2016届高考数学(理)(人教A版)总复习课时演练 第7章 第6节 直接证明与间接证明

第七章第六节

1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是()

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个是偶数

D．假设a，b，c至多有两个是偶数

解析：选B至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数.

2．在△ABC中，sin A sin C＜cos A cos C，则△ABC一定是()

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

解析：选C由sin A sin C＜cos A cos C得，

cos A cos C－sin A sin C＞0，即cos(A＋C)＞0，

所以A＋C是锐角，从而B＞π

2，故△ABC必是钝角三角形.

3．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做恒和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是恒和数列，且a1＝2，公和为5，这个数列的前n项和为S n，则S21的值为()

A．42B．52

C．53D．63

解析：选B由恒和数列的定义，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)．所以S21＝3×10＋2×11＝52.

4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac ＜3a”索的因应是()

A．a－b＞0B．a－c＞0

C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0

解析：选C b2－ac＜3a

?b2－ac＜3a2

?(a＋c)2－ac＜3a2

?a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0

?－2a 2＋ac ＋c 2＜0

?2a 2－ac －c 2＞0

?(a －c )(2a ＋c )＞0?(a －c )(a －b )＞0.故选C.

5．若a 、b 、c 是不全相等的正数，给出下列判断：

①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③ a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选C 由已知得①②正确，③中，a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，所以③不正确．故选C.

6．“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋a x

≥1”的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A 若a ＝14时，则x ＋a x ＝x ＋14x

≥2 x ·14x ＝1，当且仅当x ＝14x ，即x ＝12时等号成立；反之由x ＋a x ≥2a ≥1得a ≥14.故“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋a x

≥1”的充分不必要条件．故选A.

7．(2014·海口调研)设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________． 解析：a ＜b 将a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，由6＜7知a 2＜b 2，从而a ＜b .

8．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是______．

解析：a ≥0，b ≥0且a ≠b a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b .

9．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足________．

解析：b 2＋c 2＜a 2

由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ＜0，所以b 2＋c 2－a 2＜0，故b 2＋c 2＜a 2.

10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：

①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.

其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)

解析：③ 对于①若a ＝12，b ＝23

，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出； 对②若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；

对④若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；

对⑤若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；

对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，

用反证法，假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.

11．已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：? ??

??a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 2

1＋m . 证明：∵m ＞0，∴1＋m ＞0， ∴要证? ??

??a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 2

1＋m ， 即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，

即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，

又(a －b )2≥0显然成立， ∴? ??

??a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 2

1＋m . 12．(2014·青岛质检)已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足sin B ＋sin C

sin A ＝2－cos B －cos C cos A

，函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间????0，π3上单调递增，在区间????π3，2π3上单调递减．

(1)求证：b ＋c ＝2a ；

(2)若f ????π9＝cos A ，求证：△ABC 为等边三角形．

证明：(1)∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A

. ∴sin B cos A ＋sin C cos A ＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，

∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝2sin A ，

∴sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ，

∴sin C ＋sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＋c ＝2a .

(2) 由题意知2πω＝4π3，解得ω＝32

， ∵f ????π9＝sin π6＝12＝cos A ，A ∈(0，π)，∴A ＝π3

. 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12

， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵b ＋c ＝2a ，∴b 2＋c 2－??

??b ＋c 22＝bc ，

整理得b 2＋c 2－2bc ＝0，∴b ＝c ，

∴△ABC 为等边三角形.

1．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )

A ．成等比数列而非等差数列

B ．成等差数列而非等比数列

C ．既成等差数列又成等比数列

D ．既非等差数列又非等比数列

解析：选B 由已知条件，可得????? a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②

y 2＝bc ， ③

由②③得??? a ＝x 2b ，c ＝y 2b .代入①，得x 2b ＋y 2b

＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2，b 2，y 2成等差数列．选B.

2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围为( )

A ．[1,4]

B ．[2,3]

C ．[2,5]

D ．[3，＋∞)

解析：选B 由题意知a ≥2，所以二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，

∴(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3.又a ≥2，∴2≤a ≤3.故选B.

3．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)．给出以下三个结论：

(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.

其中正确结论的个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解析：选A (1)由f (1,1)＝1和f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2

得f (1,2)＝f (1,1＋1)＝f (1,1)＋2＝1＋2＝3，

f (1,3)＝f (1,2)＋2＝5，

f (1,4)＝f (1,3)＋2＝7，

f (1,5)＝f (1,4)＋2＝9；故正确．

(2)由f (1,1)＝1和f (m ＋1,1)＝2f (m,1)

得f(2,1)＝f(1＋1,1)＝2f(1,1)＝2，

f(3,1)＝2f(2,1)＝4，

f(4,1)＝2f(3,1)＝8，

f(5,1)＝2f(4,1)＝16，故正确．

(3)由f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2得f(5,6)＝f(5,5)＋2，

而f(5,5)＝f(5,4)＋2，f(5,4)＝f(5,3)＋2，

f(5,3)＝f(5,2)＋2，f(5,2)＝f(5,1)＋2＝16＋2＝18，则f(5,6)＝26.故正确．

因此(1)、(2)、(3)都正确，故选A.

4．已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设c n＝a n－b n，则c n与c n＋1的大小关系为________．

解析：c n＋1＜c n由条件得c n＝a n－b n＝n2＋1－n

＝

1

n2＋1＋n

，

所以c n随n的增大而减小．

所以c n＋1＜c n.

5．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．试判断g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由．

解：g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数，证明如下：

因为x∈[0,1]，所以2x≥1,2x－1≥0，

即对任意x∈[0,1]，总有g(x)≥0，满足条件①.

g(1)＝21－1＝2－1＝1，满足条件②.

当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，

g(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，

g(x1)＋g(x2)＝2x1－1＋2x2－1，

于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]

＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)

＝2x1·2x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)．

由于x1≥0，x2≥0，所以2x1－1≥0,2x2－1≥0，

于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]≥0，

因此g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，满足条件③；

故函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．