初中数学 图形的旋转与四边形含知识点与经典例题

初中数学 图形的旋转与四边形含知识点与经典例题

个性化教学辅导教案

学科: 数学任课教师:刘老师授课时间:2013年1月2日(星期三) 14:00---16:00姓名梁啟源年级:初二教学课题图形的旋转与四边形

阶段基础()提高()强化()课时计划第()次课

共()次课

教学目标知识点:

考点:

方法:讲练法

重点

难点

重难点:

教学内容与教学过程课前

检查作业完成情况:优□良□中□差□建议__________________________________________

第三章图形的平移与旋转

【知识精讲】

知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系

(1)区别。

①三者概念的区别:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移;在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转;在平面内,将一个图形沿着某条直线折叠。如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形成轴对称。

②三者运动方式不同:平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度;轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。

③对应线段、对应角之间的关系不同:平移变换前后图形的对应线段平行(或共线)且相等;对应点所连的线段平行且相等;对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。轴对称的对应线段或延长线相交,交点在对称轴上:对应点的连线被对称轴垂直平分。旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。

④三者作图所需的条件不同:平移要有平移的方向和平移的距离,旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角:轴对称要有对称轴。

(2)联系。

①它们都在平面内进行图形变换

②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小,因此变换前后的两个图形全等。

③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。

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知识点2 组合图案的形成

(1)确定图案中的“基本图案”。

(2)发现该图案各组成部分之间的内在联系。

(3)探索该图案的形成过程:运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。

要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。

运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系,头脑中应想象、再现图案形成的过程,做到心中有数,特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样,可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现,也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。

整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的组合。

知识点3 利用平移、旋转和轴对称的知识解决几何问题

在几何题或代数几何综合题的解证过程中,经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发,利用几何变换,可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置,构成一个新的关系,从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小,而只是它的位置发生了变化,这种移动有利于找出图形之间的关系,从而使解题更为简捷。

移动图形一般有三种方法:

(1)平移法。

(2)旋转法:利用旋转变换。

(3)对称:可利用中心对称和轴对称。

知识点4 欣赏现实生活中的一些精美图案

通过欣赏现实生活中的一些精美图案,引起学生的兴趣。

通过分析它们的形成过程,为今后进行图案设计提供素材。

知识点5 图案设计的步骤

1、整体构思

(1)图案的设计要突出“主题”,即设计图案的意图,要求简捷、自然、别致,具有一定的意义,例如,奥运会徽是由五个两两相联的圆环组成的,分别代表世界上五大洲的人民热爱体育运动,携手共创美好的未来。

(2)确定整幅图案的形状(如圆形或正方形)和“基本图案”(不宜太复杂)。

(3)构思图案的形成过程:首先构思该图案由哪几部分构成。再构思如何运用平移、旋转、轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合,并作出草图。

2、具体作图

根据草图,运用尺规作图的方法准确地作出图案。有条件的同学可用几何画板画出满意的图案。

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【例题讲解】

例1. 如图所示,A 、B 两村之间有一条河,河宽为a ,现要在河上修一座垂直于河岸的桥,要使AB 两村路程最近,请确定修桥的地点。

分析:假设桥为MN ,从A →B 要走的路程为AMNB ,要使路程最近,只需AM +NB 最小即可。

例2. 在△ABC 的边BC 上,取两点D 、E ,使BD =CE ,观察AB +AC 与AD +AE 的大小关系。

分析:四条线段AB 、AC 、AD 、AE 比较分散,可利用平移的方法将它们集中到一起,即可求出大小关系。

证明:将△AEC 沿EB 的方向平移到△FBD 位置 ∴FB =AE ,FD =AC 设FD 与AB 的交点为O

在△AOD 中,AO +OD >AD 在△FOB 中,FO +OB >FB

()()AB FD AO OB FO OD ∴+=+++

()()AO OD FO OB AD FB

=+++>+

AB AC AD AE ∴+>+

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例3. 已知:AB =CD =1,AB 与CD 交于O 点,∠DOB =60°,比较AC +BD 与1的大小。

