r A r B n +≤。

例四：已知123244812Q t ?? ?

= ? ???

，P 为3阶非零矩阵,且还有0PQ =成立,则 ( )

A. 6t =时,P 的秩必为1

B. 6t =时，P 的秩必为2

C. 6t ≠时,P 的秩必为1

D. 6t ≠时, P 的秩必为2

解：因为0P ≠，所以秩()1r P ≥，又由题知道0PQ =，所以()()3r P r Q +≤。当6t =时，()1,r Q =故可以得1()2r P ≤≤，当6t ≠时，()2r Q =，又可以得1()321r P ≤≤-=，即肯定有()1r P =。

结论四[3]：,A B 为n 阶方阵且0AB =时，()()r A r B n +≤。

例五：设A 为n 阶方矩阵，另有22A A E +=，其中E 是n 阶的单位矩阵，试证()()r A E r A E n -++=。此中的()r A 表示矩阵A 的秩。

解：由题中已知22A A E +=可知()(2)0A E A E -+=，进而可以得到

()()r A E r A E n -++≤，又因为()(2)[()(2)](3)r A E r A E r A E A E r E n -++≥--+=-=，所以最后可以得到()()r A E r A E n -++=。

三、矩阵的秩的应用

(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用

矩阵的秩对研究向量组间是否线性相关有重要的意义, 咱们可以通过把向量组转换成矩阵的形式，通过判断矩阵的秩的情况来间接判定向量组是相关还是无关的。那么我们首先从向量组之间的关系着手。 1.向量组间的关系

(1).定义[4]：若向量组A 中每个向量都可以由向量组B 线性表示，则称向量组A 组能由向量组B 线性表出。两个向量组若能互相线性表出，则称这两个向量组等价。向量组中任何一个最大的线性无关组所含有的向量数称为这个向量组的秩。 (2).有关定理

①[4]若向量组A 能由向量组B 线性表示，则知秩A ≤秩B ； ②[4]等价的向量组必等秩,但是其逆不真；

③[4]矩阵中行向量组的秩和列向量组的秩都等于其非零子式的最高阶数,所以矩阵的秩既等于其行秩(即其行向量组的秩),又等于其列秩(即其列向量组的秩)。

④[4]一个向量组中，其任何两个极大线性无关组都是等价的。 2.判定向量组是否线性相关

利用矩阵的秩来判断向量组的线性相关性,通常用来判断有m 个n 维向量的向量组。

令12,(,,)m A =??? ，当()R A m =，此向量组1,2,,m ??? 是线性无关的，当

()R A m <，此向量组是线性相关的。

例六: 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)T T T

t ?=?=?=。（1）问t 的值取多少时，该向量组线性相关？（2）问t 的值取多少时，该向量组线性无关？

解: 1,2,3111111()12301213021A t t ????

? ?=???=→ ? ?

? ?-????

从最后一个矩阵可知：

（1）t ≠5时，()3R A =,向量组线性无关；

（2）t=5时，()2R A =,向量组线性相关。 3.根据矩阵的秩判断向量组线性相关性

利用矩阵的秩证明向量组的线性相关性，就是把向量组中每一个向量用矩阵形式表示出来，根据矩阵秩的性质，分析向量组间相关性。通常用于证明具有两对向量的向量组。

例七: 设向量组123,,???是线性无关的，根据矩阵的秩的有关性质试证：

122331,,?+??+??+?也是线性无关的。

证明令 112223331,,,βααβααβαα=+=+=+

则 123123101(,,)(,,)110011βββααα??

?= ?

???

因矩阵 101110011??

? ? ???

可逆，故123123(,,)(,,)3R R βββααα==

所以123,,βββ即122331,,?+??+??+?线性无关。

（二）、矩阵的秩在线性方程组方面的应用

1.矩阵的秩和非齐次线性方程组

矩阵的秩在判断线性方程组解情况中，有很重要作用，能够快速确定方程组解的个数。接下来我们从定理的证明入手，来探究矩阵的秩与线性方程组之间的关系

。

定理[4] ：对于非齐次线性方程组

1111221121122222

1122n n n n r r rn n r

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??

?+++=? 此方程组有解的充分必要条件即为方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。

例八: 分析以下方程组，探究λ分别取什么值时，方程组的解是什么样子?

12312312

3022

x x x x x x x x x λλλ++=??

++=-??++=? 解: 其系数矩阵

111

A λλ

λ?? ?= ? ??

增广矩阵

101

211

2B λ

?? ?=- ? ??

若要方程组有解则需rankA rankB =.

221111111101101111011002A λλλλλλλλλλλλλ??????

? ? ?=→--→-- ? ? ? ? ? ?--+-??????

