第八章第2讲两直线的位置关系
第2讲 两直线的位置关系
,[学生用书P154])
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条 件 两直线位置关系
斜率的关系 两条不重合的直线l 1，
l 2，斜率分别为k 1，k 2
平 行 k 1＝k 2
k 1与k 2都不存在
垂 直
k 1k 2＝－1
k 1与k 2一个为零、另一个不存在
2.两条直线的交点
3．三种距离
点点距
点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间
的距离 |P 1P 2|＝
（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2
点线距 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By
＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2
线线距
两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离
d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2
1．辨明三个易误点
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑．
(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．
(3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数
化为相同的形式．
2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法
与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；
(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0(n ∈R ，且n ≠C )．
1．直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0
解析：选A.由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－3
2
(x ＋1)，即
3x ＋2y －1＝0.
2．(必修2 P109练习题改编)已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( )
A ．1
B ． 2 C. 3 D ．2
解析：选B.l 1与l 2之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2
＝|1－（－1）|
2＝2，故选B.
3．(必修2 P109习题3.3 A 组T2(1)改编)已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则实数a 的值是( )
A ．－3
B ．2
C ．－3或2
D ．3或－2
解析：选A.由直线l 1与l 2平行，可得?
????a （a ＋1）＝2×3，
a ×1≠2，解得a ＝－3.
4．直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则实数a 的值为________．
答案：23
5．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________． 答案：1
考点一 两条直线平行与垂直[学生用书P155]
(1)(2016·邢台摸底考试)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y
＋1＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．
[解析] (1)依题意，注意到直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条
件是?
??－a 3＝－1a －2
，1
a －2
≠1，解得a ＝－1，故选C.
(2)法一：由方程组?????x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得?
????x ＝0，
y ＝2，
即P (0，2)．
因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－4
3，
所以直线l 的方程为y －2＝－4
3
x ，
即4x ＋3y －6＝0.
法二：因为直线l 过直线l 1和l 2的交点，
所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. 因为l 与l 3垂直，
所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， 所以λ＝11，
所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0， 即4x ＋3y －6＝0.
[答案] (1)C (2)4x ＋3y －6＝0
将本例(2)中条件“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直”改为“与直线l 3：3x
－4y ＋5＝0平行”，求此时直线l 的方程．
解：法一：由方程组?????x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得?
????x ＝0，
y ＝2，即P (0，2)．
因为l ∥l 3，所以直线l 的斜率k ＝3
4，
所以直线l 的方程为y －2＝3
4
x ，即3x －4y ＋8＝0.
法二：因为直线l 过直线l 1和l 2的交点，
所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. 因为l 与l 3平行，
所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝2
7
，
所以直线l 的方程为3x －4y ＋8＝0.
1.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件
的a ，b 的值．
(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0. 又因为直线l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.
(2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，
所以直线l 1的斜率存在．
所以a
b
＝1－a .①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b
＝b .②
联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3
，b ＝2.
考点二 距离公式(高频考点)[学生用书P156]
距离公式包括两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式．在高考中经常出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度： (1)求距离；
(2)已知距离求参数值； (3)已知距离求点的坐标．
(1)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213
13
，则c 的值
是________．
(2)(经典考题)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝_______．
[解析] (1)依题意知，63＝a －2≠c
－1
，
解得a ＝－4，c ≠－2，
即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c
2
＝0，
又两平行线之间的距离为213
13
，
所以????c 2＋132＋（－2）2
＝213
13，因此c ＝2或－6.
(2)曲线C 2是圆心为(0，－4)，半径r ＝2的圆，圆心到直线l ：y ＝x 的距离d 1＝|0＋4|
2
＝
22，所以曲线C 2到直线l 的距离为d 1－r ＝ 2.
设曲线C 1上的点(x 0，y 0)到直线l ：y ＝x 的距离最短为d ，则过(x 0，y 0)的切线平行于直线y ＝x .
