2018课标版理数一轮(6)第六章-数列(含答案)2 第二节 等差数列及其前n项和夯基提能作业本

第二节等差数列及其前n项和

A组基础题组

1.(2016青岛模拟)在等差数列{a n}中,a2+a12=32,则2a3+a15的值是()

A.24

B.48

C.96

D.无法确定

2.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-1

3

a11的值为()

A.14

B.15

C.16

D.17

3.(2016淄博模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若-a m

A.S m>0且S m+1<0

B.S m<0且S m+1>0

C.S m>0且S m+1>0

D.S m<0且S m+1<0

4.数列{a n}的前n项和S n=2n2+3n(n∈N*),若p-q=5,则a p-a q=()

A.10

B.15

C.-5

D.20

5.设数列{a n}的前n项和为S n,若S n

S2n

为常数,则称数列{a n}为“吉祥数列”.已知等差数列{b n}的首项为1,公差不为0,若数列{b n}为“吉祥数列”,则数列{b n}的通项公式为()

A.b n=n-1

B.b n=2n-1

C.b n=n+1

D.b n=2n+1

6.在等差数列{a n}中,公差d=1

2

,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=.

7.等差数列{a n}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{a n}的前n项和S n中最大的为.

8.(2016福建莆田期中)如果数列{a n}满足a1=2,a2=1,且a

n-1

-a n

a

n-1

=a n-a n+1

a n+1

(n≥2),则这个数列的第10项等

于.

9.(2016威海模拟)已知S n为正项数列{a n}的前n项和,且满足S n=1

2a n2+1

2

a n(n∈N*).

(1)求a1,a2,a3,a4的值;

(2)求数列{a n}的通项公式.

10.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数,

(1)证明:a n+2-a n=λ;

(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.

B组提升题组

11.(2016德州模拟)已知正项数列{a n}的前n项的乘积T n=1

4n2-6n

(n∈N*),b n=log2a n,则数列{b n}的前n项

和S n中最大的是()

A.S6

B.S5

C.S4

D.S3

12.已知等差数列{a n}的公差d>0,若a1+a2+…+a2017=2017a m(m∈N*),则m=.

13.(2016四川成都一诊)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4+a9=24,则S8

8·S10

10

的最大值

为.

14.(2016安徽安庆二模)已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列,S n为其前n项和,且a n=S2n-1(n∈N*).

若不等式λ

a n ≤n+8

n

对任意n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为.

15.已知数列{a n}是等差数列,b n=a n2-a n+1

2.

(1)证明:数列{b n}是等差数列;

(2)若a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k(k为常数),求数列{b n}的通项公式;

(3)在(2)的条件下,若数列{b n}的前n项和为S n,是否存在实数k,使S n当且仅当n=12时取得最大值?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.

16.已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.

(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n},求证:{a n}为等差数列;

(2)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n},求{b n}的前n项和S n.

答案全解全析 A 组 基础题组

1.B 由等差数列的通项公式知,a 2+a 12=2a 1+12d=2(a 1+6d)=32,所以a 1+6d=16,所以2a 3+a 15=3a 1+18d=3(a 1+6d)=48.

2.C 设等差数列{a n }的公差为d,

∵a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,∴5a 8=120,a 8=24,∴a 9-1

3

a 11=(a 8+d)-1

3

(a 8+3d)=2

3

a 8=16.

3.A 由题意知,a 1+a m >0,a 1+a m+1<0,得S m =

m (a 1+a m )

2

>0,S m+1=

(m +1)(a 1+a m +1)

2

<0.

4.D 解法一:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2

+3n-[2(n-1)2

+3(n-1)]=4n+1, 当n=1时,a 1=S 1=5,符合上式, ∴a n =4n+1,∴a p -a q =4(p-q)=20.

解法二:由题意可知{a n }为等差数列,且公差d=2×2=4,∴a p -a q =d(p-q)=20.

5.B 设等差数列{b n }的公差为d(d ≠0),S n S 2n

=k,因为b 1=1,则n+12n(n-1)d=k 2n +1

2×2n(2n-1)d ,即

2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n 上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=1

4.所以数列{b n }的通项公式为b n =2n-1.

6.答案 10 解析 S 100=

1002

(a 1+a 100)=45,a 1+a 100=0.9,a 1+a 99=a 1+a 100-d=0.4,则a 1+a 3+a 5+…+a 99=502

(a 1+a 99)=50

2

×0.4=10.

7.答案 S 5

解析 ∵ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴ a 5>0,a 6<0,

∴S n 中最大的为S 5. 8.答案

15

解析 ∵

a n -1-a n a n -1

=

a n -a n +1a n +1

(n ≥2),∴a n =2a n -1a n +1

a

n +1+a n -1

(n ≥2),∴2a n

=1

a

n +1

+1

a n -1

(n ≥2),

∴ 1

a n

为等差数列.∴公差d=1

a 2

-1

a 1

=1-12=12,∴1a 10

=12+9×12=5,∴a 10=1

5.

