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8.1 证明对于任意函数f:N→N，其中f(n)≥n，不论用单带TM模型还是用两带只读输入TM模型，所定义的空间复杂性类SPACE(f(n))总是相同的。
证明：为区别，记单带TM模型在f(n)空间内能判定的语言类为SPACE1(f(n)), 而记双带只读输入TM模型在f(n)空间内能判定的语言类为SPACE2(f(n))。该题要证明的是SPACE1(f(n))＝SPACE2(f(n))。
首先SPACE1(f(n))?SPACE2(f(n))。这是因为设A∈SPACE1(f(n))，且设M设在f(n)空间内判定A的单带TM，如下构造双带TM只读输入TM N。
N=“对于输入串w：
1)将w复制到工作带上。
2)在工作带上模拟M，直到停机。
3)若M接受，则接受；否则，拒绝。”
N在f(n)空间内运行，L(N)=L(M)=A，所以A∈SPACE2(f(n))。
首先SPACE2(f(n))?SPACE1(f(n))。设A∈SPACE2(f(n))，且N为在f(n)空间内判定A的双带只读输入TM。按照用单带TM模拟多带TM的常规方式构造M：
M＝“对于输入串w：
1)初始化工作带为＃w1’w2…w n#’.其中以’标记N的两个读写头。
2)模拟N运行直到停机。每一步模拟，要两次扫描带子。第一次
扫描确定读写头下符号，第二次扫描根据N的转移函数完成改
写和移动读写头的工作。
3)若N接受，则接受；否则，拒绝。”
L(M)=L(N)=A。由于f(n)≥n，M的运行空间是f(n)+n+2＝O(f(n))。
8.3 考虑广义地理学游戏，其中起始节点就是又无源箭头指入的节点。选手I有必胜策略吗？选手II呢？给出理由。
由表上来看选手II有必胜策略
I2→II4(不能选3)→I5→II6(不能选2)→I?。
8.4 证明PSPACE在并、补和星号运算下封闭。
证明：(1) 并：
对任意L1, L2∈PSPACE，设有n a空间图灵机M1和n b空间图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。
对L1?L2构造判定器M:
M=“对于输入字符串w=w1w2…w n:
1)初始化将带子改写为w1w1 w2w2…w n w n。
2)在w上分别运行M1和M2，即在奇数格运行M1和在偶数格运
行M2。
3)若有一个接受则接受，否则拒绝。”
空间复杂度：n a+n b=O(n c),
所以L1?L2属于PSPACE，即PSPACE在并的运算下封闭。(2) 补：
对任意L1属于PSPACE，设有空间n a判定器M1判定它。令L2为L1的补，构造L2的判定器M:
M=“对于输入字符串w :
1)w上运行M1。
2)若M1接受则拒绝，若M1拒绝则接受。”
空间复杂度为：n a。所以L2属于PSPACE类，即PSPACE在补的运算下封闭。
(3)星号：
设M为判定A的空间n a图灵机。设计如下TM：
D=“对于输入y=y1y2…y n:
1)若y=ε，则接受；
2)对于i,j＝1,2,…,n(i≥j)重复(3)。
3)在y i y i+1…y j上运行M。若接受，则令T(i, j)=“yes”。
4)重复下面步骤直到表T不再改变。
5)对于i,j＝1,2,…,n(i≥j)重复下面步骤。
6)若T(i,j)=“yes”，转(5)。否则继续。
7)对于k = i,…,j-1,若T(i,k)=T(k+1,j)= “yes”,则令T(i,j)=“yes”.
8)若T(1, n)=yes，则接受；否则拒绝。”
运行空间：第3)步模拟M运行需要n a空间，存储表T需要n2空间，所以A*属于PSPACE。
8.5 证明NL在并、补和星号运算下封闭。
证明：(1) 并：
对任意L1, L2∈NL，设有O(logn)空间图灵机M1和M2判定它们，且c=max{a,b}。
对L1?L2构造判定器M:
M=“对于输入字符串w=w1w2…w n:
1)初始化将带子改写为w1w1 w2w2…w n w n。
2)在w上分别运行M1和M2，即在奇数格运行M1和在偶数格运
行M2。
3)若有一个接受，则接受；否则拒绝。”
空间复杂度：2O(logn)=O(logn),
所以L1?L2属于NL，即NL在并的运算下封闭。
(2) 并：
对任意L1, L2∈NL，设有O(logn)空间图灵机M1和M2判定它们，且c=max{a,b}。
对L1?L2构造判定器M:
M=“对于输入字符串w=w1w2…w n:
1)初始化将带子改写为w1w1 w2w2…w n w n。
2)在w上分别运行M1和M2，即在奇数格运行M1和在偶数格运
行M2。
3)若两个都接受，则接受；否则，拒绝。”
空间复杂度：2O(logn)=O(logn),
所以L1?L2属于NL，即NL在交的运算下封闭。
(3)星号：
设M为判定A的空间O(logn)图灵机。设计如下TM：
D=“对于输入y=y1y2…y n，
1)令i=1.
2)若i≤n,非确定的选取j≤n,重复以下步骤。
3)以二进制将i,j存储于工作带。
4)对于y i y i+1…y j运行M。
5)若M拒绝，则拒绝；若M接受，则令i=j+1。
6)接受。
运行空间：第4)步模拟M运行需要O(logn)空间，存储i,j需要2logn 空间，所以A*属于NL。
8.6证明PSPACE难的语言也是NP难的。
证明:称B是PSPACE难的，若对于任意A属于PSPACE,都有A≤P B。称B是NP难的，若对于任意A属于NP,都有A≤P B。
现在设B是PSPACE难的。对于任意A属于NP，由于NP?PSPACE，所以A≤P B。这说明B也是NP难的。
8.7 证明A DF A属于L。
证明：构造如下双带只读输入TM：
P=“对于输入
1)在w上模拟M运行，每次以二进制记录当前状态编号和当前
所读符号个数。
2)若w读完后M接受，则接受；否则，拒绝。”
设M的状态数加w长度为n则P需要2logn空间存储当前状态编号，
已读符号个数。
8.29 证明A NFA是NL完全的。
证明：首先证明A NFA属于NL。构造图灵机
N=“对于输入
1)设置当前状态为起始状态，以二进制记录其编号。
2)对于i=1,2,…,n,n+1重复以下步骤。
3)非确定的选取0≤j≤k，其中k是M的状态数。根据转移函数，
由ε箭头转移j次，每次非确定的选择下一个状态。
4)若i≤n，根据转移函数，当前状态和w i，非确定的选择下一
个状态。
5)若当前状态是接受状态，则接受。”
再证明A NF A是NL完全的，由于PA TH是NL完全的，所以只需证明PA TH可以多项式归约到即可。
对于
f(
最后，由f的构造可知