2016海淀区高三一模文

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习

数学试卷（文科） 2016.4

本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．

1．已知集合A ＝{}|23x z x ∈-≤<，B ＝{}|21x x -≤<，则A B ＝ A ．{}2,1,0-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}|21x x -<< D ．{}|21x x -≤<

2、已知向量(1,),(,9)a t b t == ，若a b

，则t ＝

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为

A ．－1

B ．1

C ．－i

D ．i

4．若x ，y 满足20

400

x y x y y -+≥??

+-≤??≥?

，则12z x y =+的最大值为

A ．

52 B ．3 C ．7

2

D ．4 5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．

33 B ．32 C ．

233 D ．26

3

6、已知点P 00(,)x y 在抛物线W ：2

4y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为 A 、

12 B 、1 C 、3

2

D 、2 7．已知函数sin(),0()cos(),0

x a x f x x b x +≤?=?

+>?，则“4π

α=”是“函数()f x 是偶函数“的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则

下列叙述正确的是

A ．甲只能承担第四项工作

B ．乙不能承担第二项工作

C ．丙可以不承担第三项工作

D ．获得的效益值总和为78

二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．函数22x y =

-的定义域为＿＿＿

10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =-，则21a a -＝_______．

11．已知l 为双曲线C ：22

221x y a b

-=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为（2,0），点C

的右顶点为_______，则C 的方程为_______．

12．在1

331,2.log 22

这三个数中，最小的数是_______．

13．已知函数()sin(2)f x x ?=+，若5(

)()212

12

f f π

π

--

=，则函数()f x 的单调增区间为＿＿ 14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝

{}12,,,k X X X ，均满足,,,i j s t X X M X X M ?∈?∈，使得直线i j s t X X X X ⊥，则k 的所有可能

取值是＿＿＿

三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C ＝

23

π

，6a =． （Ⅰ）若c ＝14，求sinA 的值；

（Ⅱ）若△ABC 的面积为33，求c 的值．

已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =。 （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）是否存在正整数n ，使得n S ＞2016？若存在，求出符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由。

17．（本小题满分14 分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： 平面P BC ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N ∥平面ABCD ； （Ⅲ）当AB ＝3，PA ＝4时，求点A 到直线MN 距离的最小值。

18．（本小题满分13 分）

一所学校计划举办“国学”系列讲座。由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示。

（I ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；

（II ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与2

2s 的大小（只

需直接写出结果）；

（III ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率。（注：成绩大于等于75分为优良）

已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3

2

，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，

且｜AB ｜＝2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。

20．（本小题满分13 分）

已知函数f (x ) ＝

1x x

e

- （Ⅰ）求曲线y =f (x )在点（0，f （0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f (x )的零点和极值；

（Ⅲ）若对任意12,[,)x x a ∈+∞，都有122

1

()()e f x f x -≥-成立，求实数a 的最小值。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数学（文科） 2016.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

A

C

D

C

A

B

A

B

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

说明：1.第9题,学生写成 1x ≥的不扣分 2.第13题写成开区间 5ππ

(π,π),1212

k k k -

++∈Z 的不扣分, 没有写k ∈Z 的,扣1分 3. 第14题有错写的，则不给分

只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分 写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.解：(Ⅰ) 方法一： 在ABC ?中，因为

sin sin a c A C

=， ……………………….2分 即614

sin 32

A =

……………………….3分

所以33

sin 14

A =

. ……………………….5分 9． [1,)+∞

10． 2

11. 22

(2,0),122

x y -=

12．1

2

13．5ππ

[π,π],1212

k k k -

++∈Z 14．

5 6 7 8，，，

方法二：过点B 作线段AC 延长线的垂线，垂足为D 因

为

2π3

B C A ∠=

，

所以

π

3

B

C D ∠= ……………………….1分 在

Rt BDC

?中

，

3

332

BD BC == ……………………….3分

在Rt ABD ?中，33

sin 14

BD A AB ==

……………………….5分 （Ⅱ）方法一： 因为1

sin 2

ABC S a b C ?=???. ……………………….7分 所以1333622

b =

???，解得2b =. ……………………….9分 又因为2222cos c a b a b C =+-??. …………………….11分 所以2

1436226()2

c =+-???-,

所以52213c ==. …………………….13分

方法二：过点A 作线段BC 延长线的垂线，垂足为D 因为2π3ACB ∠= , 所以π3

ACD ∠=. 又

因

为

1

2ABC S BC AD ?=

??, ……………………….7分 即1

3362AD =?? ,

所

以

3

A D ==. ……………………….9分 在Rt ABD ?中，222A

B BD AD =+. ……………………….11分 所以52213AB ==.