已知函数y ＝x 2＋a ，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，即x 0＝12，y 0＝1
4
＋a ，点(x 0，y 0)到直线l ：y ＝
x 的距离d ＝????12－????14＋a 2＝????14－a 2，由题意知????14－a 2
＝2，所以a ＝－74或a ＝94.当a ＝－7
4时，
直线l 与曲线C 1相交，不合题意，故舍去．
[答案] (1)2或－6 (2)9
4
距离的求法
(1)点到直线的距离
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离
①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
②利用两平行线间的距离公式．
2.(1)平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程为________．
(2)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.
解：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠－2)，
则d ＝|－2－c |32＋4
2＝1， 所以c ＝3或c ＝－7，
即所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0. 故填3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0. (2)设点P 的坐标为(a ，b )． 因为A (4，－3)，B (2，－1)，
所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．
而AB 的斜率k AB ＝－3＋1
4－2
＝－1，
所以线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.
因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①
又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，
所以|4a ＋3b －2|5
＝2，
即4a ＋3b －2＝±10，②
由①②联立可得?
????a ＝1，
b ＝－4或?
??a ＝277，b ＝－87.
所以所求点P 的坐标为(1，－4)或????277
，－87.
考点三 对称问题[学生用书P156]
已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由已知 ?
????y ＋2x ＋1×2
3
＝－1，2×x －12－3×y －22
＋1＝0，
解得?
??x ＝－3313，
y ＝4
13
.所以A ′????－3313，4
13. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，
则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．
设M ′(a ，b )，则
?
????2×a ＋22－3×b ＋02
＋1＝0，
b －0a －2×2
3
＝－1.
解得M ′????
613，3013.
设直线m 与直线l 的交点为N ，
则由?
????2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.
得N (4，3)．
又因为m ′经过点N (4，3)，
所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，
则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， 因为P ′在直线l 上，
所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.
四种常见对称求解方法
(1)点关于点的对称：求点P 关于点M (a ，b )的对称点Q 的问题，主要依据M 是线段PQ 的中点，即x P ＋x Q ＝2a ，y P ＋y Q ＝2b 求解．
(2)直线关于点的对称：求直线l 关于点M (m ，n )的对称直线l ′的问题，主要依据l ′上的任一点T (x ，y )关于M (m ，n )的对称点T ′(2m －x ，2n －y )必在l 上．
(3)点关于直线的对称：求已知点A (m ，n )关于已知直线l ：y ＝kx ＋b 的对称点A ′(x 0，y 0)的坐标，一般方法是依据l
是线段AA ′的垂直平分线，列出关于x 0，y 0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程．
(4)直线关于直线的对称：此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
3.直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1，0)对称，则b ＝
________．
解析：法一：由题知，点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， 所以两直线平行，
所以－12＝－a
4
，所以a ＝2.
又点A 到两直线距离相等，
所以|1－3|5＝|2＋b |25
，
所以|b ＋2|＝4，所以b ＝－6或b ＝2. 因为点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， 所以两直线不能重合，所以b ＝2.
法二：在直线x ＋2y －3＝0上取两点P 1(1，1)、P 2(3，0)，
则P 1、P 2关于点A 的对称点P ′1、P ′2都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上． 因为易知P ′1(1，－1)、P ′2(－1，0)，
所以?
????a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0，
所以b ＝2. 答案：2
,[学生用书P157])
交汇创新——与直线有关的交汇问题
(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线
mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．
[解析] 因为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， 所以A (0，0)，B (1，3)．
当点P 与点A (或B )重合时，|P A |·|PB |为零；
当点P 与点A ，B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，
所以△APB 为直角三角形，所以|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，
所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝10
2
＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时，上式等号成立．
[答案] 5
(1)本题是直线与不等式的交汇，把直线问题和基本不等式进行结合，体
现了当今数学命题的新动向，其解题思路是利用图形找出关系式|AP |2＋|BP |2＝|AB |2，再利用基本不等式求解．
(2)直线方程还可以与集合、向量、概率等知识交汇．
1.(2016·湖北省八校联考)已知M ＝?
?????
