物理光学第五章 习题答案
第五章习题答案
1．一束自然光以o
30角入射到玻璃和空气界面 玻璃的折射率n=1.54，试计算： （1）反射光的偏振度
（2）玻璃空气界面的布儒斯特角
（3）以布儒斯特角入射时透射光的振幅。 解：（1）∵1n sin 1θ=22sin θn
2sin θ=1.54x
2
1
=0.77 35.5077.0arcsin ==θ
s r s A A r 1'1==-)sin()sin(2121θθθθ+-＝9858
.03478.0＝0.352792
设入射光强为op os I I I +=0
∴os s
s s
I A A I 2
1'1'(==0.12446os I =0.06223os I =0.06223o I p
p p A A r 1'1=
=
)()(2121θθθθ+-tg tg =-8811
.53709
.0=-0.063066
'
p
I =2
1'1???
?
??p p A A op I =3.9773x 310-op I =1.98866x 310-o
I
p=
≈0642187.00602413
.094%
(2）tg 54
.11=p θ 。9977.32=∴p θ≈o
33＝1θ
o
33sin 54.1sin 2?=θ o
572=∴θ (3)4067.1)
sin(sin cos 2212
1=+=
θθθθs t
)cos()sin(cos sin 2212112θθθθθθ-+=p t =o
o o
o 24
cos 90sin 57sin 33cos 2=1.54 p=%941
.154.141.154.12
22
2min max min max ≈+-=+-I I I I
2.自然光以B θ入射到10片玻璃片叠成的玻璃堆上，求透射的偏振度。 解:)sin(sin cos 22121θθθθ+=s t ① )
cos()sin(cos sin 221211
2θθθθθθ-+=p t ②
2sin sin θθn B = n tg B =θ o B 3.56=θ o 7.332=θ
在光线入射到上表面上时 o
B 3.561==θθ o
7.332=θ 代入①②式得
==o o s t 90sin 7.33sin 3.56cos 20.6157, o
o
p t 90
sin 7.33sin 2==0.6669 光线射到下表面时 o
7.331=θ o
3.562=θ
384.16.22cos 3.56sin 7.33cos 2==o o o s t 4994.16
.22cos 7.33cos 3.56sin 2==o
o
o p t 透过一块玻璃的系数：8521.0'
=s t 9999499.0'
=p t 透过10块玻璃后的系数：20179.0'
'=s t 9994987.0'
'=p t %920407
.09989977.00407
.09989977.02''2''2''2''=+-=
+-=
s
p
s p t
t
t t p
3.已知38.21=n ，38.12=n nm 8.632=λ 求3n 和膜层厚度。
解：（1）p o
n n θsin 45sin 13= ① 1
2
n n tg p =
θ ② 由②式得 o
p arctg 1.30)38.238.1(==θ 45sin .23=
o
n （2）膜层厚度应满足干涉加强条件 即： λλ
θm nh =+
=?2
cos 22 （m 为整数）
对于38.12=n 的膜层 有：221sin sin θθn n p = 代入数得o
87.592=θ
22
cos 221θλ
n h =
＝o
87.59cos 38.128.6325.0??＝228.4(nm) 对于38.21=n 的膜层 )(83.761.30cos 38.2221
8.632cos 2211nm n h o
p =???==θλ 7. 如图15-73所示，一块单轴晶片的光轴垂直于表面，晶片的两个住折射率分别为n o 和n e 。证明当平面波以θ角入射到晶片时，晶体中非常光线的折射角θe ’可由下式给出：
11
2
2,
sin sin θθθ-=
e
e o
e n n n tg
解：e 光在晶体中的折射率为e e
e o
e
o n n n n n θθ2
22
2,
,cos sin +=
由Snell 定律得：
e e
e
e o
e
o e n n n n n θθθθθsin cos sin sin sin 2
22
2,,1+=
= 由此解得：
11
2
2sin sin θθθ-=
e
o e
e n n n tg
所以：11
2222,
sin sin θθθθ-=
=e e o
e e o e n n n tg n n tg 9．一块负单晶轴晶体制成的棱镜如图14-67所示，自然光从左方入射到棱镜。试证明e 光线在棱镜斜面上反射后与光轴夹角'
e θ由下式决定：
2
2
,
2
2o e e e
n n tg n θ-=
证明：设反射光线波法线与光轴的夹角为θ，且光轴与反射面法线的夹角为0
45。
入射光线的波法线方向与光轴垂直，故入射光的折射率为e n ，偏振在纸平面内，经斜面
反射，由于反射光波法线与光轴夹角变化由于，折射率变为"
e n ，则由界面反射定则得（负单晶）：
0"
0sin 45sin(45)e e n n θ=-
22"2
2222
sin cos o e
e
o e n n n
n n θθ
=+
即"
e n =
由以上两式得
00sin 45sin(45e n θ=-
?2222222sin cos (cos 2sin cos sin )o
e o n n n θθθθθθ+=-+ ?22222tan (12tan tan )o
e o n n n θθθ+=-+ ?2
2
2
tan 2o e o n n n θ-= 又2'
2tan tan e o
e
n n θθ=
22
'02
tan 2e e
e
n n n θ-∴= 证毕 14.已知：λ＝589.3nm d=1.6182
10-?nm o n =1.54424 e n =1.55335 光轴沿x 轴方向
解：
4
1
1010618.1|55335.154424.1|3.5891||1
62=???-=
-=
?
