数学建模第一讲
数学建模实验四概论
西北农林科技大学实验报告 学院名称：理学院 专业年级：2013级信计1班 姓 名： 学 号 课 程：数学模型与数学建模 报告日期：2013年12月1日 拟合模型与回归分析 实验目的 配合《数学建模与数学模型》的第3章“常见的模型及其组建”，介绍如何运用数学软件进行模型组建，并结合数学理论分析求解模型。 拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据（散点图）的观察、分析。结合问题背景，运用数学分析，选择当前恰当的数学表达方式得到的。拟合的目的是寻找一条光滑曲线y=ψ(x),能够很好地表现受随机因素干扰的观测数据 (){}n i i i y x 1,=所反映的规律。原则上尽量选择简单的数学公式表达规律，在简单 的数学表达式中选择拟合效果好的。 一、赛跑成绩与赛跑距离 1 实验题目 赛跑成绩与赛跑距离 2 实验问题陈述 下面的表2.1.1给出了1997年以前6个不同距离的中短距离赛跑成绩的世界纪录： 3 实验内容 解 共分4个步骤，分别叙述如下。 步骤1 在坐标系上画出观测数据的散点图。 >> X=[100 200 400 800 1000 1500]; >> Y=[9.95 19.72 43.86 102.4 133.9 212.1]; >> plot(X,Y,'*')
步骤2 根据散点图，取线性拟合模型y=a+bx. 步骤3 利用数据（x i ,y i ）估计模型参数a,b 。就是在寻找超定方程（方程个数多于未知数的个数）Ad =y ′的近似解d =(a,b)′,其中 ? ? ?? ?? ??=n x x A ...1...11，????? ? ??=n y y ...y ′ 1 称X=（x 1,x 2,....,x n ）′为设计矩阵。采用最小二乘法确定参数的估计值∧a ,∧ b ,也就是求拟合残差平方和 ∑=--=n i i i bx a y Q 12)( 的最小值（a,b)。下面利用MATLAB 指令完成参数估计。 >> A=[ones(size(X))',X']; >> d=A\Y'; >> z=d(1)+d(2).*X; ; 得到线性模型：y=-9.99+0.145x. 步骤4 分析拟合效果，做拟合图。 >> plot(X,Y,'*',X,z,'LineWidth',2) >> Q=sum((Y-z).^2)
数学建模入门基本知识
数学建模知识 之新手上路一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。 不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个 抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其在联系的数 学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领 域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。 特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了 使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统 运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差 分析，数据稳定性分析。 例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有8个头和22只脚，问该笼子中有多 少只鸡和多少只兔？
作业1数学建模,姜启源版
实验一动力系统 一、实验目的与要求 掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。 1、用Excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证； 2、用Excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析； 3、用Excel求解动态系统模型并估计均衡点； 4、用Excel分析多元动态系统模型。 二、实验内容 Example 1.1 P9 研究课题第一题 随着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车。你把选择范围缩小到以下几种车型：2007Toyota Camry混合动力汽车2007Saturn混合动力汽车2007Honda Civic混合动力汽车2007Nissan Altima 混合动力汽车2007Mercury Mariner混合动力汽车。每年公司都向你提供如下的“优惠价”。你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款。采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。 混合动力汽车“优惠价”（美元）预付款（美元）利率和贷款持续时间Saturn 22045 1000 年利率5.95%，60个月Honda Civic24350 1500年利率5.5%，60个月Toyota Camry26200 750年利率6.25%%，60个月Mariner27515 1500年利率6%%，60个月 Altima24900 1000年利率5.9%%，60个月 解答如下，对五家公司分别建立动力系统模型： Saturn:Δb n=b n+1-b n=0.0595b n-6000 b n+1= b n+0.0595b n-6000 b0=21045 Honda Civic:Δb n=b n+1-b n=0.055b n-6000 b n+1= b n+0.055b n-6000 b0=22850 Toyota Camry: Δb n=b n+1-b n=0.0625b n-6000 b n+1= b n+0.0625b n-6000 b0=25450 Mariner:Δb n=b n+1-b n=0.06b n-6000 b n+1= b n+0.06b n-6000 b0=26015