（x ，y ）|
y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝?，则a ＝( )
A ．－6或－2
B ．－6
C ．2或－6
D ．－2
解析：选A.集合M 表示去掉一点A (2，3)的直线3x －y －3＝0，集合N 表示恒过定点B (－1，0)的直线ax ＋2y ＋a ＝0，因为M ∩N ＝?，所以两直线要么平行，要么直线ax ＋2y
＋a ＝0与直线3x －y －3＝0相交于点A (2，3)．因此－a
2
＝3或2a ＋6＋a ＝0，即a ＝－6或a
＝－2.
2．(2016·南昌模拟)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方
程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤1
8
，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别
是( )
A.22，12 B ．2，22
C.2，12 D ．24，1
4
解析：选A.由题意知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.
又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |
2
，
所以d 2＝? ??
??|a －b |22
＝（a ＋b ）2－4ab 2＝（－1）2－4c 2＝12－2c ， 而0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤2
2
.
1．已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.由k 1＝k 2，1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2，知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．
2．(2016·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝0
解析：选A.由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的
斜率k ＝－1
k PQ
＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －
y ＋1＝0.
3．已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )
A ．－6或12
B ．－1
2或1
C ．－12或12
D ．0或12
解析：选A.法一：|3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12
，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或1
2.
法二：当A ，B 两点在直线同侧，则－m ＝4－2－1－3
，即m ＝1
2；当A ，B 两点在直线异侧，
则A ，B 的中点在直线上，即m ×3－12＋4＋2
2
＋3＝0，即m ＝－6.
4．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )
A ．－10
B ．－2
C ．0
D ．8 解析：选A.因为l 1∥l 2，
所以k AB ＝4－m
m ＋2
＝－2.
解得m ＝－8. 又因为l 2⊥l 3，
所以－1
n
×(－2)＝－1，解得n ＝－2，
所以m ＋n ＝－10.
5．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )
A.522
B ．5 2
C.1522
D ．15 2
解析：选B.由题意得，线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，因为原点到直
线x －y －10＝0的距离为d ＝10
2
＝52，所以线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值为
5 2.
6．(2016·合肥一模)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )
A ．x －2y ＋1＝0
B ．x －2y －1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋2y －1＝0
解析：选B.因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则?
??x ＋02－y －2
2－1＝0，y ＋2x
×1＝－1，解得?
????x ＝－1，
y ＝－1，即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x
－2y －1＝0，故选B.
7．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________． 解析：由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，
解得a ＝3
5.
答案：35
8．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________． 解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．
又因为l 1与l 2的距离是2，所以|b ＋1|
12＋12
＝2，
解得b ＝1或b ＝－3，
即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0
9．设直线l 经过点A (－1，1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．
解析：设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ， 当d ＝|AB |时取得最大值，
此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝3
2，
所以直线l 的方程为y －1＝3
2
(x ＋1)，
即3x －2y ＋5＝0. 答案：3x －2y ＋5＝0 10．(2016·淮安调研)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在
直线过点M ′，?
????b －4
a －（－3）
·1＝－1，
－3＋a 2－b ＋4
2＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以
所求直线的方程为y －06－0＝x －1
2－1
，即6x －y －6＝0.
答案：6x －y －6＝0
11．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．
解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，
即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－????a 2＋122
＋14
， 因为a 2
≥0，所以b ≤0.
又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.
故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，
显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1
a
，|ab |＝????a ＋1a ≥2， 当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.
12．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．
解：依题意知，k AC ＝－2，A (5，1)， 所以l AC 为2x ＋y －11＝0，
联立l AC ，l CM 得?
????2x ＋y －11＝0，
2x －y －5＝0，所以C (4，3)．
设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为????
x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，
所以?
????2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－1，－3)，
所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝6
5
(x －4)，
即6x －5y －9＝0.
1．(2016·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )
A ．过点P 且与l 垂直的直线
B ．过点P 且与l 平行的直线
C ．不过点P 且与l 垂直的直线
D ．不过点P 且与l 平行的直线
解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.
2．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．
解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0，1，2.
答案：0，1，2
3．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．
解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，
所以
|10＋5λ－5|
（2＋λ）2
＋（1－2λ）
2＝3，解得
λ＝1
2
或λ＝2. 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.
(2)由?
????2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，
解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． 所以d max ＝|P A |＝10.
4．A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？
解：
如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系， 则点A (0，400)，点B (a ，100)． 过点B 作BC ⊥AO 于点C .
