河北省唐山一中2015届高三上学期期中考试数学文试题及答案

唐山一中2014—2015学年度第一学期期中考试

高三年级数学试卷（文）

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则A

B 等于（ ）

A.{|1}x x ≤

B.{|12}x x ≤<

C.{|01}x x <≤

D.{|01}x x <<

2.若复数Z R a i

i

a ∈-+=

(213，i 是虚数单位）是纯虚数，则Z 的值为（ ） A.2 B.3 C.i 3 D.i 2

3.下列说法正确的是（ ）

A.命题“R x ∈?使得0322

<++x x ”的否定是：“032,2

>++∈?x x R x ”

B.“1>a ”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在),0(+∞上为增函数”的充要条件

C.“p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件

D.命题p ：“2c o s s

i n ,≤+∈?x x R x ”

，则?p 是真命题 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n n n a a a -=++122，354a a -=，则7S ＝( ) A ．7 B ．12 C ．14 D ．21

5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）

A B C D

6.如果)(x f '是二次函数, 且 )(x f '的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线

)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）

A ．]3,0(π

B ．)2,3[ππ

C ．]32,2(ππ

D ．),3

[ππ

7.直线l ：2x my =+与圆M ：22

220x x y y +++=相切，则m 的值为 ( )

A.1或－6

B.1或－7

C.－1或7

D.1或17

-

8. 已知函数1

()3x f x a -=+(a >0且a ≠1)的图象过定点P,且点P 在直线

mx ＋ny －1＝0(m >0，且n >0)上，则1m ＋4

n

的最小值是 ( )

A.12

B.16

C.25

D.24

9. 在约束条件21010x x y m x y ??

-+??+-?≤≥≥下，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围

（ ）

A.)3,3(-

B.]3,0[

C.]0,3[-

D.]3,3[-

10. 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2

π

π上单调递减.则ω的取值范围是（ ） A.15[,]24 B.13[,]24

C.1

(0,]2 D (0,2]

11.若c b a ,,均为单位向量，2

1

-=?，b y a x c += ),(R y x ∈，则y x +的最大值是（ ）

A ．2

B. C

D. 1

12. 设点P 在曲线12

x

y e =

上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ） A.1ln 2-

ln 2)- C.1ln 2+

ln 2)+ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 在ABC ?中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若1,3

==b A π

，ABC ?

则a 的值为 .

14. 已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则

=?+)( .

15. 把一个半径为 325?cm 的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为 .

16. 函数()sin f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐标的最大值

为α,则

2(1)sin 2αα

α

+= ___ .

三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知向量)sin ,1(x a =，b ＝)sin ),3

2(cos(x x π

+

，函数

x x f 2cos 2

1

)(-?=.

(1)求函数f (x )的解析式及其单调递增区间； (2)当x ∈??

?

???3,

0π时，求函数f (x )的值域． 18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1111,14n n

a a a +==-,其中n ∈*

N . (1)设221

n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；

(2)设41n n a c n =

+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ,是否存在正整数m ,使得1

1

n m m T c c +<对 于n ∈N *

恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由. 19.(本小题满分12分)设函数312)(--+=x x x f （1）求函数)(x f y =的最小值；

（2）若2

7

2)(-+

≥a ax x f 恒成立，求实数a 的取值范围． 20. (本小题满分12分) 如图所示，ABC ?和BCE ?是 边长为2的正三角形，且平面⊥ABC 平面BCE ，

⊥AD 平面ABC ，32=AD .

（1）证明：BC DE ⊥；

（2）求三棱锥ABE D -的体积.

21.（本小题满分12分)己知函数x ax x x f 3)(2

3--= （1）若3

1

-

=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在],1[a 上的最大值； （2）在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数bx x g =)(的图象与函数)(x f 的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由.

22. (本小题满分12分))()()(,x g x F x f D x ≤≤∈?有，则称)(x F 为)(x f 与)(x g 在D 上的一个“

分

界

函

数

”

.

如

[]21

0,1,1(1)1x x x x e x

-?∈-≤+≤

+成立，则称

A

B

C

D

E

[]21

(1)10,11x y x e y x y x

-=+=-=

+是和在上的一个“分界函数”。

（1）求证：x y cos =是2211x y -

=和24

1

1x y -=在[]1,0上的一个“分界函数”； （2）若12

)(3

++=ax x x f 和x x e x x g x cos 2)1()(2-+=-在[]0,1上一定存在一个“分界函数”，试确定实数a 的取值范围。

期中考试（文科）答案

13 14. 2

9

- 15．20cm 16．2

17、解：（１）2

1

)62sin(2cos 2

1

sin )32cos()(2+

+-=-++=ππx x

x x x f ……………………………4分