2013年湖北高考理科数学试卷(word版含答案)

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（理工类）

本试题卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的. 1. 在复平面内，复数21i

z i

=

+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 已知全集为R ，集合1()12

x

A x ??=≤???

?

，{}

2

680B x x x =-+≤，则R A B = e

A.{}0x x ≤

B.{}

24x x ≤≤ C.{}024x x x ≤<>或 D.{}

024x x x <≤≥或

3. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A.()()p q ?∨? B.()p q ∨? C.()()p q ?∧? D.p q ∨

4．将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．

12π B ．6π C ．3π D ．56

π

5．已知04π

θ<< ，则双曲线2222

1222222

:1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ

-=-=与的

A ．实轴长相等

B ．虚轴长相等

C ．焦距相等

D ．离心率相等

6．已知点A （-1,1）、B （1,2）、C （-2,1）、D （3,4），则向量AB 和CD

方向上的投影为

A ．

322 B ．3152 C ．322 D ．315

2

7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度

25

()73(,/)1v t t t s v m s t

=-+

+的单位：的单位：行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是

A ．1+25ln 5

B ．11

8+25ln

3

C ．4+25ln 5

D ．4+50ln 2 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，

这四个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 1243.AV V V V <<< 1324.BV V V V <<< 2134.CV V V V <<< 2314.D V V V V

<<<

9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)= A ．

126125 B ．65 C ．168

125

D ．75

10. 已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x 12()x x >，则 A. 121()0,()2f x f x >>-

B. 121

()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2

f x f x <>-

二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的．．．．．对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

（一）必考题（11—14题）

11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。

（1）直方图中x 的值为___________；

（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。

12. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=___________。 13．设,,x y z R ∈，且满足：222+y +z =12+3=14x y z ，x+，

则x+y+z=___________。 14．古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为

2(+1)11

=n +222

n n n ，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：

三角形数 211

(,3)=

+n 22

N n n 正方形数 2

(,4)=N n n 五边形数 231(,5)=

-n 22

N n n 六边形数 2

(,6)=2-n N n n

……………………………………………………………..

可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=_________________。

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框图用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，圆O 上一点,.C AB D D OC E 在直径上的射影为点在半径上的射影为若

3,

CE

AB AD EO

=的值为

.

16.（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直线坐标系xoy 中，椭圆C 的参数方程为(

)cos ,0.sin x a a b y b ?

??

=?>>?

=?为参数在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴为正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标分别为()2sin =.42

m m b πρθρ??

+

= ??

?为非零常数与若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆的离心率为 .

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

在,,.cos23cos() 1.ABC A B C a b c A B C ?-+=中，角、、对应的边分别为已知 （I ）求角A 的大小；

（II ）若53,5,sin sin .ABC S b B C ?==的面积求的值

18.（本小题满分12分）

已知等比数列{}n a 满足：2312310,125.a a a a a -== （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）是否存在正整数,m 使得12111

1?n

m a a a ++??????+>若存在，求的最小值；

若不存在，说明理由.

19.（本小题满分12分）

如图，AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A B 、的点，直线,PC ABC ⊥平面

,,E F PA PB 分别为的中点.

（I ）记平面BEF ABC l l PAC 与平面的交线为，是判断与平面的位置关系，并加以说明；

（II ）设（I ）中的直线1,.2

l O D Q DQ CP =

与圆的另一个交点为且点满足记直线

,PQ ABC O 与平面所成的角为异面直线所成的锐角为o ，二面角

sin sin sin .E l C βθαβ--=的大小为，求证：

20.（本小题满分12分）

假设每天从甲地去乙地的旅客人数()

2

800,50X N 是服从正态分布的随机变量，

记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.n P 求n P 的值；

（I ）（参考数据：若()

()2,,0.6826,X N P X μσμσμσ-<≤+= 有）

()()220.9544,330.9974.P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=

（II ）某客运公司用A B 、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每年每天往返一次，A B 、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆。若每天要以不小于

0P 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备

A B 型车、型车各多少辆？

21.（本小题满分13分）

如图，已知椭圆12,C C O 与的中心原点坐标长轴均为MN x 且在轴上,短轴长分别为()22m n m n >、，过原点且不与x 轴重合的直线l 与12C C 、的四个交点按纵坐标从大到小依次为.A B C D 、、、记

12,.m

BDM ABN S S n

λ=

??和的面积分别为、 （I ）当直线l 与y 轴重合时，若12,S S λλ=求的值;

（II ）当λ变化时，是否存在于坐标轴不重合的直线l ，使得12,.S S λ=并说明理由

22.（本小题满分14分）

设n 为正整数，r 为正有理数. （I ）求函数()()

()()1

1111r f x x r x x +=+-+->-的最小值；

（II ）证明：

()

()2

1

11

11;1

1

r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<

++

（III ）设x R ∈，记[]x 为不小于．．．x 的最小整数，例如[][]322π??-????

=2,=4,=-1. 令[]3333818283125,.S S =+++??????+求的值

（参考数据：44443

3

3

3

80344.7,81350.5,124618.3,126631.7.====）