在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300， 由勾股定理得BC ＝400， 所以B (400，100)．
点A (0，400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)，
由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝5
4
x －400.
令y ＝0，得x ＝320，即点P (320，0)．
故供水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．
两条直线的位置关系教案
课题：7.3两条直线的位置关系（二）垂直 教学目的： 1．熟练掌握两条直线垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的条件王新敞 教学难点：两直线的垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1、在平面几何中，两条直线垂直垂直的判定定理与性质定理是怎么描述的？ 2、问题：在直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线垂直？ 二、讲解新课： 问题：如果两条直线的斜率分别是 1 k和 2 k，则这两条直线垂直时斜率之间有怎样的关系？ 用倾斜角的关系推导：如果 2 1 l l⊥，这时 2 1 α α≠，否则两直线平行王新敞设2 1 α α>，甲图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上方；乙图的特征是 1 l与 2 l的交 点在x轴下方；丙图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上，无论哪种情况下都有2 1 90α α+ =．因为 1 l和 2 l的斜率为 1 k和 2 k，即0 1 90 ≠ α，所以0 2 ≠ α王新敞 2 2 1tan 1 ) 90 tan( tan α α α- = + =，即 2 1 1 k k- =或1 2 1 - = k k王新敞
反过来，如果2 11 k k - =或121-=k k ?20190αα+=?21l l ⊥． 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即 21l l ⊥?2 11 k k - =?121-=k k 王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 特殊情况下的两直线垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 三、例题讲解： 例1 判断下列两直线是否垂直，并说明理由： （1）121 :42,:5;4 l y x l y x =+=- + （2）1:536,:355;l x y l x y +=-= （3）12:5,:8.l y l x == 例2 求过点A （3，2）且垂直于直线4580x y +-=的直线方程 例3 已知直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，求a 的值． 解 ： ∵21+=a A ，12-=a A ，a B -=11，322+=a B 且两直线互相垂直 ∴0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解之得1±=a 王新敞
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定理 线面垂直的定义 两平面的法线垂 直则两平面垂直 面面垂直判定定理 线面平行判定定理 线面平行性质定理 线面平行转化 面面平行判定定理 面面平行性质定理
3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??； 面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??； 线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b α βαβ??????=?；b a b a //????⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ??=???=? ；b c c a b a //////????； ③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ????=????；βαβα//????⊥⊥a a ；γαβγβα//////????；
两条直线的位置关系说课稿
《两条直线的位置关系》说课稿 一、关于教材分析 1、教材的地位和作用 直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用.初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究.初中代数研究了一次函数的图象和性质，高一数学研究了平面向量、三角函数.直线的方程是以上述知识为基础的，同时是平面解析几何学的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础王新敞 “两条直线的位置关系”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线垂直在生活中应用事例非常多，在诸多求解角度、面积、长度等方面都要用到两直线的垂直关系，因此，找到两条直线垂直的充要条件，尤其是两直线垂直与方程中系数的关系成为急需解决的问题。另外，学生已经具备直线的有关知识（如垂直定义、向量垂直、方向向量、法向量、直线方程等），这样探索两直线垂直的充要条件成为可能，通过探索两直线垂直的充要条件，可以培养学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标分析 我确定教学目标的依据有以下三条： （1）教学大纲、考试大纲的要求 （2）新教材的特点
（3）所教学生的实际情况 教学目标包括：知识、能力、情感等方面的内容． “两条直线的位置关系”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生的情况，我把本节课的教学目标确定为： 1．熟练掌握两条直线垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．能够根据两条直线的位置关系求直线的方程 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的充要条件 教学难点：两直线垂直问题的转化与两直线的系数关系 二、关于教学方法和教学用具的说明 1、教学方法的选择 （1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”． （2）教学方法：观察---探索——归纳---应用 本节课的任务主要是两条直线垂直的充要条件及应用．我选
点与直线、直线与直线的位置关系
第二节 点与直线、直线与直线的位置关系 一、基础练习： 1．已知两条直线y ＝a 2 x －2和x-ay ＋1＝0互相垂直，则a 等于________．-1或0 2．直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是a ＝________.-2 3．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为______________．X-y+1=0 4．若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数a 的值为________．-3 5．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，若直线l 过点A (－2,3)，且法向量为n ＝(1，－2)，则直线l 的方程为______________．X-2y+8=0 二、重点知识： 1、判断两直线的关系 例1：已知两条直线l 1：ax-by ＋4＝0，直线l 2：(a-1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值。 （1）21l l ⊥，且1l 过点)1,3(--；a=b=2（2）21//l l ，且原点到这两直线的距离相等。