-d n n e o λ
λ
2412π
πδ=?
= 玻片的琼斯矩阵 G ＝??
????i ,00,1 ①入射光与x 轴成o
45??
????=
1121
45o E ???
???=??
????????
??==i i GE E o 1211121,00,145出 左旋圆偏振光
x
y θ
②=
-o E 45??????-112
1 ???
???-=??
????-??????==-i i GE E o
1211121,00,145出 右旋圆偏振光 ③??
??????????=????????=212330sin 30cos 30o o
o
E ??????=?????
?
??????=??????????????????=i i i E 32121232123,00,1出 左旋椭圆偏振光
15.设计一个产生椭圆偏振光的装置，使椭圆的长轴方向在竖直方向，且长短轴之比为2：1。
详细说明各元件的位置与方位。
解：设起偏器与x 轴的夹角为θ
2
,443.63,2cos 2sin ,2sin cos π
λ?θθθθ
θ的位相差相差
波片，使再通过y x o
x y y x A A tg A A A A A A ====?????==
16.通过检偏器观察一束椭圆偏振光，其强度随着检偏器的旋转而改变。当检偏器在某一位置时，强度为极小，此时在检偏器前插一块
4λ片，转动4
λ
片使它的快轴平行于检偏器的透光轴，再把检偏器沿顺时针方向转过20o
就完全消光。试问（1）该椭圆偏振光是右旋还是左旋？（2）椭圆的长短轴之比？
解：设
4
λ
波片的快轴在x 轴方向 根据题意：椭圆偏光的短轴在x 轴上
???
?????=δ
λi e A A E 21，快轴在x 方向上4λ
波片的琼斯矩阵??????=i G ,00,1
???
?
????=??????????????=+)
2(21
21,00,1GE πδδλi i e A A e A A i E ＝出 出E 向检偏器的投影为070cos 20cos )
2
(21=-+o i o
e
A A π
δ
0。93969261A -2A ?0.3420201)
2
(π
δ+i e
=0，2
π
δ-
=(右旋)，
747.23420201
.09396926.012==A A
20.一种观测太阳用的单色滤光器如图所示，由双折射晶片c 和偏振片p 交替放置而成。滤光器的第一个和最后一个元件是偏振片，晶片的厚度相继递增，即后者是前者的两倍，且所有晶体光轴都互相平行并与光的传播方向垂直。所有偏振片的透光轴均互相平行，但和晶体光轴成o
45角，设该滤光器共有n 块晶体组成。试用琼斯矩阵法证明该滤光器总的强度透射
比的函数是φτ，即2)(2,sin 22sin 2
d n n
e o N
N -=???
?
??λπ???τ＝ 因此该滤光器对太阳光的各种波长有选择作用。 解：设晶体快轴在x 方向 根据题意，偏振器方向为o
45
①当只有一个晶体c 与偏振器构成系统时 设入射光复振幅为o a 光强为o I ,o I ＝2
o a
o o y o o x a E a E 45sin ,45cos ==，?λ
π
δ2)(2=-=
d n h
e o
透过晶体后 ?
2'
'
45cos ,45cos i o
o y o
o x e a E a E ==
再沿偏振器透光轴投影
o y o o x E a E 45cos 45cos ''+=＝)1(2
1
45cos 45cos 2222
22??i o i o o o o e a e a a +=
+ 强度透过比：
2
22222
22sin 22sin sin 2cos sin 2cos )(41141||???
? ??=???? ??==+=+=-??????τ????i i i i o
e e e e I E ＝
由此可证：当N ＝1时，公式成立。
②假设当N ＝n-1时成立，则在由n 个晶片组成的系统中，从第n-1个晶片出射的光强为
o n n o n n a a I I ?
??
?
??=???? ??=----????sin 22sin ,sin 22sin 112
1
1复振幅为 沿快、慢轴方向分解：?λ
π
δn n e o n o y o x d n n a E a E 22)(2,45sin ,45cos 1=-=
==-
透过晶片后，?
n i o
y
o
x
e
a E a E 2''
45sin ,45cos ==，沿透光轴分解：
[]
2
122
222222'')2cos 2(4
1|)(|4112145sin 45cos 111?????
--=+==+?=+=---n i i i i o
y
o
x
a e e e a E I e
a E E E n n n n
将o n n a a ???
?
??=--??sin 22sin 1
1代入上式， ()
22
22
1112122
1
1sin 22sin sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22sin 41I o n n o n n n n o n n a a a ???
