折叠几何综合专题---16道题目(含答案)
01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E 处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.
(1)求证：四边形EFDG是菱形；
(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．
(1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，
∠EF A ＝∠DF A ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DF A ＝∠EGF ， ∴∠EF A ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形；
(2)解：EG 2＝1
2GF ·AF .理由如下：
如解图，连接ED ，交AF 于点H ， ∵四边形EFDG 是菱形，
∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝1
2DE ，
∵∠FEH ＝90°－∠EF A ＝∠F AE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°，
∴Rt △FEH ∽Rt △F AE ，∴EF AF ＝FH
EF ，即EF 2＝FH ·AF ， 又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2＝1
2GF ·AF ；
(3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2
＝12AF ·GF ，∴(25)2
＝12(6＋GF )·GF ，
解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10. ∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45， DE ＝2EH ＝2
EG 2
－（1
2GF ）2＝8，
∵∠CDE ＋∠DF A ＝90°，∠DAF ＋∠DF A ＝90°， ∴∠CDE ＝∠DAF ，∵∠DCE ＝∠ADF ＝90°， ∴Rt △DCE ∽Rt △ADF ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25
＝810，
∴EC ＝855，∴BE ＝BC －EC ＝125
5.
02如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE 与AD相交于点F，若DE＝4，BD＝8.
(1)求证：AF＝EF；
(2)求证：BF平分∠ABD.
证明：(1)在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°， ∵△BED 是△BCD 对折得到的， ∴ED ＝CD ，∠E ＝∠C ， ∴ED ＝AB ，∠E ＝∠A ，(2分) 又∵∠AFB ＝∠EFD ， ∴△ABF ≌△EDF (AAS)，
∴AF ＝EF ；(4分)
(2)在Rt △BCD 中，∵DC ＝DE ＝4，BD ＝8， ∴sin ∠CBD ＝DC BD ＝12， ∴∠CBD ＝30°，(5分) ∴∠EBD ＝∠CBD ＝30°，
∴∠ABF ＝90°－30°×2＝30°，(7分) ∴∠ABF ＝∠EBD ， ∴BF 平分∠ABD .(8分)
03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。
（1）求证：△BHE≌△DGF；
（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，
∵△BEH是△BAH翻折而成，
∴∠1=∠2，，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，
∵△DGF是△DGC翻折而成，
∴∠3=∠4，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，
∴△BEH与△DFG中，
∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠2=∠3，
∴△BEH≌△DFG，
（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，
∴BD= = =10，
∵由（1）知，BD=CD，CG=FG，
∴BF=10-6=4cm，
设FG=x，则BG=8-x，
在Rt△BGF中，
BG2=BF2+FG2，即（8-x）2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
04把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，则∠DEF 的度数是．
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：计算题。
分析：根据折叠的性质得到DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠FDC=30°，则∠DFC=60°，所以有∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2，然后利用两直线平行内错角相等得到∠DEF的度
数．
解答：解：∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使
顶点B和顶点D重合，折痕为EF，
∴DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，
在Rt△DFC中，FC=2，DF=4，
∴∠FDC=30°，
∴∠DFC=60°，
∴∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2=60°，
∴∠DEF=∠BFE=60°．
故答案为60．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质和含30°的直角三角形三边的关系．
05如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）
A． 6 B．12 C．2D． 4
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：设BE=x，表示出CE=16﹣x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE=CE=16﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
即82+x2=（16﹣x）2，
解得x=6，
∴AE=16﹣6=10，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=10，
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=8，AH=BE=6，∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，
在Rt△EFH中，
EF=
==4．
故选D．
点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．
06如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=
第1题图
分析：根据四边形ABCD是矩形，得出∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，再根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，得出∠EBD+∠DBF=45°，从而求出答案．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
根据折叠可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，
∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，
∴∠EBD+∠DBF=45°，
即∠EBF=45°，
故答案为：45°．
点评：此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，再进行计算，是一道基础题．
07如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）
3
08如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=BE，则长
AD与宽AB的比值是．
k k k
=
=，即=，
AD=BC=CF=3
的比值是．
故答案为
09如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为2t（用含t 的代数式表示）．
EF=t÷t=3×t=2
t
10如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EB C．
（第1题图）
11如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF 折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；
②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）