2013年全国重点名校分类汇编试题类汇编排列、统计与概率

2013年全国重点名校分类汇编试题类汇编

排列、统计与概率

1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )

(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 2. 设ξ是随机变量,且(10)40D ξ=,则()D ξ等于

A. 0.4

B. 4

C. 40

D. 400 3.设()

x a a x a x a x 21

22101221-1=+++L ，则a a 1011+= .

4. 1. 设随机变量X 的分布列为()15k P X k ==

，1

2345k =，，，，，则1

52

2P X ??<< ???等于（ ） Ａ．215

Ｂ．

25

Ｃ．15

Ｄ．

1

15

5.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】341()x x

-展开式中常数项为 6.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】将甲、乙、丙、丁四名学生分到

三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 。

7.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率

中等于

514

757512

C +C C C 的是（ ）

A.()1P ξ=

B.()1P ξ≤

C.()1P ξ≥

D.()2P ξ≤

8.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】在65)1()1(x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是

9.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】14. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是41(0.1)-．

其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．

10.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】在区间[－6，6]，内任取一个

元素x O ，若抛物线y=x2在x=x o处的切线的倾角为α，则

3

,

44

ππ

α??

∈??

??

的概率

为。

11.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）

某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市中学生运动会志愿者。

（Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率

12.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】某班将要举行篮球投篮比赛，

比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次，在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已

知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是

9

10

和

1

3

．

（Ⅰ）如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由；

（Ⅱ）求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．

13.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分12分）一个口袋中有2个白球和n 个红球（2n ≥，且*n N ∈），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。 （1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率P ； （2）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值时，()f p 取最大值。

14.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率;

(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.

15.【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】(本小题满分13分)口袋中有大小、质地均相同的9个球，4个红球，5个黑球，现在从中任取4个球。

(1)求取出的球颜色相同的概率；

(2)若取出的红球数设为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。

16.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试理科】（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.

2013年全国重点名校分类汇编试题类汇编

排列、统计与概率

1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )

(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

2. 设ξ是随机变量,且(10)40D ξ=,则()D ξ等于

A. 0.4

B. 4

C. 40

D. 400 A. 0.4 3.设()

x a a x a x a x 21

22101221-1=+++L ，则a a 1011+= .

【命题意图】本题考查二项展开式的通项、组合数公式及运算能力，是容易题目. 【解析】由二项展开式的通项知1r T +=2121(1)r

r

r C x

--，

∴1011a a +=11

11

10

10

2121(1)(1)C C -+-=11102121C C -+=10102121

C C -+=0. 4. 1. 设随机变量X 的分布列为()15k P X k ==

，1

2345k =，，，，，则1

52

2P X ??<< ???等于（ ） Ａ．2

15

Ｂ．

25

Ｃ．15

Ｄ．

1

15

C

5.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】341()x x

-展开式中常数项为 【答案】4-

【解析】展开式的通项为341241441()()(1)k k

k k k k k T C x C x x

--+=-=-，由1240k -=，得3k =，所以常数项为3

3

44(1)4T C =-=-。

6.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】将甲、乙、丙、丁四名学生分到

三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 。 【答案】30

【解析】四名学生两名分到一组有24C 种，3个元素进行全排列有3

3A 种，甲乙两人分到一个班有33A 种，所以有233

43336630C A A -=-=.

7.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率

中等于

514

757512

C +C C C 的是（ ）

A.()1P ξ=

B.()1P ξ≤

C.()1P ξ≥

D.()2P ξ≤

【答案】B

【解析】()1P ξ==1457

512C C C ,57

512C (0)C P ξ==,所以514

75755

1212

C C C (0)(1)C C P P ξξ=+==+，选B. 8.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】在65)1()1(x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是 【答案】-30

【解析】5(1)x -的展开式的通项为5(1)k

k

k

C x -，6(1)x -的展开式的通项为6(1)k

k

k

C x -，所以3x 项为3

3

3

3

3

3

356(1)(1)30C x C x x -+-=-，所以3x 的系数为30-.

9.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】14. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是41(0.1)-．

其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）． ①③

10.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】在区间[－6，6]，内任取一个

元素x O ，若抛物线y=x2在x=x o处的切线的倾角为α，则

3

,

44

ππ

α??

∈??

??

的概率

为。

【解析】当α∈

π3π

44

??