2211011211211201140114112011200224B λλλλλλλλλλλλλλλ?????? ? ? ?=-→---→--- ? ? ? ? ? ?-----+--??????

由此可以看出

当1λ=时 ()1R A = ()3R B = 方程组无解。

当2λ=-时 ()()2R A R B == 方程组含无穷多个解。当1λ≠,且2λ≠-时 ()()3R A R B == 方程组有唯一解。总结：

对于非齐次线性方程组，我们设A 为其系数矩阵，B 为其增广矩阵。

当0A ≠且()()R A R B =时，方程组有唯一的解。

当0A =，方程组有无穷多个解。

当()()R A R B ≠时，方程组无解。

由上可以看出，矩阵的秩和线性方程组的解之间是紧密的相连的，从矩阵的秩入手，不仅可以简单判断出非齐次线性方程组是否有解，而且可以判断出齐次线性方程组解的情况。

2.矩阵的秩与齐次线性方程组定理2[1] :对于齐次线性方程组

111122121122221122000

n n n n

r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??

?+++=? 在齐次线性方程组有非零解时，它有基础解系，并且基础解系所含有解的个数等于n r -，这里r 表示系数矩阵的秩。例九

12312312

3000

x x x x x x x x x λλλ++=??

++=??++=? （1）解: 方程组的系数矩阵为A ，

111

A λ

λ?? ?= ? ??

计算系数矩阵的行列式,

211

11(1)(2)11A λλλλλ

==--+

1λ=时，0A =方程组有非零解，

111111111000111000A ????

? ?=→ ? ? ? ?????

2λ=-时，

211101210

111120

A --??

?? ? ?=-→- ?

? ? ?-???

? 综上可得，当1λ=时，()1R A =,此时方程组有两个非零解。

此时方程组可化简为

1230x x x ++= （2）方程组(1)与(2)同解，且为

132330x x x x x =-??=??=?和12223

x x x x x =-??

=??=? 由于12110,110αα--????

? ?== ? ? ? ?????

两个向量组线性无关，故为方程组的基础解系，令X 表

示方程组的通解。

因此，方程组的通解为1122,X k k αα=+ 其中.k R ∈

当2λ=-时，()R A ＝2,此时方程组有一个非零的解

方程组化简为

1323

0x x x x -=??

-+=? （3）方程组(1)与方程组(3)同解

233

3x x x x x x

=??

=??=? 由于111α??

?= ? ???

线性无关，故而可以作为方程组的一个基础解系，所以，此方程组的通解为,X k α= 其中.k R ∈

当1λ≠且2λ≠-时，0A ≠,此时方程组只有零解。

(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用

通过以上对矩阵秩的相关定理和结论的证明，我们还将矩阵的秩推广到解析几何中，来判断空间几何中两条直线的位置关系。主要用直线的方程构造方程组，运用上面介绍矩和方程组的关系，分析方程组系数矩阵与它的增广矩阵的秩的情况，就能够确定方程组的解的情况，进而判断空间中两条直线的位置关系，下面详细阐述有关解法。

给定以下两条直线的方程

111122220

:0a x b y c z d L a x b y c z d +++=??+++=? ； 3333244440

:0a x b y c z d L a x b y c z d +++=??

+++=? ；那么这两条直线之间的位置关系取决于方程组

11112222

333344440000

a x

b y

c z

d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d +++=??+++=??

+++=??+++=? 解的情况，那么由上面结果我们可以知道，此方程组解的情况又由其系数矩阵的秩

与其增广矩阵的秩决定。

各个方程都表示着一个平面，那么线性方程组则表示这两个平面的交线。因此有2()3,2()4R A R B ≤≤≤≤

,A B 分别表示该方程组的系数矩阵和它的增广矩阵。

当()()R A R B =时，那么该方程组有解，即说明两条直线存在交点。

特别地，若()()2R A R B ==，此方程组的解是无穷多的，即代表两直线完全一样。

当()()3R A R B ==时,此时方程组的解仅有一个，代表两条直线相交。

当()()R A R B ≠此时方程组无解，那么两条直线没有交点。在空间几何里，这两条直线为平行或者异面。

(四)矩阵的秩在特征值方面的应用

矩阵的秩与特征值之间的关系讨论中，着重研究特殊情况，即当矩阵的秩为1

的时候时，特征值得取值如何。

引理[1] ：设()ij A a =是3阶矩阵，那么它的特征多项式为

32112233()E A a a a s A λλλλ-=-+++-，其中

111322

231112313332

332122a a a a a a s a a a a a a ????

??=++

? ? ???????