数学建模入门试题极其答案
1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周
数学建模1
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两项题 四项题 建模相关 建模意义 经验体会 最新进展 十类算法 展开 建模背景 数学 数学建模 建模应用 建模意义 思考方法 应用数学模型建模过程 模型准备 模型假设 模型建立 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用 建模起源 西方情况 中国情况 建模应用 建模竞赛 数据集 建模资料 国内教材 竞赛参考书国外参考书专业性参考书建模题目 两项题 四项题 建模相关 建模意义 经验体会 最新进展 十类算法 展开
编辑本段建模背景 数学 技术 近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 数学建模 数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。[1] 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。 建模应用 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。 编辑本段建模意义 思考方法 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包含抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。 我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一
数学建模入门基本知识
数学建模知识 ——之新手上路一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤
1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
数学建模课程简介
《数学建模》课程简介 20053025 数学建模 4.5 Mathematical Modeling 4-1 预修要求：微积分、线性代数 面向对象：竺可桢学院工程高级班 内容简介： 本课程以物理、生态、环境、医学、管理、经济、信息技术等领域的一些典型实例为背景，阐述如何通过建立数学模型的方法来研究、解决实际问题的基本方法和技能。开设本课程的目的是，在传授知识的同时，通过典型建模实例的分析和参加建模实践活动，培养和增强学生自学能力、创新素质。参加数学建模课的学习，应自己动手解决一、二个实际问题，以求在实际参与中获取真知。 本课程包括一定学时的讨论班，学生可利用课外时间自己参与建模实践活动并自愿参加由指导教师组织的讨论班活动。选修本课程的本科生经双向选择还有机会参加全国大学生数学建模竞赛（每年约90人）和美国大学生数学建模竞赛（每年为21人）。 推荐教材或参考书： “数学建模”，杨启帆、谈之奕、何勇编著，浙江大学出版社出版，2006年7月 《数学建模》教学大纲 20053025 数学建模 4.5 Mathematical Modeling 4-1 预修要求：微积分、线性代数 面向对象：竺可桢学院工程高级班 一、教学目的与基本要求： 通过典型数学模型分析和课外建模实践，使学生基本掌握运用数学知识建立数学模型来研究科研问题或实际课题的基本技能与基本技巧，本课程教学除传授知识外还要求学生在实际建模中注意培养和提高自身的能力，以便提高自己的综合素质与实际本领。 二、主要内容及学时分配： 1.数学建模概论，3学时 2.初等模型，8学时：舰艇的汇合，双层玻璃的功效，崖高的估算，经验模型，参数 识别，量纲分析法建模，方桌问题、最短路径与最速方案等 3.微分方程建模，14学时：马尔萨斯模型和罗杰斯蒂克模型，为什么要用三级火箭发 射人造卫星，药物在体内的分布，传染病模型，捕食系统的P-P模型，双种群生态 系统研究等
数学建模基础教程
数学建模新手“必读教程” 第一部分基本知识： 一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解
第一章数学建模概述