9.解析(1)已知{a n}是正项数列,由S n=1

2a n2+1

2

a n(n∈N*),可得a1=1

2

a12+1

2

a1,解得a1=1;S2=a1+a2=1

2

a22+1

2

a2,

解得a2=2;

同理,a3=3,a4=4.

(2)S n=1

2a n2+1

2

a n,①

当n≥2时,S n-1=1

2a

n-1

2+1

2

a n-1,②

①-②化简得(a n-a n-1-1)(a n+a n-1)=0(n≥2),

又{a n}为正项数列,∴a n-a n-1=1(n≥2).

由(1)知a1=1,故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列,故a n=n.

10.解析(1)证明:由题设a n a n+1=λS n-1,知a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减可得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1. 由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.

(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.

此时a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}(n∈N*)是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}(n∈N*)是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.

所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.

因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.

B组提升题组

11.D当n=1时,a1=T1=1

4-5

=45,当n≥2时,a n=T n

T

n-1

=1

4

2n-7

,显然a1=45也适合上式,所以数列{a n}的通项公

式为a n=1

42n-7

,所以b n=log2a n=14-4n,数列{b n}是以10为首项,-4为公差的等差数列,所以

S n=10n+n(n-1)(-4)

2

=-2n2+12n=-2[(n-3)2-9],易得S n中最大的是S3.

12.答案1009

解析因为数列{a n}是等差数列,所以a1+a2+…+a2017=2017a1+2017×2016

2

d=2017(a1+1008d),又a m=a1+(m-1)d,所以根据题意得,2017(a1+1008d)=2017[a1+(m-1)d],解得m=1009.

13.答案 64

解析 设等差数列{a n }的公差为d,则a 2+a 4+a 9=3a 1+12d=24,即a 1+4d=8,所以

S n n

=na 1+

n (n -1)

2

d n

=a 1+

n -12

d=8-4d+

n -12

d,则S 88=8-4d+72d=8-d 2,S 1010=8-4d+92d=8+d 2,S 88·S 10

10= 8-d 2 8+d

2 =64-d 2

4≤64,

当且仅当d=0时取等号,所以S

88

·

S 1010

的最大值为64.

14.答案 9

解析 a n = S 2n -1?a n = (2n -1)(a 1+a 2n -1)

2

= (2n -1)a n ?a n 2

=(2n-1)a n ?a n =2n-1,n ∈N *

.

因为λ

a n ≤

n +8n

,所以λ≤

(+8)(2n -1)

n

,即λ≤2n-8n

+15.易知y=2x-8x

(x>0)为增函数,∴2n -8n

+15≥2×1-8

1

+15=9,

所以λ≤9,故实数λ的最大值为9. 15.解析 (1)证明:设{a n }的公差为d,则

b n+1-b n =(a n +12-a n +22)-(a n 2

-a n +12)=2a n +12-(a n+1-d)2

-(a n+1+d)2

=-2d 2

,

∴数列{b n }是以-2d 2

为公差的等差数列.

(2)∵a 1+a 3+a 5+…+a 25=130,a 2+a 4+a 6+…+a 26=143-13k,∴13d=13-13k,∴d=1-k,又13a 1+

13×(13-1)

2

×2d=130,∴a 1=-2+12k,∴a n =a 1+(n-1)d=(-2+12k)+(n-1)(1-k)=(1-k)n+13k-3,∴b n =a n 2

-a n +12

=(a n +a n+1)·(a n -a n+1)=-2(1-k)2

n+25k 2

-30k+5.

(3)存在.

要满足当且仅当n=12时S n 最大,则b 12>0,b 13<0.即

-2(1-k )2·12+25k 2-30k +5>0,-2(1-k )2·13+25k 2

-30k +5<0? k 2+18k-19>0,k 2-22k +21>0? k >1或k <-19,k >21或k <1?k>21或k<-19,故存在满足题意的实数k,此时k ∈(-∞,-19)∪(21,+∞). 16.解析 (1)证

明:∵f(x)=x 2

-2(n+1)x+n 2

+5n-7=[x-(n+1)]2

+3n-8,∴a n =3n-8.∵a n+1-a n =3(n+1)-8-(3n-8)=3,∴数列{a n }为等差数列.

(2)由题意知,b n =|a n |=|3n-8|,∴当1≤n ≤2,n ∈N *

时,b n =8-3n,S n =n (b 1+b n )2

=

n [5+(8-3n )]2

=

13n -3n 2

2

;当

n ≥3,n ∈N *

时,b n =3n-8,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =5+2+1+…+(3n-8)=7+

(n -2)[1+(3n -8)]2

=

3n 2-13n+28

2

.

∴S n = 13n-3n 2

2

,1≤n ≤2,n ∈N *,

3n 2-13n+28

2

,n ≥3,n ∈N *.