，特别地，若秩()1R A =，那么特征多项式为

(

)()ii ii E A a a λλλλλ-=-=-∑∑，则矩阵A 的特征值是

3121

,0ii i a λλλ====∑

例十: 根据矩阵的秩求下列行列式的值。

x z z z z z x z z z z

z x z z z z z x z z

z z

解

0000000000000

0000x z

z z z z z z z z x z z x z z z z z z z z x z z z x z z z z z z z x z z

z x

z z

z x z

z z z z x z z z z z x z ---=+--

(1) (2)

从上易直观看出，矩阵(1)的秩是1,因此其特征值是123,n nz λλλλ==== 。矩阵(2)的秩为n,因此其特征值为12n x z λλλ====- 。所以，原矩阵的特征值为12,n nz x z x z λλλ=+-===- 。

综上可得

x z z z z z x z z z z

z x z z z z z x z z

z z

＝1

12()()

n n nz x z x z λλλ-=+--

(五)矩阵的秩在其他方面的应用

1.矩阵的秩在多项式方面的应用

矩阵的秩在多项式中的应用,主要体现在互素的多项式中，通过运用多项式互素的有关性质，确定多项式秩之间的数量关系来解题。

(1).(),()f x g x 是多项式，且次数均大于1,若(),()f x g x 互素，且()()0f x g x =，则(())(())R f A R g A n +=。

(2).设()[],1,2,3i f x P x i m ∈= ,()n A M P ∈，若()()()12,,...,m f x f x f x 互素,且

()()()12...0m f A f A f A =, 则()()()()()()()12...1m n r f A r f A r f A m n ≤+++≤-。

(3).设()[],1,2,3i f x P x i m ∈= ,()n A M P ∈，若()()()12,,...,m f x f x f x 两两互素，()()0i i f A f A =，

,,1,2,i j i j m ≠= 则()()()()()()12...m R f A R f A R f A n +++=。

2.矩阵的秩判定二次型正定问题

设二次型1,2(,)T n f x x x x Ax = ,其中T A A =,可以有以下结论:

(1).()f x 的正惯性指数与秩都等于n ?正定。 (2).()f x 的负惯性指数与秩都等于n ?正定。 (3).()f x 的正惯性指数与秩相等?半正定。

例十一：设A 是n 阶半正定矩阵，B 为n 阶正定矩阵，证明A B B +≥，等号成立当并且只当0A =。

证：由题目知A B +正定，()A B B +-半正定，B 正定，由矩阵的正定的结论知

A B B +≥。

当0A =时，A B B +=,

当0A ≠时，秩1A ≥，B 正定，所以必有实可逆矩阵P ，有 'P BP E =

''()P A B P P AP E C E +=+=+

其中'C P AP =，所以秩 1C ≥

设C n 个特征值为1,,n λλ ，而秩1C ≥，由C 半正定，因此最少有个0i λ>，不妨设10λ>。那么C E +的n 个特征值为11,,1n λλ++ ，故有2

1(1)(1)n C E P A B λλ+=++=?+ 所以2

1A B P

，故2

1B P

，即证得A B B +>。

3．用矩阵的秩解决线性空间问题

在n 维线性空间里，n 个线性无关的向量12,,,n εεε 称为空间一组基，设α为任一向量，那么α=1122n n a a a εεε+++ ，其中系数是唯一的，这组数即为α在一组基下的坐标，可以看出线性空间的维数和它的一组基中含有的向量是相等的。这样就把解决维数问题简化成分析向量的个数问题，就是来分析向量组的秩。

四、小结

矩阵的秩是线性代数重要组成部分，其教学方法一直被广泛探讨，本文基于一些研究和具体的例子，以及自身的学习实践，探究以知识点为基础的应用。同时给出了一些具体求法与分析过程，要求熟练掌握矩阵的性质与秩的概念，灵活推广一些结论，并能充分利用它解决相关问题。

矩阵的秩在代数中的应用十分广泛，除了以上介绍的以外，在矩阵的逆以及伴

随矩阵的计算中也占据重要地位。另外，矩阵在一些物理，化学，经济学，控制论

等等学科研究中也分布较多，是学科研究的一个重要分支。在这个快速发展的社会

，数学与生活关系逐渐密切，本文所介绍只是矩阵的秩在数学和生活中的一部分应用。矩阵的秩作为代数的重要部分，它的引入为解决某些数学问题提供新的探索途

径和秘诀，在一些实际运用中大大简便了运算过程和步骤，为我们的学习和应用带

来极大好处和便捷，关于矩阵的秩的其他方面的知识还需要大家继续探索。

参考文献：

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编王萼芳,石生明修订高等代数-3版. [M]北京:高等教育出版社，2003，9。

[2] 黄光谷,黄东,李杨,蔡晓英编高等代数辅导与习题解答[M]华中科技大学出版社， 2005，3。

[3] 周泰文,王家宝,贺伟奇编线性代数全程导学湖南科学技术出版社，2002，11。

[4] 陈志杰编高等代数与解析几何(上册) [M] 北京：高等教育出版社，2008.12。

[5] 冯锡刚编解析几何中矩阵秩的应用[J] 教学管理与研究社，

[6] 邹晓光编互素多项式与矩阵的秩的一个简单结论及其应用[J] 金华职业技术学院学报，2006年第6卷第1期。

行(列)满秩矩阵的性质及其应用

摘要本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组

Abstract This article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible. Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The System of linear equations.