1数学建模概述 ? 数学模型 ? 数学建模过程 ? 数学建模示例 ? 建立数学模型的方法和步骤 ? 数学模型的分类 1数学模型 模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。 直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。 物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。 思维模型，符号模型，数学模型 数学模型： 1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。 数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。 总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律： 结合开普勒三定律得出万有引力定律 航行问题： 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？ 用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程 解方程组，得 22 1r m m G F =ma F =?? ?=?-=?+75050)(75030)(y x y x 小时） （千米小时）（千米/5/20==y x
第一讲数学模型源于心中有模型
创造数学模型始于心中有模型-举例漫谈 ●数学建模是mathematics modeling，是数学形成的进 行时，没有终结。 ●数学建模既是活的数学也是即兴使用数学知识的体现。 ●数学建模是创造数学模型的过程与结果的综合表现。 ●数学建模是“渔”鱼正常劳动生活。 ●数学建模竞赛则是限时的“命题式作文考试”，格式是 古老的八股文风格。 ●数学建模竞赛是“渔鱼”的表演赛。 ●数学模型是已经被前人完成了模型，是被捕上岸的 “鱼”。 ●数学教科书是所有优秀的数学模型以及如何使用这些模 型的附件的系统化整理和分类得到的书。 1.数学建模对人的要求：团队精神、快速反应、勤奋 务实、… 2.数学建模对知识的要求：心中有模型，关心生活， 关注身边的事物。 3.数学知识与其他知识同等重要。 4.具体本次课程要讲解的内容：现代数据处理技术， 机器学习方法,… 案例展示 Case1
mRNA 是翻译蛋白的蓝图，是一种四个字符组成的特殊单链序列，任何一个蛋白必然有一个mRNA与之对应。那么由生物学铁定的事实“兼并”规则：b5E2RGbCAP 表1：兼并法则表 兼并法则可以理解为映射： 由兼并映射，令为一切翻译蛋白的mRNA 之集合，令为全体蛋白。我们诱导出一个天然的映射法则<对应于读 码框）:p1EanqFDPw
图1 mRNA到蛋白的映射 诱导公式： 问题：“，，” 从数学上看，这是不是一个十分简单的问题？ 近几年来，人们从一度被认为是没有用途的非编码区中发现了一些身手不凡的“小小兵”，称为micro RNA, 简称miRNA. 它们是非常保守的片断，不但自己不转录成蛋白，而且还阻止其他序列转录。由于它们个体小，通常是21-25nt，因此在进化过程中一直保持稳定的状态，也就是说，它们在生物进化过的程中是保守的。DXDiTa9E3d 由于,碱基的互补性:A:C。 G:U (G:T>。导致miRNA有能力攻击以单链形式出现的mRNA。它们通过碱基互补的力量与mRNA 中的适当的片断互补配对，诱导mRNA降解或者阻止了该mRNA 转录为蛋白。RTCrpUDGiT mRNA 的死亡意味着相应的蛋白表达数量有可能减少。而某些功能蛋白的数量减少直接会表现出来与疾病联系。例如在一些
数学模型数学建模第一次作业入门实验
1、数学建模入门作业 1、贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？ (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？ (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三 年还清贷款。但条件是: (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款 额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总 额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： （1）根据题意设A k为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额 则有，第k个月的欠款额=第k-1个月的欠款额×月利率+第k-1个月的欠款额-每个月的还款额 即第k个月的欠款额：A k= A k－1（1+r）－x，k=1，2，……，N （1） 其中N为贷款的总月数，A0为最初贷款额； 由方程（1）容易推出 A1 = A0(1 + r ) x; A2 = A1(1 + r ) x = A0(1 + r )2- x[(1 + r ) + 1]; 第k个月的还款金额为 A k= A0（1+r）k－x[(1+r)k-1+…+(1+r)+1]
数学模型教学大纲
《数学模型》教学大纲 课程名称: 数学模型(Mathematical Model) 适用专业：应用数学、信息与计算科学 课程学时: 48学时理论+32学时实验 课程学分: 4 先修课程：微积分、线性代数、概率论 考核方式：期末论文 理论课教学大纲 一、课程的性质与任务 随着其它学科和计算机的迅速发展，数学已经向各个领域广泛渗透，数学已经由原来的高度抽象、严格推理和严密证明的理论课过渡成为解决许多边缘学科和交叉学科的关键技术。而数学一开始就是为了解决实际问题的需要而产生，数学模型或建立数学模型课程的开设就是一个朴素的回归。 设立数学建模课程的主要目的是培养学生应用所学的数学基础知识（微积分、线性代数、概率统计）解决实际问题的能力，培养新型的应用型动手能力强的人才。本课程通过一系列典型案例的分析、学习和应用，使学生掌握解决实际问题的一般步骤和原理；通过一些必要的辅助计算软件（lingo优化软件、matlab科学计算软件等）的培训，培养学生新型的数学观：数学中很多的复杂而重复的计算，应该完全交给计算机去做，人就回到思考、分析、设计、评估等更重要的工作中去。 由于实际问题的复杂性和广泛性，本课程在讲授不同类型的模型时，可以参考不同的教材和选取不同的计算软件，所以在教材的选取上本着灵活性和多样性，因而不同章节有不同的参考书。 二、课程的内容 第1章．数学建模概论 1.1 什么是数学模型 1.2 几个简单的建模案例 1.3 建立数学模型的基本方法和步骤 1.4 数学模型的特点和分类 1.5 数学建模能力的培养 参考教材：《数学模型》.高教出版社.姜启源 《数学建模与数学实验》.高教出版社.赵静 《数学建模方法及其应用》高教出版社.韩中庚 第2章. 初等数学模型 2.1 公平的席位分配问题