a=2,b=-2; a=3 2 ,b=2 规律：已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0。 （1）若l 1∥l 2，则_____________________________________； （2）若l 1⊥l 2，则____________________________________； 练习题：1.已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的________________条件．必要不充分 2．已知{(x ，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x ，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是_________________。2 3.若三条直线l 1：x ＋y ＝7，l 2：3x －y ＝5，l 3：2x ＋y ＋c ＝0不能围成三角形，则c 的值为________．-10 4．过点P (1,2)作直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)距离相等，求直线l 的方程。 4x+y-6=0,3x+2y-7=0 5．设a 、b 、c 、分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是______．垂直 6．已知0 2.1两条直线的位置关系（第2课时） 一、教学目标： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生 的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。 二、教学过程 1、创设情境引入新课 观察生活中的图片，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 设计意图：数学来源于生活，从生活中的图形中抽象出几何图形。在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”；使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂.激发学生的学习兴趣。 2、总结归纳讲授新知 定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。 说明：两条线段垂直是指它们所在的直线垂直。 表示：通常用“⊥”表示两直线垂直。直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD； 直线l 与直线m垂直，记作l⊥m．其中，点O是垂足． 设计意图：强调知识内容的准确性，加深对概念的理解。 3、动手实践探究新知 动手画一画1：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？小组交流，相互点评。 1．你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 两条直线的位置关系判断 方法 设平面上两条直线的方程分别为1 1 1 1 2 2 2 2 :0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为112 2 ,a b D a b =112 2 ,x c b D c b -= -112 2 y a c D a c -= - 1 l 和相交?0D ≠ 1 221b a b a ≠? 1 l 和2 l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 1 l 和重合?0===x y D D D 二．比值法 1 l 和相交2 12 1 b b a a ≠ ()0b ,a 2 2≠； 1 l 和垂直?0b a b a 2 21 1=+； 1 l 和平行2 1 212 1 c c b b a a ≠= () 0c ,b ,a 222≠； 1 l 和重合2 1 212 1 c c b b a a == ()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法 1 1 1 2 2 2 :y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交2 1k k ≠ ； 1 2 l l ?与平行2 121 b b k k ≠=， 12l l ?与重合2 121b b k k ==，； 12l l ?与垂直-1 .=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在； 24．2点和圆、直线和圆的位置关系 24．2.1点和圆的位置关系 1．如图，⊙O的半径为r. (1)点A在⊙O外，则OA__＞___r；点B在⊙O上，则OB__＝___r；点C在⊙O内，则OC__＜___r. (2)若OA＞r，则点A在⊙O__外___；若OB＝r，则点B在⊙O__上___；若OC＜r，则点C在⊙O__内___． 2．在同一平面内，经过一个点能作__无数___个圆；经过两个点可作__无数___个圆；经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆． 3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是__三边垂直平分线的交点___． 4．反证法首先假设命题的__结论___不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设__错误___，从而得到原命题成立． 知识点1：点与圆的位置关系 1．已知点A在直径为8 cm的⊙O内，则OA的长可能是( D) A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm 2．已知圆的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是__OP＞6_cm___．3．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系： (1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm. 解：(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外 知识点2：三角形的外接圆 4．如图，点O是△ABC的外心，∠BAC＝55°，则∠BOC＝__110°___． 5．直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__25π___． 6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( C) A．任意三角形B．直角三角形 两条直线的位置关系及其判定教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导. 页 1 第 本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂 直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的 应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和 的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则+ = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 页 2 第 两条直线的位置关系判断方法 设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为1 122,a b D a b = 和相交?0D ≠1221b a b a ≠? 1l 和2l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 和重合?0 ===x y D D D 二．