目录 1 引言 (1) 2 预备知识 (2) 3 可逆矩阵的性质及其应用 (3) 4 行（列）满秩矩阵的性质 (5) 5 行（列）满秩矩阵的若干应用 (11) 5.1 在矩阵秩的证明中的应用 (11) 5.2 在齐次线性方程组中的应用 (12) 5.3 在非齐次线性方程组中的应用 (15) 5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 (17) 参考文献 (20)

矩阵秩的研究与应用

. I 矩阵秩的研究与应用 [摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。矩阵一旦确定秩也就确定了。它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。这里就不细说了，具体容还得从文章中来了解。[1][2][3] [关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。矩阵秩的研究与应用

. I 1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。矩阵方面的理论是非常重要的容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。

从不同的角度看矩阵的行秩与列秩

tianpeng.72pines./ 从不同的角度看矩阵的行秩与列秩——兼论如何学好线性代数线性代数中，有那么几个神秘又神奇的东西，总是让初学它的人琢磨不透，无法理解，其中就有矩阵的行向量和列向量的关系，为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量，列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢？或者考虑稍微简单一点的问题，一个方阵，为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线性无关或相关呢？行秩为何等于列秩？这本来应该是一个基本又简单的事实。但是，请回忆一下你当初初学线性代数时的容编排顺序，是怎么引入这个问题的，当时又是怎样解决这个问题的？传统的教材编写思路是从线性方程组开始整个线性代数话题的引入，这个过程中定义行列式和矩阵，用n 元数组引入向量，线性相关和无关等概念，讨论解存在的条件，解的结构，等等。总之，一切以方程组为核心，给人的感觉就是线性代数就是方程组的理论，一切讨论的目的都是为了解决小小的方程组问题。在这个过程中，有一个矩阵行秩等于列秩的命题，此时学生只了解方程组理论和行列式，因此这时对这个问题的解释当然也无法离开方程组或行列式。下面简述两个典型的教材中的证明方法：第一个证明来自志杰《高等代数与解析几何》。证明：首先，矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列秩。这是由向量组的初等变换不改变向量组的线性相关或无关性保证的，即将某个向量乘以非零的倍数、将某个向量加到另一个向量上，都不改变向量组的线性相关或无关性。接着证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。设A是m*n阶矩阵，任意从A的n个列向量中选取k个列向量a1,a2,…,ak，它们线性无关的充要条件是线性方程组a1×1+a2×2+…+akxk=0只有零解。而对矩阵A进行初等行变换不改变此方程组的解，因此不改变这k个列向量的线性相关或无关性。这说明A的列向量的秩在矩阵的初等行变换中不变。同理矩阵的初等列变换不改变矩阵的行秩。接下来，可以把A经过初等行变换和初等列变为只有对角线上有1或0，其它位置都为0的矩阵，在这个过程中行秩和列秩都不改变，从这个矩阵中看出行秩等于列秩，因此原来的矩阵行秩也等于列秩。第二个证明来自北大数学系几何与代数教研室前代数小组编《高等代数》证明：考虑线性方程组AX=0，首先证明如果未知数的个数超过A的行秩，那么它有非零解。设m*n阶矩阵A的行秩为r，考虑方程组AX=0，它由m个方程n个未知数组成。从A的行向量中选取r个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B，那么方程组AX=0和BX=0同解。这时，如果B的列数大于行数，那么方程组BX=0必有非零解，从而AX=0也有非零解。接着证明行秩等于列秩。设m*n阶矩阵A的行秩为r，列秩为s。考虑A的任意r+1个列向量组成的矩阵C，因为C的行秩不大于r（因为C的行向量都是A的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0有非零解，这说明这r+1个列向量线性相关。所以A的列秩最大为r，即s<=r。同理可证r<=s，因此s=r。有了行秩等于列秩的性质，完全可以用行秩或列秩定义矩阵的秩了。编写教材的人和老师们都认为，只要能够顺利定义出矩阵的秩，这个证明就足以满足初学时的需要了，既没有必要又没有条件再将它深入地挖掘下去。但是它仍然让我困惑，即使把书上的这个证明看得明明白白，也不理解为什么行秩等于列秩。因为向量是个几何的概念，现在这个证明中看不出一点几何上向量的影子，这两个例子都依赖于线性方程组理论，都离不开高斯消元法，都是代数上的推导。虽然从代数上推导出了这个结果，但是在几何上我依然无法接受这个结果。矩阵的行向量和列向量“从图形上”到底是什么关系？可不可以让我一下子就能看出来它们的