数学建模作业(1)
习题一在3.1节存储模型中的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来一样。 一、不允许缺货的存储模型 问题分析若生产周期短、产量少，会使存储费用小，准备费用大，货物价格不变；而周期长、产量多，会使存储费大，准备费小，货物价格不变。所以必然存在一个最佳周期，使总费用最小。显然，应建立一个优化模型。 模型假设为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q为连续量。根据问题性质作如下假设： （1）产品每天的需求量为常数r。 （2）每次生产费用为c1，每天每件产品存储费为c2，购买每件货物所需费用为c3. （3）生产能力为无限大（相对于需求量），当存储量降为零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。 模型建立将存储量表示为时间t的函数q（t），t=0生产Q件，存储量q(0)=Q，q(t)以需求速率r递减，直到q(T)=0，如图，显然有：Q=rT q r 图（1）不允许缺货模型的存储量q（t） 一个周期内的存储费是c2∫q(t)dt,其中积分恰好等于图中三角形面积QT/2，因为一个周期的准备费是c1，购买每件货物的费用为c3，得到一个周期的总费用为： C=c1+c2QT/2+r Tc3=c1+c2r T2/2+r T c3 则每天的平均费用是 C(T)=c1/T+rc3+c2rT/2 上式为这个优化模型的目标函数。 模型求解求T使上式的C最小。容易得到 T=√2c1/（c2r）则Q=√2c1r/c2 二、允许缺货的存储模型 (1) 模型假设产品每天的需求量为常数r。 (2) 每次生产费用为c1，每天每件产品存储费为c2，购买每件货物所需费用为c3. (3) 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件损失费为c4,但缺货数量需在下次生产（或订货）时补足。， 模型建立因存储量不足造成缺货时，可以认为存储量函数q(t)为负值，如图所示，周期仍记为T,Q是每周期初的存储量，当t=T1时q(t)=0,于是有Q=r T1 T
入门级数学建模练习题
入门级数学建模练习题 2. 假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3. 一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4. 如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5. 兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6. 甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7. 设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在两人他们认识的人一样多。 8. 一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.59. 假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是
由东驶上一个1/100的斜 坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b，选坐v>0,而设语雨速 L,v≤x vv+1),v>x.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周 收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t的函数小x的函数，则它应满足 其中初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。 解该线性问题得X=70[1-e?t] 由于当∞时，其极限值为70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。 3.解：我们从山脚A点为始点记路程，设从A到B路程函数为f, 即t时刻走的距离为f;同样设从B点到A点的路程为函数g。由题意有 f=0,f=|AB|，g=|AB|，g=0； 令h= f--g，则有h= f -- g=-- |AB||0 又注意f，g
1数学建模概述
第1章数学建模概述 (2) §1.1从现实现象到数学模型 (2) §1.2数学建模方法、步骤、特点与分类 (4) §1.3怎样学习数学建模及组织数学建模竞赛 (8) 习题1 (10)