分析:利用平移将AC 与BD 集中,再利用三角形三边关系进行比较大小。 解:1AC BD +>

证明:过C 作CE ∥AB ,过B 作BE ∥AC ,连结DE ∴四边形ABEC 为平行四边形 ∴AC =BE ,AB =CE

∵∠DOB =60°,AB ∥CE ∴∠DCE =60° ∵AB =CD =1 ∴CE =CD =1

∴△DCE 为等边三角形 ∴DE =1

在△DEB 中,DB +BE >DE 即DB +AC >1

例4. 已知:如图,E 是正方形ABCD 的边BC 上一点,AF 平分∠EAD 交CD 于点F ,说明AE =BE +DF 的理由。

分析:由于要证的3条线段AB 、BE 、DF 分散在两个三角形中,可利用旋转变换,将其放到一个三角形中。

解:把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°,则点D 转到了点B 的位置,点F 转到了点F'的位置,根据旋转的性质得:

∠3=∠1,F'B =FD ,∠AF'B =∠AFD ∵ABCD 为正方形 ∴∠D =∠ABF'=90°

∴F'、B 、E 、C 在一条直线上 又∵∠1+∠2+∠EAB =90° ∴∠3+∠2+∠EAB =90°

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∴∠F'AE +∠2=90° 又∵∠AFD +∠1=90° ∴∠AF'B +∠1=90° ∵∠1=∠2

∴∠F'AE =∠AF'B

∴AE =F'E =F'B +BE =FD +BE

例5. 如图,P 是正方形ABCD 内一点,将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°,使AB 与CB 重合,BP 到达BP'处,AP 到达CP'处,若AP 的延长线正好经过P',求∠APB 的度数。

分析:此题运用旋转将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°,根据旋转性质求出∠BP'C 的度数即可。 而∠BP'C 又是∠BP'P 与∠CP'P 之和,可各个击破,从而得解。 解:由旋转的性质及特征可知: ∠PBP'=90°,AP ⊥P'C ,BP =BP' ∴在△BPP'中,()1

n n 18090452

BP P BPP ==?-?=?∠∠ 又∵AP 的延长线正好经过P'点 ∴∠AP'C =90°

∴∠BP'C =∠AP'C +∠BP'P =135° 从而可得∠APB =135°

例6. 已知:如图,E 、F 、G 分别是正方形ABCD 中BC 、AB 、CD 上的点,且AE ⊥FG 。 求证:AE =FG

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分析:AE、FG所在位置不易证明相等,可将其一改变位置,如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。

证明:延长AB至F'使BF'=BE,连结CF'

∵正方形ABCD

∴AB=CB,∠ABC=90°

又∵∠CBF'=90°,BE=BF'

∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'

∴AE=CF',AE⊥CF'

∵FG⊥AE

∴FG∥CF'

又∵正方形ABCD,AB∥CD

∴四边形GFF'C为平行四边形

∴CF'=FG

∴AE=FG

例7. 如图,P是正方形ABCD中AC上一点,PE⊥AD于E,PF⊥CD于F。

求证:(1)OE⊥OF

(2)OE=OF

分析:充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。

证明:∵正方形ABCD

∴∠ADC=90°,∠DAC=45°

∵DE⊥AD,∴∠PED=90°

∵PF⊥CD,∴∠PFD=90°

∴四边形EPFD为矩形

∴PE=DF

又∵∠PED=90°,∠DAC=45°

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∴∠APE=45°

∴△AEP中,AE=PE

∴AE=DF

∵正方形ABCD为中心对称图形

∴△AOD绕点O顺时针旋转90°与△DOC重合

∴A与D为对应点

又∵AE=DF

∴E与F为对应点

由旋转变换的特征知:OE⊥OF,OE=OF

例8. △ABC为等边三角形,点D、E、F分别在边AC、AB、BC上,且AE=BF=CD,连结AF、BD、CE,分别交于点G、H、M。

(1)求∠1的度数;

(2)判断△GMH的形状。

分析:等边三角形是旋转对称图形,且每个角都是60°,∠1是△BCH的外角,可知∠1=∠2+∠3。

而∠2=∠4

∴∠1=∠4+∠3=60°,从而得证。

解:(1)∵等边△ABC是旋转对称图形,且AE=BF=CD

所以,△ABC绕旋转中心旋转120°后,△AEC、△BFA、△CDB能够重合

∴∠2=∠4

由∠1=∠2+∠3

∴∠1=∠4+∠3=60°

(2)同理可得:∠GMH=∠MGH=60°

∴△GMH是等边三角形

【同步拓展训练】

1. 两个长为12cm的线段AB与CD相交于点O,∠AOD=120°,判断AC+BD的最小值。

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2. 如图△ABC中,∠BAC=90°,P是△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合,如果AP=3,那么△APQ的面积是多少?