矩阵的秩及其应用

山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用姓名杨敏娜院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级11510102 学号1151010240 指导教师王栋答辩日期成绩

矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何

The Rank of Matrix and the Application of the Rank of Matrix Abstract The matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations. First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space. This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples. 【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry

关于矩阵秩的证明

关于矩阵秩的证明 -----09数应鄢丽萍中文摘要在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组

约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质：（1） r(A)=r(A T ); （2） r(kA)=? ??=≠0 00 )(k k A r （3）设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0 (5) r ???? ??B O O A =r(A)+r(B)≤r ??? ? ??B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B) 矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得 ???? ??B O O A →???? ??B A O A →???? ??+B B A O A 即???? ??E E O E ???? ??B O O A ???? ??E E O E =??? ? ??+B B A O A 由性质5可得 r ???? ??B O O A =r ??? ? ??+B B A O A 则有r(A)+r(B)≥r(A+B) 定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m 阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB) 证：由初等变换可得 ???? ??O A B E n →? ??? ??-AB O B E n →???? ??-AB O O E n 即? ??? ??-s n E A O E ??? ? ??O A B E n ? ??? ? ?-m n E O B E ＝???? ??-AB O O E n 则r ???? ??O A B E n =r ??? ? ??-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)

矩阵秩的研究与应用毕业论文

百度文库-让每个人平等地提升自我 3 矩阵秩的研究与应用 [摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。矩阵一旦确定秩也就确定了。它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。[1][2][3] [关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。

百度文库-让每个人平等地提升自我 4 矩阵秩的研究与应用 1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。

从不同的角度看矩阵的行秩与列秩解析

https://www.360docs.net/doc/2312139131.html,/ 从不同的角度看矩阵的行秩与列秩——兼论如何学好线性代数线性代数中，有那么几个神秘又神奇的东西，总是让初学它的人琢磨不透，无法理解，其中就有矩阵的行向量和列向量的关系，为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量，列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢？或者考虑稍微简单一点的问题，一个方阵，为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线性无关或相关呢？行秩为何等于列秩？这本来应该是一个基本又简单的事实。但是，请回忆一下你当初初学线性代数时的内容编排顺序，是怎么引入这个问题的，当时又是怎样解决这个问题的？传统的教材编写思路是从线性方程组开始整个线性代数话题的引入，这个过程中定义行列式和矩阵，用n元数组引入向量，线性相关和无关等概念，讨论解存在的条件，解的结构，等等。总之，一切以方程组为核心，给人的感觉就是线性代数就是方程组的理论，一切讨论的目的都是为了解决小小的方程组问题。在这个过程中，有一个矩阵行秩等于列秩的命题，此时学生只了解方程组理论和行列式，因此这时对这个问题的解释当然也无法离开方程组或行列式。下面简述两个典型的教材中的证明方法：第一个证明来自陈志杰《高等代数与解析几何》。证明：首先，矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列秩。这是由向量组的初等变换不改变向量组的线性相关或无关性保证的，即将某个向量乘以非零的倍数、将某个向量加到另一个向量上，都不改变向量组的线性相关或无关性。接着证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。设A是m*n阶矩阵，任意从A的n个列向量中选取k个列向量a1,a2,…,ak，它们线性无关的充要条件是线性方程组a1×1+a2×2+…+akxk=0只有零解。而对矩阵A进行初等行变换不改变此方程组的解，因此不改变这k 个列向量的线性相关或无关性。这说明A的列向量的秩在矩阵的初等行变换中不变。同理矩阵的初等列变换不改变矩阵的行秩。接下来，可以把A经过初等行变换和初等列变为只有对角线上有1或0，其它位置都为0的矩阵，在这个过程中行秩和列秩都不改变，从这个矩阵中看出行秩等于列秩，因此原来的矩阵行秩也等于列秩。第二个证明来自北大数学系几何与代数教研室前代数小组编《高等代数》证明：考虑线性方程组AX=0，首先证明如果未知数的个数超过A的行秩，那么它有非零解。设m*n阶矩阵A的行秩为r，考虑方程组AX=0，它由m个方程n个未知数组成。从A的行向量中选取r个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B，那么方程组AX=0和BX=0同解。这时，如果B的列数大于行数，那么方程组BX=0必有非零解，从而AX=0也有非零解。接着证明行秩等于列秩。设m*n阶矩阵A的行秩为r，列秩为s。考虑A的任意r+1个列向量组成的矩阵C，因为C的行秩不大于r（因为C的行向量都是A的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0有非零解，这说明这r+1个列向量线性相关。所以A的列秩最大为r，即s<=r。同理可证r<=s，因此s=r。有了行秩等于列秩的性质，完全可以用行秩或列秩定义矩阵的秩了。编写教材的人和老师们都认为，只要能够顺利定义出矩阵的秩，这个证明就足以满足初学时的需要了，既没有必要又没有条件再将它深入地挖掘下去。但是它仍然让我困惑，即使把书上的这个证明看得明明白白，也不理解为什么行秩等于列秩。因为向量是个几何的概念，现在这个证明中看不出一点几何上向量的影子，这两个例子都依赖于线性方程组理论，都离不开高斯消元法，都是代数上的推导。虽然从代数上推导出了这个结果，但是在几何上我依然无法接受这个结果。矩阵的行向量和列向量“从图形上”到底是什么关系？可不可以让我一下子就能看出来它们的秩是相等的？尽管经过了行列变换之后行列秩相等是显然的，但这个过程中却把原来的行列向量给变得面目全非了。更有甚者，有些教材上竟然用矩阵的子式和行列式理论推导行秩等于列秩，由于这种证明过于复杂，这里就不列出了。直到最近的一次偶然机会，又让我想起了这个问题。一开始，发现它和对偶空间与对偶映射有关系。记得当初学习线性代数时，直到最后才接触了一些有关对偶空间和对偶映射的知识，教材还写得十分抽象，以至于我们都囫