比值法 和相交()0b ,a 22≠； 和垂直?0b a b a 2211=+； 和平行()0c ,b ,a 222≠； 和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法 111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交21k k ≠； 2121b b k k ≠=， 2121b b k k ==，； -1.=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不 为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在； 1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ?2 121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ?21212 1c c b b a a ≠=1l 2l ?2 12121c c b b a a ==12l l ?与平行12l l ?与重合12l l ?与垂直 第七章 解析几何（一）直线及其方程 四、点与线（1） 两点距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式 一、学习目标 1、了解点与点、点与线的位置关系； 2、掌握两点距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式 二、学习过程 （一）【实例探究】 探究1：已知两点12(1,2),(3,5)P P -， 则线段12PP 的长度为 ；设点P 为线段12PP 的 中点，则点P 的坐标为 探究2：已知点(2,2)P ，直线:34120l x y ++=，则点P 到直线l 的距离d = （二）【构建新知】 练习： 1、两点((3,0)A B -之间的距离为 2、(2,3)P 是线段),3(m A ，)1,(-n B 的中点，则m n += 3、点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是 （三）【例题分析】 例1、在ABC ?中，A 点坐标为(2,1),BC 边在直线2y x =上，则BC 边上的高为 例2、过点()2,1P 的直线l 与两点()3,2A 、()5,4-B 的距离相等，则直线l 的方程为 例3、已知ABC ?的顶点坐标为(1,5),(2,1),(4,3)A B C ---，M 是BC 边上的中点 （1）求中线AM 的长；（2）求ABC ?的面积 三、巩固练习 1、点(0,4)M -到直线21y x =+的距离是 2、已知点(2,0),(3,5),(1,3)A B C --，则BC 的中点与点A 之间的距离为 3、点(4,)t 到直线431x y -=的距离不大于3，则t 的取值范围是 4、点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22 x y +的最小值是 5、求过点()4,3-M 且与()3,1-A 、()2,2B 两点等距离的直线方程 空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结 论可作为定理使用) 反证法 假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不 是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ? ? ?共面直线 ?? ? ??相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 知识点三 空间等角定理 1.定理 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 知识点四 异面直线所成的角 1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角). 第二章相交线与平行线 《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 二、教学任务分析 根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等 活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三， 学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活” 点、直线、平面之间的位置关系 1、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用：判断直线是否在平面内。用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ 公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2、空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。 ③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是 （0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 3、求异面直线所成角步骤： A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B 、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角 4、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 5、空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点． 三种位置关系的符号表示：a ?α a ∩α＝A a ∥α 6、平面与平面之间的位置关系 平行——没有公共点；α∥β。相交——有一条公共直线。α∩β＝b 两条直线的位置关系（1）习题 一、选择题 1、下列说法中，正确的个数是（ ） ①在同一个平面内不相交的两条线段必平行 ②在同一个平面内不相交的两条直线必平行 ③在同一个平面内不平行的两条线段必相交 ④在同一个平面内不平行的两条直线必相交 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 3下列说法正确的是（ ） A 、一个角的补角一定比这个角大 B 、锐角大于它的余角 C 、两个角都与一个角互余，则这两个角一定相等 D 、互为余角、互为补角的关系必须在同一个图形中 4、已知∠A = 40°，则∠A 的余角的补角是（ ） A 、50° B 、150° C 、40° D 、130° 5、如果∠1 + ∠2 = 90°，∠2+ ∠3= 90°，则 （ ） A 、 ∠1 =∠2 B 、 ∠1 = ∠3 C 、 ∠2 =∠3 D 、 ∠1 = ∠2 = ∠3 6、∠1与∠2互补且相等， ∠3与∠2是对顶角，则∠3的一半是（ ） A 、45° B 、80° C 、75° D 、30° 7、若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为（ ） A 、40° B 、50° C 、65° D 、75° 8、若∠α+ ∠β = 90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是（ ） A 、互余 B 、互补 C 、相等 D 、不确定 9、三条线相交于一点，所成的小于平角的对顶角有（ ） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 2 A 2 B 2 D 2 C 10、∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3=75°，则∠1的度数是（） A、75° B、105° C、90° D、75°或105° 二、填空题 11、∠1与∠2是对顶角，∠1=38°，则∠1= ； 12、右图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量 角器可以量出这个扇形零件的圆心角是度，你的 根据是； 13、如图1，是由两个相同的直角三角形ABC和FDE 拼成的，则图中与∠A相等的角有个，分别是； ∠1与∠A关系是；∠2与∠1的关系是； 14、∠α=25°，则∠α的余角= ；∠α的补角= ； 15、已知：∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= ； 16、互为补角的两个角的度数之比为2:7，则这两个角分别是= ； 17、已知∠α的补角是∠α的4倍，则∠α=； 三、解答题： 16、如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数． 