??

??

，时，斜率1

k≥或1

k-

≤，又2

y x

'=，所以

1

2

x≥或

1

2

x-

≤，所以

P=11 12

.

11.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）

某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市中学生运动会志愿者。

（Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率

【答案】解：（I）ξ得可能取值为 0,1,2；由题意P(ξ=0)=

3

4

3

6

1

5

C

C

=, P(ξ=1)=

21

42

3

6

3

5

C C

C

=, P(ξ

=2)=

12

42

3

6

1

5

C C

C

=…………3分

∴ξ的分布列、期望分别为：

Eξ=0×1

5

+1×

3

5

+2 ×

1

5

=1 …………6分

（II）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C

男生甲被选中的种数为2

510

C=,男生甲被选中，女生乙也被选中的

种数为1

44

C=

∴P(C)=

1

4

2

5

42

105

C

C

==…………11分

在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为2

5

……12分

12.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分） 某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B

区投篮3次，在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别是9

10

和

13

． （Ⅰ）如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请

说明理由；

（Ⅱ）求该选手在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．

【答案】解：（Ⅰ）设该选手在A 区投篮的进球数为X ，则999~2()210105X B E X ?

?=?= ??

?，，故，

则该选手在A 区投篮得分的期望为9

2 3.65

?

=.………………………………………（3分）

设该选手在B 区投篮的进球数为Y ，则11~3()3133Y B E Y ?

?=?= ??

?，，故，

则该选手在B 区投篮得分的期望为313?=.

所以该选手应该选择A 区投篮.………………………………………………………（6分） （Ⅱ）设“该选手在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分”为事件C ，“该选手在A 区投篮得4分且在B 区投篮得3分或0分”为事件D ，“该选手在A 区投篮得2分且在B 区投篮得0分”为事件E ，则事件C D E = ，且事件D 与事件E 互斥. …………（7分） 81483

()1009275

P D ??=?+= ???， ………………………………………………………（9分） 1884

()1002775

P E =

?=

， ……………………………………………………………（11分） 3449

()()57575

P C P D E ==

+=

， 故该选手在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为

49

75

. ……………………（12分） 13.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分12分）一个口袋中有2个白球和n 个红球（2n ≥，且*n N ∈），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。 （1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率P ； （2）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值时，()f p 取最大值。

【答案】解：（1）一次摸球从2n +个球中任选两个，有22n C +种选法，其中两球颜色相同有22

2n C C +种选法；一次摸球中奖的概率22

2222

2

2

32n n C C n n P C n n ++-+==++............ 4分 （2）若3n =，则一次摸球中奖的概率是2

5

P =

，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是1

23354

(1)(1)125

P C P P =??-=

................ 8分 （3）设一次摸球中奖的概率是p ，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是

1

23()(1)f p C p p =??-32363p p p =-+，01p <<，

()()2'()91233131f p p p p p =-+=-- ()f p ∴在10,3?? ???是增函数，在1,13??

???

是减函数，

∴当1

3

p =

时，()f p 取最大值 ................10分 22213

32n n p n n -+∴==++ 2,)n n N ≥∈*（，

2n ∴=，故2n =时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。.............. 12分

14.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率;

(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.

【答案】解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是2*0.6*0.6*0.4=0.288. 所以甲获胜的概率是0.36+0.288=0.648.

(2)设进行的局数为ξ,则ξ的可取值为2,3, p(ξ= 2)= 0.6*0.6+0.4*0.4=0.52,

p(ξ= 3)= 2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. E ξ=2*0.52+3*0.48=2.48

15.【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】(本小题满分13分)口袋中有大小、质地均相同的9个球，4个红球，5个黑球，现在从中任取4个球。 (1)求取出的球颜色相同的概率；

(2)若取出的红球数设为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。 【答案】

16.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分12分） 以下茎叶图记录了

甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望.

【答案】解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为;4

35

410988=+++=

x ……………………………………….4分

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=.8

1

162= 同理可得;41)18(=

=Y P ;41)19(==Y P .8

1)21(;41)20(====Y P Y P

所以随机变量Y 的分布列为：

EY=17×P （Y=17）+18×P （Y=18）+19×P （Y=19）+20×P （Y=20）+21×P （Y=21）=17×81+18×41+19×41+20×41+21×8

1

=19…………………………………….12分