…………………….13分

16.解：

(Ⅰ) 设数列{}n a 的公比为q ，

14

6

2π3D

C

B

A

1

3

A

B

C

D

2π

36

因为210S a +=，所以1120a a q +=. ……………………….1分 因为10,a ≠所以2,q =- ……………………….2分 又因为23112a a q ==， ……………………….3分 所以13a =, ……………………….4分 所以13(2)n n a -=?-（或写成3

(2)2

n n a =-

?-） ……………………….7分

说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n 项和公式正确写出的，都给2分

(Ⅱ)因为

31(2)1(2)1(2)

n n n S ???--??

=

=----. ……………………….10分

令2016n S >, 即1(2)2016n

-->，整理得(2)2015n

-<-. ……………………….11分 当n 为偶数时，原不等式无解；

当n 为奇数时，原不等式等价于22015n

>，解得11n ≥，

所以满足2016n S >的正整数n 的最小值为11. ……………………….13分

17解：（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥. ……………………….1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PA BC ⊥. ……………………….2分 又AB PA A = ，,AB PA ?平面PAB ， ……………………….3分 所以BC ⊥平面PAB . ……………………….4分 因为BC ?平面PBC , 所以平面PBC ⊥平面PAB . ……………………….5分

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知, BC ⊥平面PAB ，PB ?平面PAB ，所以BC PB ⊥. ……………………….6分 在PBC ?中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以//MN BC ， ……………………….7分 又BC ?平面ABCD ，MN ?平面ABCD ， ……………………….9分 所以MN //平面ABCD . …………………….10分

（Ⅲ）解：因为//MN BC , 所以MN ⊥平面PAB ， …………………….11分 而AM ?平面PAB ，所以MN ⊥AM ， …………………….12分 所以AM 的长就是点A 到MN 的距离， …………………….13分 而点M 在线段PB 上

所以A 到直线MN 距离的最小值就是A 到线段PB 的距离， 在Rt PAB ?中，3,4,AB PA ==所以A 到直线MN 的最小值为12

5

. …………………….14分

18.解:

（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为12,x x .

则164767778

73.754

x +++=

= ……………………….2分

2567976708887766

x ++++++== ……………………….4分

（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. ……………………….7分

（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A ， ……………………….8分

男生按成绩由低到高依次编号为1234,,,a a a a ， 女生按成绩由低到高依次编号为123456,,,,,b b b b b b ，

则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法 …………………….10分

11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，15(,)a b ，16(,)a b ， 21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ， 31(,)a b ，32(,)a b ，33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ， 41(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b ，

其中两名同学均为优良的取法有12种取法 …………………….12分

23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ，

33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b

所以121

()242

P A =

=， 即两名同学成绩均为优良的概率为

1

2

. …………………….13分

19. 解：

（Ⅰ）由已知2AB =，得知22b =，1b =, ……………………….1分

又因为离心率为

32，所以32

c a =. ……………………….2分 因为2

2

2

a b c =+，所以2,a =, ……………………….4分

所以椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=. ……………………….5分

（Ⅱ）解法一：假设存在. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为001

1y y x x -=

+， ……………………….6分 BP 的直线方程为00

1

1y y x x +=

-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=

+，00

4(1)

1y n x +=-， ……………………….8分 所以0

8

2MN m n x =-=-

， ……………………….9分 线段 MN 的中点0

4(4,

)y x ， ……………………….10分 若以MN 为直径的圆经过点(2,0)， 则2

22000

44

(42)(

0)(1)y x x -+-=-, ……………………….11分 因为点P 在椭圆上，所以2

20014x y +=，代入化简得0

810x -=， ……………………….13分

所以08x =， 而[]

022x ∈-，，矛盾，

所以这样的点P 不存在. ……………………….14分

解法二：

假设存在，记(20)D ，

. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为001

1y y x x -=

+， ……………………….6分 BP 的直线方程为00

1

1y y x x +=

-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=

+，00

4(1)