矩阵的秩

授课题目：第五节矩阵的秩教学目的：理解矩阵的秩的定义，掌握秩的求法，重点掌握线性方程组有解的充要条件. 教学重点：掌握秩的求法和线性方程组有解的充要条件. 教学难点：线性方程组有解的充要条件. 课时安排：2学时. 授课方式：多媒体与板书结合. 教学基本内容： 2.5 矩阵的秩 1概念定义1 在矩阵m n A ?中任取k 行k 列，位于这些行列交叉处的2 k 个元素按原次序组成的 k 阶行列式称为A 的k 阶子式.则A 中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为()R A ，并规定(0)0 R =. 注1）若()R A r =，则A 中至少有一个r 阶子式不等于零；而若存在1r +阶子式，则所有的1r +阶子式全为0. 2）对m n A ?，有()m in (,)R A m n ≤. 3）()()T R A R A =. 4）对于n 阶方阵A ，()R A n =的充分必要条件是0A ≠，故也称0A ≠的A 为满秩矩阵. 5) 定义1 对给定的m n ?矩阵A ，称其非零子式的最高阶数为A 的秩，记作()R A ，并规定(0)0R =.一些教科书称这样定义的秩为矩阵的行列式秩. 在第4章建立向量组秩的概念后，分别定义矩阵的行秩与列秩，届时指出矩阵秩就是其列向量组的秩或行向量组的秩. 6) 若发现A 有一k 阶非零子式，则必成立()R A k ≥. 2 计算直接按定义去计算矩阵的秩，需要求出矩阵最高阶的非零子式，在一般情形下这决非轻而易举的事情，但对形状特殊的行阶梯形矩阵而言，这却是极为简单的. 性质1 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数. 定理1 矩阵经行初等变换后，其秩不变. 推论1 矩阵经列初等变换后，其秩不变. 推论2 设A 为m n ?矩阵，B 为m 阶满秩方阵, C 为n 阶满秩方阵，则 ()()()()r A r B A r A C r B A C ===.

矩阵的秩及其应用

矩阵的秩及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。关键词：矩阵的秩；线性方程组；特征值；多项式引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。 1．矩阵的秩及其求法 1.1矩阵的秩的定义定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。零矩阵的秩规定为零。注：由定义可以看出

(1)若A 为n m ?矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n = (2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一下这两种方法。方法1 按定义例1.2.1 求矩阵A =?? ????????--413112212228 32的秩解按定义3解答，容易算出二阶子式 12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式 13 1 2122832--=0，43112122232-=0，41312212 2 8 3 --=0，4 1112222 8 2 -=0 所以 ()2r A = 方法2 初等变换法引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。例1.2.1求矩阵23822122121314A -?? ??=-?? ????的秩解用“→”表示对A 作初等变换，则有 A →13142122122382????-????-??→131406440966????-????-??→131406440000?? ?? -??????=B ，在矩阵B 中易知,所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式 1306 ≠0. 所以()2r B =, 可得