第1章数学建模概述 随着科学技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展，数学建模作为一门用数学方法解决实际问题的学科越来越受到人们的重视。对于广大科技人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁.其实，“所谓高科技就是一种数学技术”，几乎所有学科发展到高级阶段都要引入数学，进行量化处理，甚至几乎所有科学理论都可看作数学模型，马克思说过“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。当今，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义： （1）在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地，如机械、电机、土木、水利等； （2）在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具，如通信、微电子、航天、自动化等； （3）数学进入一些新领域，诸如经济、人口、生态、地质等。所谓非物理领域也为数学建模开辟了许多处女地，如计量经济学、人口控制论、数学生态学等。 本章为数学建模概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，使读者全面的、初步的了解数学建模，最后给出几点数学建模竞赛建议供读者参考。 §1.1从现实现象到数学模型 现实世界丰富多彩，变化万千。人们无时无刻都在运用自己的智慧和力量去认识、利用、改造世界，从而创造出更加多彩的物质文明和精神文明。博览会是集中展示这些成果的场所之一。工业展厅上，豪华、舒适的新型汽车令人赞叹不已；农业展厅上，硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返；科技展厅上，大型水电站模型雄伟壮观，人造卫星模型高高耸立，讲解员深入浅出的介绍原子结构模型的运行机理，电影演播室里播放着一部现代化炼钢厂自动化生产的影片，其中既有火花四溅的炼钢情形，也有控制的框图、公式和程序。参加博览会，既有汽车、水果那些原封不动的从现实搬到展厅的实物，也有各种实物模型、照片、图表、公式……，这些模型在短短几个小时给大家的作用，恐怕置身现实世界很多天也无法做到。 与形形色色的模型相对应，它们在现实世界的原始参照物统称为原型，它们是人们现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型是为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、抽象、提炼而构成的原型替代物，也是所研究的系统、过程、事
数学建模基础(入门必备)
一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果
数学建模概述(李福乐)
一、数学建模概述 1.1 什么是数学建模 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型，如交通图、地质图、航空模型等。利用数学的语言、公式、图、表、或符号等来模拟现实的模型称为数学模型。我们知道，对于一个现实问题的研究，一般不需要甚至不可能直接研究现实问题的本身，而是研究模拟该现实问题的模型。举个简单例子：某司机欲把某货物从甲地运往已地，应如何选择运输路线使总路程最短？该司机不会开着车去试探，而是利用交通图来确定自己的行车路线。从这个简单的例子中我们可以看到数学建模的重要性。 1.2 数学建模包含哪些步骤 数学建模主要包含模型建立、求解以及对结果的分析与检验等步骤。 模型建立 模拟现实问题建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要有敏锐的洞察力与理解力，善于抓住问题的内在联系，作出合理的假设与简化，找出影响问题的各种因素及其相互关系。建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要具备其他学科的一些知识，另外还要有一定的编程能力。 一般来说，模型建立的方法不止一种。如最短路线问题，可以用图论方法，也可以用线性规划方法，有时还可用动态规划的方法。 模型求解 在建立模型之后，就要求解模型，给出有效的计算方法。例如旅行推销员问题：一个推销员要到n 个城市去推销，如何安排行程？如果用简单的组合算法，其计算步骤是!n 的倍数，随着n 的增大，计算量之大以至无法得到结果。如30n ，即使以每秒以24 10 步的速度来计算，也需要8年多，况且现在的计算机还没有达到上述速度。 结果的分析与检验 有些问题需要对解的现实意义作出解释，检验模型的正确性，并对模型的稳定性进行分析。如种群的相互竞争问题需要对解的现实意义作出解释，并对模型的稳定性进行分析。 二、基本知识 微分方程在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。大量的实际问题需要用微分方程来描述。 首先，我们要对实际研究现象作具体分析，然后利用已有规律、或者模拟，或近似的得到各种因素变化率之间的关系，从而建立一个微分方程。一般地，利用以下三种方法建立一个微分方程模型。 1. 根据规律建模 在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践检验的规律和定律，如Newton 运动定律、物质的放射性规律、曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率，因而可根据相应的规律以及 变化率＝输入率－输出率 的思想，列出微分方程。 2. 微元法建模 在数学、力学、物理等许多教科书上会见到用微元分析法建立常微分方程模型的例子，它实际上是应用一些已知的规律或定理寻求某些微元之间的关系。 3. 模拟近似法 在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，由于我们对上述领域的一些现象的规律性目前还不是很清楚，了解并不全面，应用微分方程模型进行研究时，可根据已知