1y n x +=-， ……………………….8分 所以 004(1)(4,

1),y M x -+00

4(1)(41)y N x +-， 因为MN 为直径，所以0DM DM ?=

……………………….9分

所以 DM DN ?=

000

4(1)4(1)(2,

1)(2,1)0y y x x -++?-= 所以 22

002

16(4)40y x DM DN x --?=+= ……………………….11分 因为点P 在椭圆上，所以2

20014

x y +=， ……………………….12分

代入得到222

0000022

00

48840x x x x x DM DN x x -+--?=+== ……………………….13分 所以 08x =，这与 0[2,2]x ∈-矛盾 ……………………….14分 所以不存在

法三 ：

假设存在，记(20)D ，

, (40)H ， 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -，

所以AP 的直线方程为001

1y y x x -=

+， ……………………….6分 BP 的直线方程为00

1

1y y x x +=

-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=

+，00

4(1)

1y n x +=-， ……………………….8分 所以 004(1)(4,

1),y M x -+00

4(1)(41)y N x +-， 因为DH MN ⊥, 所以2DH HN HM =? ……………………….9分 所以 4=0000

4(1)4(1)

|

1||1|y y x x -++?- 所以22

0002

0161684=|

|y x x x -+- ……………………….11分 因为点P 在椭圆上，所以2

20014

x y +=， ……………………….12分

代入得到0

854|

|x x -=, 解得08x =或08

9

x =

……………………….13分 当08x =时，这与 0[2,2]x ∈-矛盾 当08

9

x =

时，点,M N 在x 轴同侧，矛盾 所以不存在 ……………………….14分

20.解：（Ⅰ）因为2

'()e x

x f x -=

， ……………………….1分 所以'(0)2f =-. ……………………….2分 因为(0)1f =，所以曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y +-=.……………………..4分 （Ⅱ）令1()0e x

x

f x -=

=，解得1x =， 所以()f x 的零点为1x =. ……………………….5分 由2

'()0e

x x f x -=

=解得2x =，

则'()f x 及()f x 的情况如下：

x

(,2)-∞

2 (2,)+∞

'()f x

-

0 +

()f x

极小值

2

1e -

……………………….7分 所以函数()f x 在2x = 时,取得极小值21

e

- ……………………….8分 （Ⅲ）法一：

当1x >时，1()0e x x

f x -=

<. 当1x <时，1()0e

x x

f x -=>. ……………………….9分

若1a ≤，由（Ⅱ）可知()f x 的最小值为(2)f ，()f x 的最大值为()f a ，…………………….10分 所以“对任意12,[,)x x a ∈+∞，有1221()()e f x f x -≥-恒成立”等价于2

1(2)()e f f a -≥- 即22

111

e a a e e

--

-≥-， ……………………….11分 解得1a ≥. ……………………….12分 所以a 的最小值为1. ……………………….13分 法二：

当1x >时，1()0e x x

f x -=

<. 当1x <时，1()0e

x x

f x -=>. ……………………….9分

且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为21

(2)e

f =-， ……………………….10分

若1a <，令122,[,1)x x a =∈，则12,[,)x x a ∈+∞ 而12112

1

()()()0()(2)e f x f x f x f x f -<--

=<=，不符合要求， 所以1a ≥. ……………………….11分 当1a =时，12,[1,)x x ?∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤

所以12121

()()()0(2)e

f x f x f x f -≥-≥=-

，即1a =满足要求， ……………………….12分 综上，a 的最小值为1. ……………………….13分

法三：

当1x >时，1()0e x x

f x -=

<. 当1x <时，1()0e

x x

f x -=>. ……………………….9分

且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为21

(2)e

f =-， ……………………….10分

若2[,)a ∈+∞，即2a ≤时，

令12,x =则任取2[,)x a ∈+∞, 有122222

11

()()(2)()()e e

f x f x f f x f x -=-=-

-≥- 所以2()0f x ≤对2[,)x a ∈+∞成立，

所以必有21x ≥成立，所以[,)[1,)a +∞?++∞，即1a ≥. ……………………….11分 而当1a =时，12,[1,)x x ?∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤ 所以12121

()()()0(2)e

f x f x f x f -≥-≥=-

，即1a =满足要求， ……………………….12分 而当2a ≥时，求出的a 的值，显然大于1，

综上，a 的最小值为1. ……………………….13分