668017-570e1d959260a
把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！
2019年中考数学专题复习 第八讲 一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一、一元二次方程的定义：
1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最高次数是2的 方程
2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项。 名师提醒：
① 在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件
② 将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正
二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果2ax b =，则2x = ， 1x = ，2x = 。
2、配方法：解法步骤：
① 化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数； ② 移项：把 项移到方程的 边；
③ 配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式； ④ 解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
3、公式法：如果方程()200ax bx c a ++=≠满足240b ac -≥，则方程的求根公
式为
4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B =的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根
名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法
三、一元二次方程根的判别式
关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示 ①当 时，方程有两个不等的实数根 ②当 时，方程看两个相等的实数根 ③当 时，方程没有实数根
名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 四、一元二次方程根与系数的关系：
关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个根分别为12x x 、则
12x x += ，12x x = 。
五、一元二次方程的应用：
解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行 常见题型：
① 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数2
1
a x
b +=（） ② 利润问题：总利润= × 或总利润= — ③ 几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程 名师提醒：
因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件 【重点考点例析】
考点一：一元二次方程的解
例1
若一元二次方程220150ax bx --=有一根为1x =-，则a b += ． 思路分析：由方程有一根为-1，将x=-1代入方程，整理后即可得到a+b 的值．
解：把1x =-代入一元二次方程220150ax bx --=得：a b 20150+-=，
即a+b=2015． 故答案是：2015．
方程有两个实数跟，则
点评：此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
跟踪训练
1．若x=1是一元二次方程2x2x m0
++=的一个根，则m的值为．
3)(10x x +-=（），
则x+3=0或x-1=0， 解得12x 3x 1=-=，。
点评：本题考查了解一元二次方程--因式分解法、解一元二次方程．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 跟踪训练
2．一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ）
A ．2x 417+=（）
B ．2
x 415+=（） C ．（x-4）2=17 D ．（x-4）2=15
2
=-
b4ac
（2）△=0
（3）△＜
4．已知关于x的方程2x2x a20
++-=．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
考点四：一元二次方程根与系数的关系
考点五：一元二次方程的应用
例6沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）
A．20（1+2x）=80 B．2×20（1+x）=80
C．20（1+x2）=80 D．20（1+x）2=80
思路分析：根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．
解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，
故选D．
点评：本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）．
对应训练
6．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）
A．2500x2=3500
B．2500（1+x）2=3500
C．2500（1+x%）2=3500
D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500
考点六：一元二次方程的应用
例7某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
思路分析：设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解：解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，（60-x-40）（300+20x）=6080，
解得x
1=1，x
2
=4，
又顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
点评：本题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关
系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符
合题意，舍去不合题意的解．
跟踪训练
7．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025
万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育
经费多少万元．
【备考真题过关】
一、选择题
1．用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x-3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x-3）2=19
2．一元二次方程2x2x0
-=的根是（）
A．x
1=0，x
2
=-2 B．x
1
=1，x
2
=2 C．x
1
=1，x
2
=-2 D．x
1
=0，x
2
=2
3．如果20
x x1x1
--=+
（），那么x的值为（）
A．2或-1 B．0或1 C．2 D．-1 4．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x13x360
-+=的两根，则该三角形的周长为（）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
5．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（）A．-2 B．2 C．4 D．-3
6．已知实数x
1，x
2
满足x
1
+x
2
=7，x
1
x
2
=12，则以x
1
，x
2
为根的一元二次
方程是（）
A．x2-7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x-12=0 D．x2-7x-12=0 7．一元二次方程2x2x10
-+=的根的情况为（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
8．若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）
A．-1 B．1 C．-4 D．4 9．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4C．a≤1
11．设x
1，x
2
是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，则x
1
2+x
2
2=（）
A．6 B．8 C．10 D．12 12．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）
A．x（x-10）=900 B．x（x+10）=900
C．10（x+10）=900 D．2[x+（x+10）]=900
13．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）
A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5 14．若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）
15．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
16．某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）
A．20% B．40% C．-220% D．30% 二、填空题
18．解一元二次方程2x2x30
+-=时，可转化为解两个一元一次方程，
x x，求k
12
的矩形种植地
条等宽的小路，要使
2016年中考数学专题复习 第八讲 一元二次方程及应用参考答案
【重点考点例析】
考点一：一元二次方程的解 跟踪训练
1．-3．
考点二：一元二次方程的解法 跟踪训练 2．C
3．解：∵2
x 3x 20-+=， ∴（x-1）（x-2）=0， ∴x-1=0或x-2=0， ∴x 1=1，x 2=2．
考点三：根的判别式的运用 跟踪训练
4．解：（1）∵22
b 4a
c 241a 2124a 0-=
-??-=-（）（）＞， 解得：a ＜3．
∴a 的取值范围是a ＜3；
（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：11
12
12x x a +-??-?＝＝，
解得：11
3?
a x -??
-?＝＝，
则a 的值是-1，该方程的另一根为-3． 考点四：一元二次方程根与系数的关系 跟踪训练 5．-1或-3
解：∵这个方程的两个实数根为x 1、x 2， ∴x 1+x 2=-（m+3），x 1?x 2=m+1， 而x 12+x 22=4，
∴（x 1+x 2）2-2x 1?x 2=4， ∴（m+3）2-2m-2=4， ∴m 2+6m+9-2m-6=0， m 2+4m+3=0， ∴m=-1或-3，
故答案为：-1或-3。
考点五：一元二次方程的应用 对应训练 6．B
考点六：一元二次方程的应用 跟踪训练
7．解：设增长率为x ，根据题意2014年为2500（1+x ）万元，2015年为2
2500
1x +（）万元．
则2500（1+x ）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）． 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%． （2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．
【备考真题过关】 一、选择题 1．D ． 2．D 3．C 4．A 5．A 6．A 7．A
8．B 9．C 10．C 11．C 12．B 13．C 14．B 15．D
解：正方形铁皮的边长应是x 厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得， （x-3×2）（x-3×2）×3=300，
解得x 1=16，x 2=-4（不合题意，舍去）； 答：正方形铁皮的边长应是16厘米． 故选：D ． 16．A
解：设每年投资的增长率为x ， 根据题意，得：5（1+x ）2=7.2， 解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（舍去）， 故每年投资的增长率为为20%． 故选：A ． 二、填空题 17．-3
18．x 10x 30-=+=或
20．12x 0x 2==，
21．8 22．25 23．-3 24．m≤1 25．m ＜-4
26．k ＜2且k≠1
27．8100×（1-x ）2=7600 28．（40-x ）（20+2x ）=1200 三、解答题
29．解：设方程的另一根为2x ，则
21x 1-+=-，