矩阵及其秩在高等代数中应用论文

矩阵及其秩在高等代数中的应用玲毓师高等专科学校数学教育摘要：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解、极大无关组的情况等都有着密切的联系。通过引用了大量的实例说明了矩阵及其秩是高等代数中的一个重要的概念,希望通过本文的介绍可以让读者对矩阵及其秩有更深的了解。关键词：矩阵；秩；变换；可逆

1 引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多科学中,如：线性代数、线性规划、统计分析、以及组合数学等,而本文主要介绍其在高等代数中的应用。高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的一门课程它常见于很多科学中, 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值对其在高等代数中的应用概括为：求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,化二次型为标准型,求规正交基,对称变换,正交变换的判断,欧氏空间中的积的表示。这就使矩阵成为数学中一个极其重要而且广泛的工具.本文对矩阵的基本理论及其秩的应用进行具体阐述。 2矩阵的基本理论定义2.1 矩阵是一简化了的表格,一般地

111212122212 n n m m mn a a a a a a ? ? ? ??? 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列,共n m ?个元素,其中第i 行、第j 列的元素用ij a 表示.通常我们用大写黑体字母,,A B C 表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用 m n A ?或() ij m n a ?表示.矩阵既然是一表,就不能像行列式那样算出一个数来. 定义2.2 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作0. 定义2.3 如果矩阵A 的行、列数都是n ,则称A 为n 阶矩阵,或称为n 阶方阵. 定义2.4 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵.若是存在F 上n 阶矩阵B ,使得, AB BA I == 那么A 叫作一个可逆矩阵,而B 叫作A 的逆矩阵.用1 A -来表示. 定义2.5 主对角线上元素全为1的对角矩阵,叫做单位矩阵,记为I ,即 1000100 1I ?? ? ?= ? ??? n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量.行向量、列向量统称为向量.向量通常用小写黑体字母a ,b ,x ,y 表示.向量中的元素又称为向量的分量.11?矩阵因只有一个元素,故视之为数量,即()a a =. 定义2.6 把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵,记为T A ,即 111212122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ?? ,11 21 11222212m m T n n mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 若方阵A 满足T A A =,则称A 为对称矩阵. 定义2.7n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线.n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记作A . 定义2.8 设有n 阶方阵 111212122212 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 的行列式A 有2 n 个代数余子式ij A （j i ,=1,2,…,n ）,将它们按转置排列,得到矩阵

矩阵的秩及其求法

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式定义1 设在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。例如共有个二阶子式，有个三阶子式矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为 A 的一个三阶子式。显然，矩阵 A 共有个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩定义2 设有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。规定：零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。例1 设为阶梯形矩阵，求R (B )。解由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),min 1(n m k k ≤≤? ? ??? ??----=1 10145641321A 182423=C C 43334=C C 101 22--= D 1 0156 43213-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0, r D ≠()(). T R A R A =0,A ≠0.A ≠??? ? ? ??=000007204321B 0 2 021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ???? ? ??=100010011C 125034000D ?? ? = ? ? ??2 123508153000720 000 0E ?? ? ?= ? ??? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3 R E =

矩阵的秩及其应用

(1)若A 为n m ?矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n = (2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一下这两种方法。方法1 按定义例1.2.1 求矩阵A =?? ????????--413112212228 32的秩解按定义3解答，容易算出二阶子式 12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式 13 1 2122832--=0，43112122232-=0，41312212 2 8 3--=0，4 1112222 8 2 -=0 所以 ()2r A = 方法2 初等变换法引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。例1.2.1求矩阵23822122121314A -?? ??=-?? ????的秩解用“→”表示对A 作初等变换，则有 A →13142122122382????-????-??→131406440966????-????-??→131406440000?? ?? -??????=B ，在矩阵B 中易知,所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式 1306 ≠0. 所以()2r B =, 可得

求矩阵的秩的步骤

求矩阵的秩的步骤方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或。 m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