3. △ABC是等边三角形,D为BC边上一点,△CDE也为等边三角形,请你画出将△ACD以C 点为旋转中心,逆时针方向旋转60°后的三角形,并说明AD与BE的关系。

S ,求4. 在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P,若25

ABCD

DP的长。

5. △ABC中,∠BAC=120°,以BC为边向形外作等边△BCD,把△ABD绕点D顺时针方向旋转60°到△ECD的位置,若AB=3,AC=2。

(1)求∠BAD的度数;

(2)求AD的长。

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【模拟试题】(答题时间:40分钟)A卷

一、选择题

1. 国旗上的四个小五角星,通过怎样的移动可以相互得到()

A. 轴对称

B. 平移

C. 旋转

D. 平移和旋转

2. 起重机将重物垂直提起,这可以看作为数学上的()

A. 轴对称

B. 平移

C. 旋转

D. 变形

二、填空题

3. 广告设计人员进行图案设计,经常将一个基本图案进行轴对称、平移和_______等。

4. 将点A绕另一个点O旋转一周,点A在旋转过程中所经过的路线是_______。

AB ,则所5. 以等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线为对称轴,作这个△ABC的对称图形△C

得到的四边形ACBC′一定是_______。

6. 国际奥委会会旗上的五环图案可以看作一个基本图案______经过______运动得到。

7. 利用电脑,在同一页面上对某图形进行复制,得到一组图案,这一组图案可以看作是一个基本图形通过_______得到的。

三、解答题

8. 如图,是一个可以自由转动的圆盘,圆盘被分成6个全等的扇形.它可以看作是由什么“基本图案”通过怎样的旋转得到的?

9. 如图,一栅栏顶部是由全等的三角形组成,下部分是由全等的矩形组成.请你运用平移、旋转、轴对称分析说明这个图形的形成过程。

10. 请你分析下面图案的形成过程。

11. 下图是两个全等的直角三角形,请问怎样将△BCD变成△EAB?

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12. 以一直角三角形为“基本图形”,利用旋转而得到一个风车风轮图案.你能设计出几种风车风轮图案呢?请将你的图案画出来,完成后与同学进行交流。

13. 将底边水平放置的等腰三角形沿底边的垂直平分线分别向上、向下平移1厘米,得到一组等腰三角形,连同垂直平分线形成的图案你能给出它的含义吗?

将得到的图案作为“基本图案”作两次适当的平移形成一组图案。这一组图案又有什么意义呢? 14. 请充分发挥你的想象力,任意设计一个有意义的图案,完成后与同学交流你的作品。 15. 下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的?

(1)

(2)

(3)

16. 怎样将下图中的甲图变成乙图?

17. 如图①,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是BA 延长线上的一点,AF =

2

1

AB , (1)求证:△ABE ≌△ADF 。

(2)阅读下列材料:如图②,把△ABC 沿直线平移线段BC 的长度,可以变到△ECD 的位置;如图③,以BC 为轴把△ABC 翻折180°,可以变到△DBC 的位置;如图④,以点A 为中心,把△ABC 旋转180°,可以变到△AED 的位置,像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变位置,不改变形状大小的图形变换,叫做三角形的全等变换。

请回答下列问题:

<1>在图①中,可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE 变到△ADF 的位置? <2>指出图①中线段BE 与DF 之间的关系.