? ??=???? ??=???? ??=------???????? 原命题得证。∴???
?
??=2
sin 22sin ??τn
n
快
22。将一块
8
λ
片插入两个正交的偏振器之间，波片的光轴与两 偏振器透光轴的夹角分别为o o 4030和-，求光强为o I 的自然光通过这一系统后的强度是多少？（不考虑系统的吸收和
反向损失） 解：
设自然光o I 入射到起偏器上透过的光强为2o I
4,82π
λλπ==x x
设入射到波片上的振幅为a ，且2
a ＝
2
o
I 4''30sin ,30cos ,30sin ,30cos π
i
o
y
o
x
o
y o x e a E a E a E a E ==== ]30sin 40cos 30[cos 30sin 40cos 30cos 44
π
π
i
o
o
o
i
o
o
o
e a e
a a E -=-=
=a[0.6634-0.3535534-i0.3535534]=a[0.3098466-i0.3535534]
o I a E 235.04701116.0||22==∴
24。在两个正交偏振器之间插入一块
2
λ
片，强度为o I 的单色光通过这一系统。如果将波片绕光的传播方向旋转一周，问（1）将看到几个光强的极大和极小值？相应的波片方位及光强数值;（2）用
4λ片和全波片替代2
λ
片，又如何？ ①设入射光经起偏器后的振幅为a ，有??????==01,22
a E I a o
λ，琼斯矩阵： ???
??
?-??????????????-=θθθθθθθθθcos ,sin sin ,cos ,00,1cos ,sin sin ,cos i e G
代入πλ
λπδ==
2
2得： ?
?
????-??????-??????-=θθθθθθθθcos ,sin sin ,cos 1,00,1cos ,sin sin ,cos G ，
?
?
?
?????????-??????-??????-==01cos ,sin sin ,cos 1,00,1cos ,sin sin ,cos θθθθθθθθλa GE E 出??
????-=???
?????????-=θθθθθθθθθθcos sin 2sin cos sin cos cos ,sin sin ,cos 22a a ，出射光矢量θ2sin a E = 当023,,2,
0==I 时，πππ
θ; 当o I I 2
1
47,45,43,4m ax ==时，ππππθ ②用4λ
波片代替时，242πλλπδ==， ??????-????????????-=θθθθθθθθcos ,sin sin ,cos ,00,1cos ,sin sin ,cos i G
?
?
?
???-????????????-=θθθθθθλsin cos ,00,1cos ,sin sin ,cos i a GE E ＝出??
????-+=???
???-??????-θθθθθθθθθθθθcos sin cos sin sin cos sin cos cos ,sin sin ,cos 22i i a i a )1(2sin 2
)2sin 2(sin 2i a
i a E y -=-=
θθθ，
θθθ2sin 2
22sin 4)1)(1(2sin 4||222
2222
a a i i a E y =?=+-=
4个极大值点 4
m ax o
I I =
; 4个极小值点0min =I ③用全波片πλλ
π
δ22==
??
?
???-??????????
??-=θθθθθθθθcos ,sin sin ,cos 1,00,1cos ,sin sin ,cos i G
??????-????????????-=θθθθθθsin cos 1,00,1cos ,sin sin ,cos i a E 出??
?
???=??????-??????-=01sin cos cos ,sin sin ,cos a i a θθθθθθ
使用全波片时，旋转波片一周都不能得到光强输出。
25。在两个正交偏振器之间放入相位延迟角为δ的波片，波片的光轴与起、检偏器的透光轴分别成βα,角。利用偏振光干涉的强度表达式14－57证明：当旋转检偏器时，从系统输出的光强最大值对应的β角为β2tg ＝δαcos )2(tg 。
解：据公式2
sin 2sin 2sin )(cos 2
222δ
βαβαa a I o --= 对β求导并令之为0得：
02
sin 2cos 2sin 2)sin()cos(2222=---=δβαβαβαβa a d dI 02sin 2cos 2sin )22sin(212=--δβαβα02
sin 2cos 2sin )2sin 2cos 2cos 2(sin 212=--δβαβαβαβ
αδβα2sin 2cos 212sin 2
1
2cos 2sin 2=??????－βαδβα2sin 2cos 2sin 212cos 2sin 2=?????
?
－ )(cos 22δαβtg tg =
解法二：
?
????
?
--=)2(sin sin 2sin )(cos 222δβαβαa I ?????
?---+=2cos 12sin 2sin 2)
22cos(12δβαβαa ＝[]δβαβαβαβαcos 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 12
2
+-++a []βδαβα2sin cos 2sin 2cos 2cos 12
2
++a []
)2sin()cos 2(sin 2cos 12222βγδαα+++=a ，其中δ
ααγcos 2sin 2cos =tg 当I 为最大值时
()...)
2,1,0(2
22,12sin ±±=+=+=+k k π
πβγβγ)(cos 2cos cos 2sin 2,2
22δαα
δ
αγβγπ
πβtg ctg tg k =2=
=-+
=