矩阵的秩在现实中的应用

矩阵的秩的应用 (一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用矩阵的秩对研究向量组间是否线性相关有重要的意义, 咱们可以通过把向量组转换成矩阵的形式，通过判断矩阵的秩的情况来间接判定向量组是相关还是无关的。那么我们首先从向量组之间的关系着手。 1.向量组间的关系 (1).定义[4]：若向量组A 中每个向量都可以由向量组B 线性表示，则称向量组A 组能由向量组B 线性表出。两个向量组若能互相线性表出，则称这两个向量组等价。向量组中任何一个最大的线性无关组所含有的向量数称为这个向量组的秩。 (2).有关定理 ①[4]若向量组A 能由向量组B 线性表示，则知秩A ≤秩B ； ②[4]等价的向量组必等秩,但是其逆不真； ③[4]矩阵中行向量组的秩和列向量组的秩都等于其非零子式的最高阶数,所以矩阵的秩既等于其行秩(即其行向量组的秩),又等于其列秩(即其列向量组的秩)。 ④[4]一个向量组中，其任何两个极大线性无关组都是等价的。 2.判定向量组是否线性相关利用矩阵的秩来判断向量组的线性相关性,通常用来判断有m 个n 维向量的向量组。令12,(,,)m A =???L ，当()R A m =，此向量组1,2,,m ???L 是线性无关的，当 ()R A m <，此向量组是线性相关的。例: 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)T T T t ?=?=?=。（1）问t 的值取多少时，该向量组线性相关？（2）问t 的值取多少时，该向量组线性无关？解: 1,2,3111111()12301213021A t t ???? ? ?=???=→ ? ? ? ?-???? 从最后一个矩阵可知：（1）t ≠5时，()3R A =,向量组线性无关；（2）t=5时，()2R A =,向量组线性相关。 3.根据矩阵的秩判断向量组线性相关性利用矩阵的秩证明向量组的线性相关性，就是把向量组中每一个向量用矩阵形式表示出来，根据矩阵秩的性质，分析向量组间相关性。通常用于证明具有两对向量的向量组。例: 设向量组123,,???是线性无关的，根据矩阵的秩的有关性质试证： 122331,,?+??+??+?也是线性无关的。证明令 112223331,,,βααβααβαα=+=+=+ 则 123123101(,,)(,,)110011βββααα?? ?= ? ???

矩阵的秩及其多样性的解法

矩阵的秩及其多样性的解法数学学院数学与应用数学（师范）专业摘要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要指标，本文研究了与矩阵的秩的相关性质及其多样性的解法, 用定理和实例说明了行列式、线性空间、线性方程组、分块矩阵和矩阵秩的关系及其在求矩阵的秩中的应用。关键词: 矩阵的秩; 行列式; 线性方程组； Abstract ：Matrix theory is an important part of the main object of study in algebra and rank of the matrix is an important indicator of the matrix, we study the rank of the matrix solution of the nature and diversity of theorems and examples illustratedeterminant, linear space, linear equations, the block matrix and the matrix rank and matrix rank. Keywords: Rank of matrix; V ector; Linear equations; 引言、引理矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩相关性质及等价条件，并从行列式、线性方程组、线性空间以及分块矩阵的角度来阐述矩阵秩的不同解法。矩阵的秩的等价刻划设A F m n ?∈ ，则rank(A)=r ?A 中不为零的子式的最大阶数是r ； ?A 中有一个r 阶子式D 不等于零，所有包含D 作为子式的 r+1阶子式全为零； ? 存在可逆矩阵m n P F ?∈，m n Q F ?∈，使得000r E P A Q ?? = ??? ； ? A 的行（列）向量的极大无关组所含向量的个数为r;

浅谈矩阵的秩及其应用定稿

山西师范大学本科毕业论文浅谈矩阵的秩及其应用姓名李欢院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级07510101 学号0751010125 指导教师张富荣答辩日期2010.12.20 成绩

浅谈矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。而在矩阵理论中，矩阵的秩又是一个十分重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且初等变换不改变矩阵的秩，是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆，线性方程组的解得情况等都有密切的关系。论文开头介绍了矩阵的秩，矩阵的行秩和列秩以及与矩阵有关的常见的命题和定理，部分定理并给出证明。第二部分介绍了计算矩阵的两种计算方法，求非零子式的最高级数法和初等变换法，并对其优劣进行比较。在矩阵的运算过程中，矩阵的秩存在某些关系，熟练地掌握这些关系对解有关矩阵的习题很有帮助。最后详细地介绍了矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系，并将其应用到解析几何中,判断空间两直线位置关系。本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。【关键词】矩阵矩阵的秩线性方程组非零子式的最高级数初等变换

A Brief Introduction on the rank of Matrix and the Application of the rank of Matrix Abstract In matrix theory, rank of matrix is an important concept. It is a matrix of number of characteristics, and it is invariant under elementary transformations. Rank of matrix may have a close relationship with the solution of linear equations. At the beginning, the paper presents the concept of rank of matrix, the matrix row rank and column rank, and the common matrix-related theorems. And some theorems are given proof. The second section of the paper describes two methods for calculating the rank of matrix, one is seeking the highest grade of the non-zero minor, and the other is elementary transformation. And it compares their advantages and disadvantages. In the process of matrix computation, there are some important relations about the matrix rank .If we have a good understanding about these relations, it will be very helpful. Finally, it has a detail description on the application of the rank of matrix, especially the relationship between the rank of matrix and the solution of linear equations. In this paper, it contains some important concepts related to the rank of matrix, the proof and some specific application. 【Key Words】matrix rank of matrix linear equations the highest grade of the non-zero minor elementary transformation