初中数学 图形的旋转与四边形含知识点与经典例题

B 卷1、将如图1所示的Rt △AB

C 绕直角边BC 旋转一周,所得几何体的左视图是(

2、如图,正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ,那么?AEG 的面积的值 ( ) A .与m 、n 的大小都有关 B .与m 、n 的大小都无关 C .只与m 的大小有关 D .只与n 的大小有关

3、如图,线段AB =CD ,AB 与CD 相交于点O ,且0

60AOC ∠=,CE 由AB 平移所得,则AC +BD 与AB 的大小关系是:( )

A 、AC BD A

B +< B 、A

C B

D AB += C 、AC BD AB +≥ D 、无法确定

O B

C

E

D

A P

A

B

D

C

(第4题图) (第5题图) (第6题图)

4、如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转0

30到正方形/

/

/

AB C D ,则图中阴影部分面积为( ) A 、313-

B 、33

C 、314-

D 、12

5、如图,点P 是等边三角形ABC 内部一点,::5:6:7APB BPC CPA ∠∠∠=,则以PA 、PB 、

PC 为边的三角形的三内角之比为( )

A 、2:3:4

B 、3:4:5

C 、4:5:6

D 、不能确定

6、如图,正方形网格中,△ABC 为格点三角形(顶点都是格点),将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到11AB C △.

(1)在正方形网格中,作出11AB C △;(不要求写作法)

D

A B C C B

A 图1 A B

C D G E

F

第3题图

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M

E

F A B

C D M

F A

B

D B 1

K D 1

(2)设网格小正方形的边长为1cm ,用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形,然后求出它的面积.(结果保留π)

7、已知:正方形ABCD 中,∠MAN =45°,∠MAN 绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB ,DC (或它们的延长线)于点M ,N .当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时(如图1),易证BM +DN =MN .

(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时(如图2),线段BM ,DN 和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.

(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时,线段BM ,DN 和MN 之间又有怎样的数量关系?并说明理由.

8、如图,正方形ABCD 的边长为1,AB 、AD 上各有一点P 、Q ,如果APQ ?的周长为2,求PCQ ∠的度数。

P

Q

B

C

A D

9、有两张完全重合的矩形纸片,小亮同学将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF (如图甲),连结BD 、MF ,若此时他测得BD =8cm ,∠ADB =30°. ⑴试探究线段BD 与线段MF 的关系,并简要说明理由; ⑵小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去,与小亮同学继续探究.他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1,AD 1交FM 于点K (如图乙),设旋转角为β(0°<β< 90°), 当△AFK 为等腰三角形时,请直接写出旋转角β的度数;

10、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板,如图所示,木工师傅通过测量可知,

B C

A 第7题图 M

B

C

N

图3

A D B

C

N

M 图2

A

D

B C

N

M 图1

A D 图甲

图乙

初中数学 图形的旋转与四边形含知识点与经典例题

090,B D AD CD ∠=∠==。思考一段时间后,一位木工师傅说:“我可以把两块木板拼成一个正

方形。”另一位木工师傅说:“我可以把一块木板拼成一个正方形,两块木板拼成两个正方形。”两位木工师傅把木板只分割了一次,你知道他们分别是怎样做的吗?画出图形,并说明理由。

B

D

A C

11、如图,P 是等边三角形ABC 内的一点,连结PA 、PB 、PC ,?以BP 为边作∠PBQ =60°,且BQ =BP ,连结CQ . (1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系,并证明你的结论.

(2)若PA :PB :PC =3:4:5,连结PQ ,试判断△PQC 的形状,并说明理由.

12、如图,P 为正方形ABCD 内一点,PA =1,PB =2,PC =3,求∠APB 的度数.

试题答案

一、1. D 2. B

二、3. 旋转 4. 圆 5. 正方形 6. 圆环 四次平移 7. 平移 三、8~10略

11. △DCB 先以C 为旋转中心逆时针旋转90°,然后再向右平移,使点C 与A 重

P

A B

Q

C

A

B

C

D

P

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12. 略

13. 树 森林 14. 略

15. 第一幅图是由基本图形“A ”经过平移或旋转而得到的。 第二幅图是由基本图形“B ”旋转而得到的。

第三幅图是由基本图形“”向上旋转180°再向下平移而得到的。

16. 将甲图向右平移一定距离再顺时针旋转一定角度而得到的。 17. (1)证明:∵ABCD 为正方形 ∴AB =AD ,∠DAB =∠DAF =90°

又∵AF =21AB ,AE =2

1AD ∴AF =AE ,∴△ADF ≌△ABE

(2)<1>将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°而得到△AFD 。 <2>BE ⊥DF ,BE=DF

课后 巩固 作业________________________________; 巩固复习_______________________________; 预习布置____________________________

签字 学科组长签字: 学习管理师:

老师

课后 赏识 评价 老师最欣赏的地方:

老师的建议: 备注

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