数学建模入门练习题
《数学建模入门》练习题 练习题1：发现新大陆！ 发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？ 练习题2：棋盘问题 有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？ 练习题3：硬币游戏 如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？ 练习题4：高速问题 一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B
地，问他从B 地回到A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？、 练习题5：登山问题 某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？ 练习题6：兄弟三人戴帽子问题 解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下：兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。 此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。 只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！ (县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答
学生成绩分析数学建模
题目学生成绩的分析问题 摘要 本文针对大学高数和线代，概率论成绩进行建模分析，主要用到统计分析的知识及SPSS软件，建立了方差分析、单因素分析、相关性分析等相关模型，从而分析两个专业、四门课程成绩的显著性，以及课程之间的相关性。最后利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 问题一：每门课程两个专业的差异性需要进行多个平均数间的差异显著性检验，首先应该对数据进行正态分布检验，结论是各个专业的分数都服从正态分布，之后可以根据Kolmogorov-Smirnov 检验（K-S检验）原理，利用SPSS软件进行单因素方差分析，得出方差分析表，进行显著性检验，最后得出的结论是高数1、高数2、线代和概率这四科成绩在两个专业中没有显著性差异。 问题二：对于甲乙两个专业分别分析，应用问题一的模型，以每个专业不同班级的高数一、高数二、线代和概率平均数为自变量，同第一问相同的做法，得到两个专业中不同学科之间没有显著差异。 问题三：我们通过对样本数据进行Spss的“双变量相关检验”得出相关系数值r、影响程度的P值，从而来分析出高数1、高数2与概率论、现代的相关性。 问题四：利用上面数据，得到各专业课程的方差和平均值，再通过对各门课程的分析，利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 关键词：单因素方差分析、方差分析、相关分析、 spss软件、
一、问题重述 附件是甲专业和乙专业的高等数学上册、高等数学下册、线性代数、概率论 与数理统计等三门数学课程的成绩数据，请根据数据分析并回答以下问题： （1）针对每门课程分析，两个专业的分数是否有明显差异？ （2）针对专业分析，两个专业学生的数学水平有无明显差异？ （3）高等数学成绩的优劣，是否影响线性代数、概率论与数理统计的得分情况？ （4）根据你所作出的以上分析，面向本科生同学阐述你对于大学数学课程学习 方面的看法。 二、模型假设 1、假设两个班学生的整体程度和基础差异不大。 2、学生和学生之间的成绩是相互独立的，没有影响的。 3、假设样本学生的成绩均来自于实际，由此做出的分析是接近实际，能够反映实际状况的。 三、问题分析 问题一分析：对于每门课程，两个专业的分数是否有显著性差异。首先，应该利用SPSS证明其服从正态分布，之后可以利用SPSS对数据进行单因素分析和方差分析，采用单因素分析法，以专业为方差分析因素，最后比较显著性（Sig），如果Sig>0.05，即没有显著性差异，若Sig<0.05，即对于该门课程，两专业分数有明显差异。 问题二分析：模型同问题一。针对专业分析，两个专业学生的各科数学水平有无明显差异。 问题三分析：判断高数I、高数Ⅱ和线代、概率论之间成绩的相关性。首先我们要分别整合出四门学科的一组综合指标作为样本，然后求出相关系数矩阵。 问题四分析：总结分析。求出各专业科目的平均值和方差，然后进行比较并和前几问相结合，提出合理的建议。 四、模型建立和求解 模型一：单因素方差分析模型 单因素方差分析是固定其他因素，只考虑某一因素对试验指标的影响。建立单因素方差分析模型，用以解决针对每门课程两个专业成绩是否有明显差异和针对专业各科数学成绩是否有明显差异的问题。 问题一求解： 我们以专业为方差分析的因子，甲专业和乙专业为因子的不同水平，每个班的成绩是实验的数据样本。