17、直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD=100°，∠1=30°，求∠2的度数． 空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα 教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析 重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导. 本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角 ①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则 + = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 当到的角为锐角时，则和的夹角也是 ;当到的角为钝角时，则和的夹角也是 . ②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出. 再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式 2.1 两条直线的位置关系 教学分析 教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 教学重难点 重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备实物图片、ppt课件。 我的思考 本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。 本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计 教学过程 一、创设情境，引入新课 教师活动： 向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】 二、建立模型，探索新知 互动探究一、平行线、相交线的概念： 师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系） 2.1两条直线的位置关系 教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 教学重难点 重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备实物图片、ppt课件。 我的思考 本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。 本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计 教学过程 一、创设情境，引入新课 教师活动： 向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】 二、建立模型，探索新知 互动探究一、平行线、相交线的概念： 师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位 置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 高中数学空间点直线和平面的位置关系公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβα α 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 第二章 点、直线、平面之间的位置关系(必修2) 一、知识结构 1． 2．空间中平行、垂直间的转化关系 二、学习目标 1．直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系，抽象出空间直线、平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解可以作为推理依据的公理和定理。 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。 等角定理 。。。。 2．以空间的上述公理和定理为出发点，通过直观感知，操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理。 判定定理在选修2-1中在证明，性质定理要求证明。 3．运用获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 三、课时安排 全章约需10+2课时 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 ------------------- 3课时 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 --------------------3+1课时 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质--------------------3+1课时 小结----------------------------------1课时 四、教学建议 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时） 第一课时平面 教学内容平面的概念；平面的画法和表示；平面的基本性质。 学习目标 1．了解平面的概念，理解平面的无限延展性。 2．会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。 3．了解作为以后推理依据的三个公理。 教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化，三个公理的作用。 要点分析 1．三种语言间的联系 图形语言——考察对象第一次抽象的产物，形象、直观的语言。 文字语言——对图像的描述、解释与讨论。 符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。 在对空间图形的认识中，注意有序的建立三种数学语言间的联系，合理使用三种数学语言描述图形的性质，加深对图形性质的理解。 课本按照图形语言——文字语言——符号语言——三种语言综合描述的顺序安排学习内容。 注意：符号语言只是借用集合符号，读法仍用几何语言。 2．两个重要模型 四面体、长方体作为图形语言的载体作用——典型性、简明性、直观性、概括性、趣味性。 建议：要求学生能熟练画出四面体、长方体，利用这两个模型理解所学概念、定理，发展几何直观能力，提高空间想象力。 3．平面的基本性质 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 作用：用直线的直刻划平面的平，是判断直线在平面内的依据。 公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 作用：确定平面的依据。 课本并没有给出常用的三个推论，只是在练习题中以判断题的形式涉及，建议学生将其作为重要结论使用，但不涉及推论字眼。 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该两条直线的位置关系
两条直线位置关系判断方法
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)( 含答案)资料
两条直线的位置关系及其判定
两条直线位置关系判断方法
解析几何 点与点、点与线的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系(附规范标准答案)
2.1两条直线的位置关系(二)教学设计
点、直线、平面之间的位置关系知识点
两条直线的位置关系习题
高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式
两条直线的位置关系及其判定
两条直线的位置关系教案(七年级下册)
两条直线的位置关系
高中数学空间点直线和平面的位置关系公式
点、直线、平面之间的位置关系